Fundamentos das distribui¸ c˜ oes e
3.6 O conceito de independˆ encia para conjunto contendo mais que duas vari´ aveis aleat´ orias
ind-muitas
3.6.1
hdr
Vamos agora conversar sobre a independˆencia entre vari´aveis aleat´orias em n´umero maior que 2. O ponto certo para o in´ıcio da conversa ´e a seguinte pergunta:
Imagine que temos trˆes vari´aveis aleat´orias X, Y, Z e que estas s˜ao tais que X e Y s˜ao independentes,
X e Z s˜ao independentes, Y e Z s˜ao independentes.
Vocˆe acha que X, Y, Z formam um triplo de vari´aveis aleat´orias independentes?
(3.35) eka
Creio que a pergunta te pegou se surpresa, pois a independˆencia em pares entende-se como a independˆencia de um conjunto. Em outras palavras, vocˆe tende a responder: “N˜ao h´a d´uvida, pois as tr es condi¸c˜oes de independˆencia que o professor formulou ´e a independˆencia entre X, Y e Z.”
A´ı que t´a, n˜ao ´e!
Por que n˜ao seria? Por que n´os, matem´aticos, costumamos formular as defini¸c˜oes que ga- rantem que o obejeto definido tenha propriedades ´uteis. Uma das propriedades ´uteis desejadas ´
e que
Var [X1+ X2+ · · · + Xn] seja igual a Var [X1] + Var [X2] + · · · + Var [Xn] (3.36)
quando X1, X2, . . . , Xn s˜ao independentes
E acontence que a independˆencia por pares n˜ao garante tal igualdade, e, consequentemente, escolhemos para a defini¸c˜ao da independˆencia tal propriedade que garante a igualdade desejada. Mas n˜ao corra para ler e aprender a defini¸c˜ao, pois a qualidade de vari´aveis aleat´orias independentes que vocˆe utilisar´a no nosso curso ´e uma ´unica, e esta ´e a igualdade (3.36).vaoi Portanto, sua acieta¸c˜ao da seguinte receita vai te poupar da leitura do restante da presente se¸c˜ao: ouviu que X1, X2, . . . , Xn s˜ao independentes logo pode usar que
Var [X1+ X2 + · · · + Xn] = Var [X1] + Var [X2] + · · · + Var [Xn]
3.6.2
pju
O conceito que nos interessa, a independˆencia de vari´aveis aleat´orias em conjunto, ser´a itrodu- zido em duas etapas. Primeiramente, introduzimos, na Defini¸c˜ao traq11, um conceito auxiliar, e depois, o conceito que interessa. Acho que assim fica mais deger´ıvel.
Defini¸c˜ao 11. Sejam X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym dois conjuntos de vari´aveis aleat´orias defi-
traq
nidas no mesmo experimento aleat´orio. Dissemos que o conjuto de vari´aveis aleat´orias X1, . . . , Xn ´e independente do conjunto de vari´aveis aleat´orias Y1, . . . , Ym, ou, equi-
valentemente, que {X1, . . . , Xn} e {Y1, . . . , Ym} s˜ao dois conjuntos independentes, caso
IP [X1 ∈ A1, . . . , Xn∈ An, Y1 ∈ B1, . . . , Ym ∈ Bm] =
= IP [X1 ∈ A1, . . . , Xn∈ An] × IP [Y1 ∈ B1, . . . , Ym ∈ Bm] , (3.37)
para qualquer subconjunto A1 do conjunto dos valores de X1, qualquer subconjunto A2 do
Defini¸c˜ao 12. Seja n um n´umero natural arbitr´ario e sejam X1, . . . , Xnvari´aveis aleat´orias
qero
arbitr´arias definidas em mesmo experimento aleat´orio. Dissemos que estas formam um conjunto de vari´aveis aleat´orias independentes, ou, equivalentemente, que elas s˜ao independentes em conjunto, caso quaisquer dois subconjuntos disjuntos sejam conjuntos independentes no sentido da Defini¸c˜ao11.traq
Cairia bem o seguinte esclarecimento. Se n ´e 4, para o t´ıtulo de um exemplo, ent˜ao X1, X2, X3, X4
s˜ao independentes em conjunto caso
e
{X1} e {X2} s˜ao dois conjuntos independentes,
{X1} e {X3} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1} e {X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X2} e {X3} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X2} e {X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X3} e {X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X2} e {X3} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X2} e {X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X2, X3} e {X1} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X2, X3} e {X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X3, X4} e {X1} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X3, X4} e {X2} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X3} e {X2} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X3} e {X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X4} e {X2} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X4} e {X3} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X2, X4} e {X1} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X2, X4} e {X3} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X2} e {X3, X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X3} e {X2, X4} s˜ao outros dois conjuntos independentes,
{X1, X4} e {X2, X3} s˜ao outros dois conjuntos independentes.
