Os parâmetros presentes na equação que represente um processo físico podem ser dimensionais ou adimensionais com valores numéricos dependentes das unidades de medida adotada, são eles: variáveis, constantes físicas específicas, constantes físicas universais e fatores. São exemplos a força, módulo de elasticidade e a aceleração da gravidade.
Tais parâmetros presentes nas leis físicas são quantidades (magnitudes) das grandezas físicas. Tais grandezas físicas são, por exemplo, a massa, o comprimento ou o tempo. O Sistema Internacional de Unidades (SI) é constituído por sete grandezas físicas fundamentais, consoante Tabela 5.1:
Tabela 5.1-Grandezas físicas fundamentais do SI
Grandeza física fundamental Símbolos usuais Símbolos nas fórmulas dimensionais Unidade comprimento l, L L Metro (m) massa m, M M Quilograma (kg) tempo t, T T Segundo (s)
corrente elétrica i, I I Ampére (A) temperatura absoluta ou termodinâmica T, Θ Θ Kelvin (K)
intensidade luminosa I, Iv Iv Candela (cd) quantidade de substância n Mol, N Mol (mol)
Quando existem na relação funcional (equação do processo físico) grandezas do mesmo tipo uma delas deverá ser selecionada e definida como representativa, as demais grandezas do mesmo tipo são substituídas por relações com a eleita como representativa. Tais relações são adimensionais e comumente chamados de fatores de forma. Exemplo bastante característico são as relações entre comprimentos. Uma dimensão é escolhida como representativa e as demais são relações que irão conter a informações da geometria do corpo. Outro exemplo, são as forças concentradas que poderão ser representadas mediante relações com uma força escolhida como principal.
Algumas vezes não é possível definir, por exemplo, a geometria de um corpo por um número finito de parâmetros geométricos, ou seja, os fatores de forma. É o caso dos
(
)
1
g
2,
3,...,
k55
contornos curvos cuja forma é dada por meio de uma função. Ao substituir as coordenadas de um ponto dessa curva por suas relações com a dimensão representativa essa função passa a ser adimensional sendo chamada de função de forma. Este conceito pode ser aplicado quando o comportamento físico de uma substância é não linear, nesse caso é impraticável caracteriza-lo apenas por uma constante física específica. É o caso dos corpos sólidos que não obedecem a lei de Hooke (CARNEIRO, 1993).
Segundo CARNEIRO (1993), na análise dimensional é definido que uma das variáveis é a dependente, ou seja, é a incógnita do problema, as demais variáveis, constantes físicas universais ou específicas, fatores de forma e funções de forma constituem os dados do problema. Sendo que a variável dependente está presente em apenas um número Π.
(variável dependente) = f(variáveis dependentes, constantes físicas específicas, constantes físicas universais, fatores de forma, funções de forma)
(5.5)
Para obtenção dos números Π’s é utilizada a segunda parte do teorema pi de Buckingham que afirma:
“Encontrada a redução j, selecionamos então j variáveis de escala que não formem um Π entre elas mesmas. Cada grupo Π será um produto de potências dessas j variáveis e uma variável adicional, à qual é atribuído qualquer expoente não nulo conveniente. Cada grupo Π assim encontrado é independente.”
Nesse contexto, há os conceitos de protótipo e modelo explanados nos parágrafos seguintes:
Protótipos (P) são fenômenos que se pretender simular com o objetivo de prever seu comportamento, como exemplo no campo da engenharia estrutural podemos citar uma viga metálica de um viaduto que se pretende entender o comportamento da sua capacidade de resistência aos esforços de momento fletor quando exposta ao aumento de sua temperatura provocado por um incêndio. A referida viga é o protótipo. Outro exemplo, no campo da engenharia aeronáutica, seria um novo modelo de avião onde a questão a ser estudada são as forças de arrasto causado por sua aerodinâmica.
Modelos (M), ou modelos em escala, ou modelos reduzidos, são a representação dos fenômenos (protótipos) a serem estudados em diferentes escalas. Tais representações devem obedecer a relações apropriadas entre as propriedades geométricas, as forças
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atuantes e propriedades do material, todos compatíveis com as variáveis a serem estudadas e limitações de ordem construtiva. Aproveitando o exemplo citado anteriormente, seriam construídos modelos de vigas metálicas em escalas menores que a unidade a fim representar as vigas de um viaduto submetidas a um incêndio. A partir de experimentos realizados nos modelos buscam-se prever o comportamento dos protótipos.
