Conceitos e definições

A Teoria dos Jogos é um ramo da matemática aplicada, que tem como objeto de estudo as estratégias utilizadas pelos jogadores na tentativa de melhorar seu retorno. Assim, a Teoria dos Jogos modela situações nas quais dois ou mais agentes de decisão interagem entre si. Conforme Von-Neumann e Morgenstern (1944), a Teoria dos Jogos busca explicar as estratégias racionais dos tomadores de decisão nas situações em que o resultado depende não só da estratégia própria desse agente, mas também daquelas escolhidas pelos demais, podendo essas estratégias serem diferentes ou possuírem objetivos comuns. Segundo Bierman (2010), a Teoria dos Jogos preocupa-se com o modo como os indivíduos tomam decisões quando estão cientes de que suas ações afetam uns aos outros e quando cada indivíduo leva isso em conta. Trata-se da interação entre tomadores de decisões individuais, todos eles com um propósito em vista, cujas decisões têm implicações para outras pessoas, o que torna as decisões estratégicas diferentes de outras decisões. Segundo Jackson (2011), a Teoria dos Jogos pode ser usada como suporte teórico para se estudar os mais diversos assuntos, tais como eleições, leilões, oligopólios, concorrência de mercado, disputas entre sindicatos e empresas, disputas judiciais entre outras. Pohlmann e Iudicibus (2006) citam que a Teoria dos Jogos também produz suporte teórico relevante para análise de questões aplicáveis à área tributária, já que tem como objetivo crucial determinar a estratégia ótima para cada jogador.

Portanto, a Teoria dos Jogos tem como objeto de estudo as estratégias desenvolvidas pelos tomadores de decisão na busca da maximização da sua utilidade esperada. De acordo com essa teoria o indivíduo racional buscará entender todas as possibilidades de jogadas, sua e dos seus adversários, e tomará a decisão que lhe dará a maior utilidade esperada. Dessa forma, esta pesquisa utiliza-se dos pressupostos da Teoria dos Jogos para responder à questão de pesquisa de qual é o impacto da complexidade tributária e dos parcelamentos especiais na tomada de decisão do contribuinte pela desobediência tributária.

Conforme Sartini, Garbugio, Bortolossi, Santos e Barreto (2004), há relatos sobre a Teoria dos Jogos desde o século XVIII, com os registros de correspondência de James Waldegrave a Nicolas Bernoulli, nos quais Waldegrave analisa um jogo de cartas chamado

“le Her” e fornece uma solução, que é um equilíbrio de estratégia mista. Já no século XIX, Augustin Cournot utiliza-se de bases da Teoria dos Jogos para estabelecer suas conclusões sobre o duopólio. Em 1913, Ernst Zermelo publicou o primeiro teorema matemático da Teoria dos Jogos no qual afirmava que, no jogo de xadrez, há pelo menos um dos jogadores com uma estratégia que lhe dará a vitória ou que o conduzirá ao empate. A Teoria dos Jogos somente começou a receber grande atenção com a publicação dos trabalhos de John Von-Neumann. O grande destaque da Teoria dos Jogos ocorreu com a publicação do trabalho “The Theory of Games and Economic Behaviour”, em 1944, de autoria de John Von-Neumann e Oscar Morgenstern. Outro avanço para a Teoria dos Jogos ocorreu com a publicação de

“Non-Cooperative Games” por John Forbes Nash que provou a existência de um equilíbrio de estratégias mistas para jogos não cooperativos, denominado equilíbrio de Nash. Em essência, um equilíbrio de Nash ocorre quando um jogador, sabendo da estratégia do outro, adota uma estratégia que acarretará em ganho para ele e para os outros jogadores. Dessa forma, se for de conhecimento comum que cada jogador espere que os demais adotem a estratégia a eles designada, será realmente ótimo adotá-la. Tal coleção de estratégias constitui um equilíbrio de Nash (Bierman, 2010).

Também proporcionou grande avanço à Teoria dos Jogos o trabalho de Robert Putnam (1988), o qual apresentou a Teoria da Ratificação ou a Teoria dos Jogos de Dois Níveis, a qual permite sustentar a ideia de que quando os líderes nacionais devem obter as ratificações (formais ou informais) dos membros de seus parlamentos para um acordo internacional, seus comportamentos em negociações refletem os imperativos simultâneos tanto de um jogo de política doméstica quanto de um jogo de política internacional. Isto é, nas negociações de um Estado com um terceiro, sendo que essas negociações somente se confirmam se, e somente se, o legislativo aprovar as negociações, existem dois níveis, o nível I (externo) e o Nível II

(doméstico) que aprova a negociação do nível I. Logo, para ter sucesso no nível I, o negociador deve ter um conjunto de vitórias plausíveis de ratificação pelo nível II, sendo que quanto maior esse conjunto de vitórias, maiores serão as chances de concretização da negociação firmada no nível I. Portanto, a Teoria dos Jogos de Dois Níveis enfatiza o papel das preferências, coalizões, instituições e práticas domésticas, das estratégias e táticas dos negociadores, da incerteza, das reverberações domésticas das pressões externas e o papel dos interesses do negociador-chefe (Putnam, 1988).

A Teoria dos Jogos estuda situações estratégicas nas quais jogadores escolhem diferentes estratégias na tentativa de melhorar seu retorno, isto é, sua utilidade esperada.

Portanto, a Teoria dos Jogos tem como objetivo a busca por estratégias racionais em situações nas quais o resultado depende não só da estratégia própria de um agente e das condições de mercado, mas também das estratégias escolhidas por outros agentes que, possivelmente, têm estratégias diferentes ou objetivos comuns (Von-Neumann & Morgenstern, 1944; Nash, 1951;

Tucker, 1953; Putnam, 1988, Bierman, 2010).

Conforme Sartini et al. (2004), um jogo tem os seguintes elementos básicos: (i) um conjunto finito de jogadores, representado por G = {g1, g2,...,gn}; cada jogador gi ∈ G possui (ii) um conjunto finito Si = {si1, si2,...,simi} de opções, denominadas estratégias puras do jogador gi (mi ≥ 2). (iii) Um vetor s = (s1j1 , s2j2 ,...,snjn), onde siji é uma estratégia pura para o jogador gi ∈ G, é denominado um perfil de estratégia pura. Assim, o conjunto de todos os perfis de estratégia pura forma, o produto cartesiano

" = $ "_! = "_"& "_# & …

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denominado espaço de estratégia pura do jogo. Para jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade

ui : S → R s → ui(s)

que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.

Sendo assim, um jogo possui um número finito de jogadores, que possuem um número finito de estratégias, sendo que cada estratégia corresponde a um retorno (payoffs). Dados esses elementos a Teoria dos Jogos estabelece o equilíbrio do jogo que nada mais é que a estratégia ótima a ser tomada, levando em consideração a estratégia do adversário (Pohlmann

e Iudicibus, 2006). A identificação dos equilíbrios do jogo pode ser realizada basicamente de três formas, quais sejam, (i) equilíbrio da estratégia dominante, (ii) equilíbrio da estratégia dominante iterada e (iii) equilíbrio de Nash. Nos próximos tópicos será detelhado cada um desses equilíbrios para melhor entendimento da teoria.