3.6.3
ixl
Propriedade 9. Suponha que {X1, . . . , Xn} independe do conjunto {Y1, . . . , Ym}, e suponha
twau
que f : Rn → R e g : Rm → R s˜ao duas fun¸c˜oes arbitr´arias e que essas foram usadas para
definir vari´avel aleat´oria U como f (X1, . . . , Xn) e vari´avel aleat´oria W como g(Y1, . . . , Ym).
Ent˜ao, U e W s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes.
No lugar da demostra¸c˜ao, vou lhe contar uma historinha que deve, segundo minha inten¸c˜ao, convenc´e-lo da validade desta proposi¸c˜ao.
Imagine que separei minha turma de alunos em duas partes e tranquei cada parte em salas separadas de modo garantir a impossibilidade de qualquer contato e troca de informa¸c˜ao. A uma parte, entreguei um saco de moedas, algumas honestas, outras n˜ao, mas tais que se for desonesta, a probabilidade de dar cara ´e conhecida. A outra turma dei um saco de dados. Assim como acontece com as moedas, h´a dados desiquilibrados, mas para estes sabemos as probabilidades de suas faces. Cada turma ´e permitia compor seu experimento aleat´orio e definir suas vari´aveis aleat´orias. Ai chamo meus dois Assistentes de Ensino (alunos de p´os)... N˜ao ´
e ´obvio para vocˆe que as vari´aveis siando das m˜aos dos assistentes devem ser independentes? Terminar e melhorar.
Propriedade 10. Para qualquer n e para qualquer conjunto de vari´aveis aleat´orias indepen-
twai
dentes X1, X2, . . . , Xn, ´e v´alido que
Var [X1+ X2 + · · · + Xn] = Var [X1] + Var [X2] + · · · + Var [Xn] .
A demostra¸c˜ao ´e muito simple e ´e por isto que est´a aqui. Vamos exib´ı-la para um caso particular quando n = 5. O caso geral segue-se pelo mesmo caminho. Copm a defini¸c˜ao de independˆencia nos permite alegar que o conjunto {X1} independe do conjunto {X2, X3, X4}, ent˜ao, gra¸cas `a
Propriedade
3.6.4
ims
O que mesmo que quero mostrar no exemplo desta sub-se¸c˜ao?
Exemplo 41. Suponha que h´a trˆes vari´aveis aleat´orias X, Y, Z sobre as quais sabemos que
sepa
s˜ao independentes no sentido da defini¸c˜ao dada acima. Designamos por x1, . . . , xn os valores
que X pode assumir, designamos por y1, . . . , ym os valores que Y pode assumir, e designamos
por z1, . . . , zk os valores que Z pode assumir. Escolheremos arbitrareamente xi, yj e z` dos
respectivas conjuntos de x’s, y’s e z’s. A primeira pergunta tratada neste exemplo ´e se vale
IP [X = xi, Y = yj, Z = z`] = IP [X = xi] × IP [Y = yj] × IP [Z = z`] . (3.38) rano
A resposta na primeira pergunta ´e “sim”, e a demostra¸c˜ao ´e como segue. Note que um valor s´o tem direito de ser chamado “subconjunto” dos valores de uma vari´avel aleat´oria . Isto nos permite usar defini¸c˜ao de independˆencia. Aplicando esta aos subconjuntos X, Y e Z, derivamos:
IP [X = xi, Y = yj, Z = z`] = IP [X = xi, Y = yj] × IP [Z = z`] . (3.39) rani
Agora note, que a defini¸c˜ao de independˆencia se aplica as quaisquer duas subcole¸c˜oes da cole¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias. Tomaremos uma subcole¸c˜ao como a composta somente de X e a outra como a composta somente de Y . Ent˜ao a independˆencia de X, Y, Z em conjunto nos d´a:
IP [X = xi, Y = yj] = IP [X = xi] × IP [Y = yj] . (3.40) rali
´
E claro que a combina¸c˜ao de (3.39) e (rani 3.40) implica a validade de (rali rano3.38). Isto responde a nossa primeira pergunta.