Segundo ensinado por MURPHY (1950), um modelo é um dispositivo que está tão relacionado a um sistema físico que as observações no modelo podem ser usadas para prever com precisão o desempenho do sistema físico no escopo desejado. O sistema físico para o qual as previsões devem ser feitas é chamado de protótipo. Em regra, mais de um modelo podem ser usados para prever o comportamento de um dado protótipo.
Outro conceito muito importante é o fator de escala definido como relações entre as magnitudes das grandezas de mesmo tipo (CARNEIRO, 1993). Magnitudes são os valores dos parâmetros. É definido por exemplo, segundo MURPHY (1950), como a razão de uma distância pertinente no protótipo para a distância correspondente no modelo.
Assim, via de regra, toda e qualquer distância no modelo deverá ser 1
n da
correspondente distância no protótipo.
(5.6)
Nesse mister, há o conceito de pontos homólogos definidos como pontos no modelo correspondentes aos pontos no protótipo. As posições dos referidos pontos devem obedecer ao fator de escala. Pode-se também, introduzir o conceito de tempos homólogos definidos como o tempo no modelo correspondentes ao tempo no protótipo. Os tempos homólogos obedecem a parâmetros adimensionais relacionados ao tempo.
Voltando a segunda parte do teorema pi de Buckingham e ilustrando sua aplicação, WHITE (2002) exemplifica um caso que se quer analisar experimentalmente a força F sobre um corpo imerso em uma corrente de fluido e que tal força dependa do comprimento do corpo L, da velocidade da corrente V, da massa específica ρ e da viscosidade do fluido
μ, conforme expressão seguinte.
(5.7) 1 fator de escala = distância no protótipo distância no modelo
(
)
(
)
1 2, ,...,
3 n, , ,
v
=
f v v
v
F
=
f L V
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Aplicando o teorema de Buckingham, a formulação anterior ficou equivalente a expressão a seguir.
(5.8)
Segundo WHITE (2002) a análise dimensional nos fornece leis de transposição, ou leis de escala (scaling laws) conforme SAITO, ITO e KUWANA (2015), que permitam converter dados de um modelo (M) pequeno e barato em informação de projeto de um protótipo (P) grande e caro. Assim, quando a lei de transposição é válida existe semelhança entre o modelo e o protótipo. No caso da equação (5.8) a semelhança ocorre
se o número de Reynolds =2 VL é o mesmo para o modelo e para o protótipo
incorrendo o mesmo para a expressão 1 F 2 2
V L
= , conforme expressões seguintes onde
os parâmetros adimensionais, ou números Π’s, devem ser obrigatoriamente igual no
protótipo e no modelo
(
= p m)
.(5.9)
(5.10)
Um esquema gráfico do processo de aplicação da teoria da semelhança é apresentado em seguida conforme COUTINHO, BAPTISTA e RODRIGUES (2016). Onde as leis de escalas (scaling laws) referem-se aos números adimensionais ou números Π’s.
Figura 5.1-Esquema para previsão do comportamento estrutural de um protótipo baseado em resultados experimentais do modelo em escala, adaptado de COUTINHO, BAPTISTA e
RODRIGUES (2016).
(
)
1 2, 3,..., k 2 2 F VL g g V L = = 1 1 2 2 2 2 p m p m p p p m m m F F V L V L = = 2 2 p p p m m m p m p m V L V L = =Modelo em escala real Modelo em escala reduzida
Condições de semelhança Leis de escala Geometria Geometria Comportamento estrutural Comportamento estrutural
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Em uma visão mais geral e em termos matemáticos a definição de semelhança foi apesentada por LANGHAAR (1951):
Uma função f é semelhante a uma função f’, desde que a razão f/ f’ seja uma constante, quando as funções são avaliadas para pontos homólogos e tempos homólogos. A constante λ = f ‘/f é chamada de fator de escala para a função f.
De uma outra perspectiva e, também, de forma geral (SZÜCS, 1980) afirma:
A suficiente e necessária condição de semelhança entre dois sistemas é que o modelo matemático de um tenha relação de transformação biunívoca com o outro.
(5.11)
Onde:
Xp Vetor com os parâmetros do protótipo
Matriz transformação contendo as variáveis adimensionais ou números Π’s X
m Vetor com os parâmetros do modeloEm resumo, para que um protótipo possa ser representado por um modelo, ou seja, que os resultados aferidos dos experimentos com o modelo possam ser extrapolados ao protótipo, é necessário que, primeiramente, exista semelhança geométrica. Em seguida, em princípio, obedecer a semelhança física no qual todas as variáveis adimensionais obtidas do teorema pi de Buckingham – números Π’s ou grupos adimensionais -, fatores de forma e funções de forma devem ser iguais no protótipo e no modelo.