A segunda pergunta a ser tratada no presente exemplo est´a motivada pela primeira, e aborda, de serto modo, a rec´ıpoca da propriedade derivada para responder a primeira pergunta. Agora perguntamos: se a propriedade (3.38) valer para qualquer triplo de valores xrano i, yj, z`, ser´a
ent˜ao que X, Y, Z s˜ao vari´aveis aleat´orias independˆentes em conjunto?
A resposta ´e “sim”. Nos pretendemos demostr´a-la num caso particular. O tratamento do caso expor´a todas as id´eias necess´rias para a demostra¸c˜ao do caso geral, sem sobrecarregar o texto por nota¸c˜oes extravagantes necess´arias para o tratamento do caso geral.
Suponhamos ent˜ao que X pode assumir um de trˆes valores x1, x2, x3, e que Y pode assumir
um de dois valores y1, y2, e que Z pode assumir um de dois valores z1, z2. Suponhamos que
para estas X, Y, Z vale (3.38). Queremos provar que estas vari´rano aveis aleat´orias formam conjunto independente no sentido da defini¸c˜ao dada acima. Vladimir vai terminar.
3.6.5
fap
Aqu´ı, voltaremos `a discuss˜ao bem no in´ıcio da presente se¸c˜ao e analisaremos o que acontece com um triplo de vari´aveis aleat´orias que s˜ao independentes em pares. ´E o conte´udo do exemplo abaixo.
3.7
Aplica¸c˜ao
prilo
O conteudo desta se¸c˜ao n˜ao ser´a utilizado em nenhum momento neste livro. O objetivo aqui ´
e mostrar a aplica¸c˜ao dos conceitos e resultados introduzidos no presente cap´ıtulo. Para tal, ser´a abordado um problema muito parecida com problemas reais. Por favor, observe que na sua solu¸c˜ao usaremos quase que todos resultados discutidos no cap´ıtulo. Isto deve lhe indicar a existˆencia de uma amarra¸c˜ao natural entre as partes do cap´ıtulo.
Come¸co enunciando e demonstrando o seguinte resultado:
Propriedade 11 (desigualdade de Markov). Seja X uma vari´avel aleat´oria que n˜ao
Mark
assume valores negativos e seja ε qualquer n´umero real positivo. Ent˜ao, IP [X ≥ ε] ≤ IE [X]
ε (3.41) bys
Para elaborar um pouco de intui¸c˜ao, vamos fazer duas verifica¸c˜oes da corre¸c˜ao da desigual- dade. A primeira verifica¸c˜ao baseia-se no fato que IP [X > ε] decresce com o aumento do valor do limiar ε. ´E uma ´obvia propriedade da probabilidade. De outro lado, a express˜ao `a direita da desigualdade (3.41) diminui com o aumento de ε pois este est´bys a no denuminador da fra¸c˜ao. Ent˜ao concluimos que a fra¸c˜ao ´e um estimador por cima para a referida probabilidade que “tenta” acompanhar a se ajustar
Demonstra¸c˜ao. A an´alise feita acima nos ensinou que a desigualdade de Markov serve como estimativa por cima para probabilidade de vari´avel aleat´oria asusmir valores maiores que um limiar (o qual, segundo as condi¸c˜oes da poposi¸c˜ao, pode ser arbitr´ario mas positivo). Mas se formos tomar este fato como o guia para a procura da demostra¸c˜ao, termos dificuldades. A demostra¸c˜ao simples e clara sai se olharmos para a desigualdade por outro ˆangulo, especifica- mente, como a estimativa por baixo da IE [X]. Com isto quero dizer o seguinte: vamos provar que
IE [X] > ε × IP [X > ε] (3.42) pol
partindo de seu lado esquerdo e tentando chegar `a sua express˜ao `a direita.
Usaremos na demonstra¸c˜ao a nota¸c˜ao x1, x2, . . . , xn para os valores da vari´avel aleat´oria X,
que figura nas desigualdades, e assumimos que a indexa¸c˜ao desses e tal que
x1 < x2 < · · · < xn (3.43) iksy
Denotamos por p1, p2, . . . , pn as respectivas probabilidades (isto ´e, pi = IP [X = xi]). Enterpre-
tamos ε um valor positivo que algu´em fixou arbitrareamente e entregou para nos. Em posse de ε, compararamos-o com os x’s e denotamos por xj o maior destes que n˜ao ultrapasse ε (em
consequencia desta defini¸c˜ao, tem-se xj+1> ε, xj+2 > ε, . . . , xn > ε)
IE [X] =
n
X
i=1
pixi (devido `a defini¸c˜ao de IE)
= j X i=1 pixi+ n X i=j+1
pixi (usamos j definida agora pouco)
>
n
X
i=j+1
pixi (eliminamos uma somat´oria feita de valores positivos)
>
n
X
i=j+1
piε (aproveitamos que xj+1, xj+2, . . . , xn s˜ao todos maiores que ε)
= ε ×
n
X
i=j+1
pi = ε × IP [X > ε]
Ent˜ao, provamos (3.42) e, portanto, tamb´pol em (3.41).bys
Propriedade 12 (desigualdade de Tchebyshev). Para qualquer vari´avel aleat´oria X
Tcha
com IE [X] finita (isto ´e, excluiam-se da considera¸c˜ao as vari´aveis com a esperan¸ca infinita ou indefinida; os casos de tal comportamento da esperan¸ca foram descritos no texto ap´os a Defini¸c˜ao 8 onde tamb´madia em avisamos que tais casos n˜ao surgir˜ao em nossa exposi¸c˜ao) e qualquer n´umero real positivo ε vale a seguinte rela¸c˜ao:
IPh X − IE[X] ≥ ε i
≤ Var [X]
ε2 (3.44) teby
Demonstra¸c˜ao. Construimos duas novas vari´aveis aleat´orias: Y = X − IE[X] e Z = X − IE[X]
2
Como tanto X − IE[X] quanto ε s˜ao n˜ao nagativos, conclui-se facilmente que IPh X − IE[X] ≥ ε
i
= IPh X − IE[X]2
≥ ε2i (3.45)
neda
Agora, usaremos a Desigualdade de Markov para estimar a probabilidade que fica ao lado direito da igualdade acima. Note que esta desigualdade aplica-se as vari´aveis aleat´orias na˜o negativas, e note que X − IE[X]2 atende este quesito. Ent˜ao, a Desigualdade de Markov nos d´a que IP h X − IE[X]2 ≥ ε2i ≤ IEh X − IE[X]2i ε2 (3.46) fawe
Juntando (neda3.45) com (3.46) deriva-se a desejada desigualdade (fawe 3.44).teby
Observe que a Desigualdade de Markov aplicada acima a IPh X − IE[X]2 ≥ ε2i aplica-se
tamb´em a IPh X −IE[X] ≥ ε i
. Mas se isto fosse feito, a estimativa fornecida pela desigualdade seria
IEh X − IE[X] i
e a esperan¸ca do valor absoluto envolvida nesta n˜ao possui a propriedade de aditividade da variˆancia, e consequentemente, a aplicabilidade da estimativa (paqe3.47) ´e mais reduzida que a da (fawe3.46).
Agora imagine um casino simplificado, onde vocˆe pode apostar quaisquer valores em quais- quer resultados de ... .Suponha que que vocˆe est´a disposto a arriscar R$100
Vejamos o que acontecer´a caso vocˆe apostar R$100 na primeira moeda. De acordo com a regra da cassino, vocˆe ganhar´a R$100 caso a moeda apresentar “cara”, e perder´a R$100 na “coroa”. Note que vocˆe ganhar´a R$100 ou perder´a o mesmo valor com probabilidades iguais. Em m´edia, vocˆe estar´a no zero, mas isto n˜ao te consola, nem te ajuda em nada nesta estrategia de aposta.
Agora considere a seguinte estrategia: apostar R$10 em dez lan¸camentos consecutivos. Para analizar esta, denotamos por Y1, Y2, . . . , Y10 os resultados a aparecer nesses lan¸camentos.
Observe que vocˆe ganhar´a R$100 se e somente cada moeda der “cara”. A probabilidade deste evento ´e (1/2)10 = 0, 0009765625 ≈ 0, 1%, o que ´e muuuuito menor que a probabilidade de
ganhar o mesmo valor seguindo a primeira estrat´egia. Acontece que a probabilidade de perder R$100 tamb´em ´e (1/2)10 e esta ´e uma boa not´ıcia, pois a estrategia anterior
3.8
Exerc´ıcios
UprVAD
Exc. 26. Numa urna, h´a 6 bolas idˆenticas, trˆes das quais foram marcadas pelo n´umero 3,
doburnas
outras duas por 2, e uma por 1. Trˆes bolas s˜ao selecionadas da urna, uma de cada vez em sequˆencia, ao acaso e sem reposi¸c˜ao. Denote por X e Y os n´umeros vistos na, respectivamente, primeira e terceira (a terceira! n˜ao a segunda) bola retirada.
Construa a distribui¸c˜ao bivariada do par (X, Y ). Use essa distribui¸c˜ao para (i) construir a distribui¸c˜ao da cada vari´avel aleat´oria, e (ii) verificar se as vari´aveis s˜ao independentes. Coment´ario ao Exc. 26. Se lhe pedisse construir um experimento aleat´doburnas orio e definir nele
duas vari´aveis aleat´orias da maneira tal que elas sejam dependentes, mas tais que suas distribui¸c˜oes sejam idˆenticas, vocˆe julgaria essa tarefa ser dif´ıcil. Tal julgamento ´e injusto, conforme mostra o Exc. 26, pois em seu enunciado simples surgem o par X e Y quedoburnas atendem aos quesitos de meu pedido. Na realidade, ao passar por exerc´ıcios subsequentes, vocˆe ver´a que o pedido tem muitas respostas e ainda que boa parte delas s˜ao simples.
Exc. 27. Uma urna cont´em quatro bolas enumeradas 1, 2, 3 e 4. Duas bolas s˜ao selecio-
varemurnas
nadas ao acaso, uma de cada vez, sem reposi¸c˜ao. Seja Z a vari´avel aleat´oria denotando a soma dos n´umeros das bolas selecionadas, e sejam X e Y as vari´aveis aleat´orias denotando, respectivamente, o n´umero da primeira e da segunda bola selecionada.
(a) Construa as trˆes distribui¸c˜oes: a de X, a de Y e a de Z.
(b) Construa a distribui¸c˜ao bivariada do par (X, Y ). Fa¸ca as distribui¸c˜oes marginais dessa distribui¸c˜ao. Compare as distribui¸c˜oes marginais com as distribui¸c˜oes univariadas de X e de Y construidas no item (a). Comente acerca da coincidˆencia/divergˆencias entre as distribui¸c˜oes comparadas.
(c) X e Y s˜ao dependentes?
(d) Calcule os valores de IEX, IEY , IEZ, VarX, VarY , VarZ.
(e) Note que a maneira, por via da qual definimos X, Y e Z, garante que essas est˜ao em rela¸c˜ao
Z = X + Y (3.48) sesomam
Recorde que foi provado que tal rela¸c˜ao garante que IE[Z] = IE[X] + IE[Y ]. Verifique se os valores das IE[X], IE[Y ] e IE[Z] calculados no item (d) de fato satisfazem a igualdade garantida pela teoria.
(f ) Recorde que a rela¸c˜ao Z = X + Y por si s´o n˜ao garante que a validade da propriedade Var[Z] = Var[X] + Var[Y ]; para a garantia, ´e precisa ainda que X e Y sejam independentes. Acerca desta propriedade, vale recordar que sua rec´ıpoca n˜ao ´e v´alida, quer dizer, as variˆancias das vari´aveis X, Y e Z possam satisfazer a rela¸c˜ao Var[Z] = Var[X] + Var[Y ] sem que X e Y sejam independentes. Tudo isso motiva que seja perguntado se no presente caso X e Y s˜ao indepedentes e se os valores de Var[Z], Var[X] e Var[Y ] atendem `a rela¸c˜ao Var[Z] = Var[X] + Var[Y ] (recorde que a independˆencia j´a foi verificada no item (c)).
Exc. 28. Repita o Exc. 27 mas para o caso quando as bolas s˜varemurnas ao selecionadas com reposi¸c˜ao.
voromornas
Exc. 29. Pedro e Jos´e resolveram jogas o seguinte jogo. O jogo constitui-se de dois passos. No
dpas
primeiro passo lan¸ca-se uma moeda honesta e Pedro ganha R$1 de Jos´e caso der ”cara”, e paga R$1 a Jos´e caso der ”coroa”. Caso o primeiro lan¸camento acabar em ”cara”, ent˜ao no segundo passo do jogo ser´a lan¸cada uma moeda honesta, e Pedro ganhar´a R$1 de Jos´e na ”cara”, pagar´a R$1 a Jos´e na ”coroa”. J´a caso o primeiro lan¸camento der ”coroa”, ent˜ao no segundo passo ser´a lan¸cado um tetraedro equilibrado, cujas faces s˜ao marcadas com os n´umeros -2, -1, 1, 2,
e Pedro ganhar´a/perder´a o valor mostrado pelo tetraedro (recorde que nosso acordo ´e que um tetraedro, ao ser lan¸cado, “mostra” a face na qual ele fica apoiado quando parar).
Designamos por X, Y respectivamente o saldo de Pedro no primeiro e no segundo passo do jogo, e designamos por Z o saldo de Pedro neste jogo.
Responda `as perguntas do Exc. 27 acerca de X, Y e Z agora definidas.varemurnas
Coment´ario. O Exc. dpas29 fornece vari´aveis aleat´orias X e Y , que s˜ao dependentes mas tais que Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ].
Exc. 30. Jos´e pegou duas moedas honestas e escreveu +1 na face de cara e −1 na face de
dmopaga
coroa de cada uma delas. Jos´e lan¸ca estas moedas em sequˆencia e “acerta” as contas com Paulo e com Renato seguindo os seguintes “contratos”. O valor a ser pago para Paulo ´e duas vezes o resultado da primeira moeda mais uma vez o resultado da segunda. J´a o valor a ser pago para Renato ´e uma vez o resultado da primeira moeda mais duas vezes o resultado da segundo. (Em ambos os contratos, Jos´e paga caso o resultado final for negativo e recebe caso for positivo.)
Sejam X a vari´avel aleat´oria que espressa o ganho do Jos´e em jogo com Paulo e Y a vari´avel aleat´oria que espressa o ganho dele em jogo com Renato. Designamos por Z o ganho total do Jos´e, contabilizando os dois jogos.
Responda `as perguntas do Exc. 27 acerca de X, Y e Z agora definidas.varemurnas
Exc. 31. Jos´e e Carlos s˜ao donos de um casino. Este ´e bem simples, bem dom´estico, do fundo
dvazve
de quintal, pode-se dizer. Eles lan¸cam trˆes moedas honestas, as quais tinha cido pintadas de vermelho, verde e azul. Os freguezes da casino podem escolher se jogam com o par vermelho e verde, ou com o par verde e azul. Ent˜ao frequez ganha a quantia igual ao n´umero de caras nas moedas escolhidas e paga a quantia igual ao n´umero de coroas nelas.
Pedro quer jogar com par vermelho e verde e com par verde e azul. Designamos por X a quantia que ele ganhar´a/perder´a pelo jogo com par vermelho-verde e por Y a quantia que ele ganhar´a/perder´a pelo jogo com par verde-azul. Designaremos tamb´em por Z o ganho/perda total dele.
Responda `as perguntas do Exc. 27 acerca de X, Y e Z agora definidas.varemurnas
Lembrete. Acrescentar `as pr´oximas vers˜oes do texto uma exten¸c˜ao do Exc. 31, no qual odvazve numero de vari´aveis seja maior que dois, e mostrar a diminui¸c˜ao da variˆancia da soma ponderada; ´e o que os economistas chamam de diversifica¸c˜ao de investimento. Exc. 32. Os pares de vari´aveis aleat´orias, construidos nos exer´ıcios dessa se¸c˜ao formulados at´e
nomesmo
o momento, surgem em experimentos aleat´orios sequenciais. Para “quebrar a paradigma”, incluo o presente exerc´ıcio; seu experimento aleat´orio n˜ao ´e sequencial (ele ´e simples). Numa urna h´a 100 bolas do mesmo tamanho. 60 delas foram marcadas com −1, outras 30 com 0 e os restantes 10 com 1. Das 60 bolas que carregam a marca −1, 55 bolas s˜ao brancas e ouros 5 s˜ao cinzas; das 30 bolas que carregam a marca 0, 12 s˜ao brancas e 18 s˜ao cinzas; e das 10 bolas que carregam a marca 1, 6 s˜ao brancas e 4 cinzas. Retira-se ao acaso um bola. Definimos o valor da vari´avel aleat´oria X ´e igual ao n´umero da bola retirada, e definimos que a vari´avel aleat´oria Y assume valor 1 se a cor da bola for branca e assume 2 se for cinza.
Construa a tabela da distribui¸c˜ao bivariada de X e Y . Verigique se elas s˜ao indpendentes. Aviso. Urnas, bolas, moedas, e, de novo, urnas, bolas, moedas... a semelhan¸ca entre os Exerc´ıcios26–doburnasnomesmo32 mostra o esgotamento de minha imagina¸c˜ao na cria¸c˜ao de experimentos aleat´orios, que sejam n˜ao triviais e, ao mesmo tempo, n˜ao complexos, e que me permi- tiriam definir vari´aveis aleat´orias da maneira tal que quando essas fossem entreguem ao meu leitor para que o mesmo verifique a independencia e c´alcule esperan¸ca e variˆancia das vari´aveis, ent˜ao a tarefa de verifica¸c˜ao e de c´alculo n˜ao seria nem trivial, nem pesada.
Perante tal de esgotamento de imagina¸c˜ao, optei pelas seguintes saidas. A primeira ´e criar tarefas sem a descri¸c˜ao de experimento aleat´orio qualquer. Isso est´a implementado no Excerc´ıcio fiter35. A outra maneira ´e formular o experimento aleat´orio subjacente em termos de nosso dia-o-dia. Dessa maneira nasceram Excerc´ıcios tzena33 e servicoABC34.
Exc. 33. Para voltar para minha casa, posso ir pela estrada A ou pela estrada B, e em
tzena
qualquer uma das duas, posso tomar ˆonibus ou lota¸c˜ao (dependendo do qual chegar o primeiro). Na estrada A h´a probabilidade 0,40 de tomar ˆonibus e 0,60 de tomar lota¸c˜ao (quer dizer, na estrada A, ˆonibus chega antes da lota¸c˜ao com a probabilidade 0,40). J´a na estrada B estas probabilidades s˜ao 0,7 e 0,3 respectivamente. Ao sair de trabalho, escolho a estrada A com probabilidade 0,2 e a estrada B com probabilidade 0,8. Passagem de ˆonibus custa R$1 e a de lota¸c˜ao R$2. Designamos por X a vari´avel aleat´oria que representa o gasto com passagem na minha volta para casa. Pede-se achar a distribui¸c˜ao de X e calcular IE(X) e Var(X).
Suponha que os pre¸cos de passagens se triplicaram. Denote por Y o gasto com passagem na minha volta para casa depois do aumento de pre¸co. Ache a distribui¸c˜ao de Y e IE(Y ) e