Conceitos teóricos da Técnica de Bobina Girante

A Técnica de Bobina Girante se enquadra na categoria de métodos de caracterização magnética que determinam o campo magnético a partir do fluxo magnético, mais precisamente da variação deste em uma determinada configuração de condutores. Conforme prediz a Lei de Faraday, uma força eletromotriz é induzida nos terminais de um circuito condutor quando este experimenta essa variação temporal de fluxo magnético , sendo matematicamente expressa por:

(2.43)

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No caso da técnica em questão, o campo magnético é determinado através do sinal de tensão induzido sobre uma configuração de bobina que gira na região de campo interna aos polos do magneto, conforme apresenta a Figura 2.6. Em relação ao sistema de coordenadas apresentado, apenas a componente azimutal de campo é normal à área sensora da bobina. Essa configuração do loop é conhecida como bobina radial, pois o plano da bobina coincide com o plano radial.

Figura 2.6. Bobina girante na região de campo de um magneto. A componente Bθ (normal à área sensora da bobina)

provoca a variação de fluxo magnético nas Ne espiras de raios interno e externo r1 e r2, respectivamente. A bobina

gira no sentido positivo do eixo azimutal θ.

Da definição de fluxo magnético (para uma bobina):

∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ (2.44)

onde e são os raios interno e externo da bobina, respectivamente, e é o comprimento integrado. O termo ∫ corresponde ao campo azimutal integrado na direção longitudinal do magneto, sendo descrito como . A abordagem bidimensional de campo explanada na Seção 2.1 equivale em termos de campo integrado à média longitudinal das componentes de campo em

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três dimensões. A determinação do campo integrado (ou das componentes multipolares integradas) é o principal parâmetro de interesse [29]. Do que foi mencionado:

∫ (2.45) Substituindo (2.11) em (2.45): ( ) ∑( ) , ( ) ( )- (2.46) De (2.43): ( ) (2.47)

onde é a velocidade angular da bobina. Resolvendo:

( ) ∑ ( ), ( ) ( )-

(2.48)

A partir de uma análise do espectro do sinal direto da tensão induzida (descrito como uma série de Fourier), da geometria da bobina e da velocidade de giro é possível obter os coeficientes multipolares integrados. Uma das principais dificuldades de caracterizar um magneto dessa forma é dependência da velocidade de giro, que em função de pequenas variações devido aos equipamentos e pelo sistema transmissor de rotação pode gerar componentes espúrias de baixa ordem [27], prejudicando assim a acurácia da medida.

De (2.41) e (2.42):

( ) ∑( ), ( ) ( )-

(2.49)

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| | ( )√( ) ( ) (2.50)

ou

| | ( ) (2.51)

onde é o módulo dos coeficientes multipolares.

Com o advento de integradores, foi possível aperfeiçoar consideravelmente a técnica de bobina girante [22]. Uma das vantagens de integrar o sinal induzido advindo da bobina é que esse processo é capaz de filtrar os ruídos elétricos de frequência maior que a frequência de aquisição (ou número de aquisições por volta). Outra grande vantagem, como solução do problema mencionado anteriormente, e a independência da velocidade de giro. A seguir é explanado como os coeficientes multipolares podem ser obtidos a partir da tensão integrada.

Pela Lei de Faraday, para um passo de tempo :

∫

(2.52)

onde é a variação de fluxo magnético em um enrolamento de bobina entre e . Como é definido em função de , é útil reescrever a integração da tensão em função de . Sabendo que :

∫ (2.53)

Convém lembrar que também equivale à variação de fluxo magnético entre os passos angulares e . A tensão induzida integrada ∫ é descrita como uma função analítica da posição angular , podendo ser caracterizada matematicamente como uma série de Fourier devido à periodicidade do sinal. Abrindo o lado direito de (2.53) a partir de (2.45) e igualando o resultado a uma série de Fourier de coeficientes e :

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*∫ ( ) ∫ ( ) + ∑ ( ) ( )

(2.54)

Substituindo (2.11) em (2.54) e isolando os coeficientes multipolares (esta passagem é descrita detalhadamente no Apêndice II):

( ) , ( ) - ( ), ( ) - (2.55) ( ) , ( ) - ( ), ( ) - (2.56) De (2.41) e (2.42): , ( ) , ( ) - ( ), ( ) - - (2.57) , ( ) , ( ) - ( ), ( ) - - (2.58)

A partir de anteriores, é definido um parâmetro conhecido como ângulo da componente fundamental, calculado através de:

₍

) (2.59)

onde é o índice da componente do magneto, definido na Seção 2.2. Quando o magneto é rotacionado pelo eixo magnético7 através de um ângulo qualquer, as componentes multipolares são alteradas conforme os seguintes equacionamentos:

( ) ( ) (2.60)

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( ) ( ) (2.61)

É interessante observar aqui que quando a nova componente fundamental skew é nula. Por isso, muitas vezes este parâmetro é utilizado para realizar o alinhamento angular do magneto, através do cancelamento da componente multipolar fundamental skew. Neste caso, todas as demais componentes multipolares são determinadas através de (2.60) e (2.61). Conforme mencionado, a determinação dos coeficientes multipolares não depende da velocidade de giro.

O processo de integração ocorre vezes para uma volta completa da bobina, no qual o sinal de tensão é integrado em intervalos de (no tempo em intervalos ), gerando assim um sinal amostrado , - de amostras. Discretizando :

( ) (2.62)

onde é a posição angular inicial da bobina, conhecido também como offset angular, sendo idealmente zero, e o passo angular é dado por:

(2.63)

De (2.62):

(2.64)

Substituindo estas expressões nos limites de (2.53) considerando e igualando com o sinal

, -:

, - ∫ ( )

( )

(2.65)

Vale lembrar-se da equivalência entre (2.52), (2.53) e (2.54):

, - ∑ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (2.66)

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Os coeficientes e podem ser obtidos a partir da Transformada Rápida de Fourier (do inglês, Fast Fourier Transform, ou fft) sobre o sinal , -, permitindo assim o levantamento dos coeficientes multipolares integrados a partir de (2.57) e (2.58).

Devido às características de espelhamento do espectro de , - obtido a partir da fft, a recomposição do sinal através da série de Fourier não depende dos termos advindos da fft de

, -, mas apenas da metade deles, o que justifica o somatório em (2.66) ir até o [ ]-ésimo

termo. Para a maioria das situações, as análises multipolares não excedem o 15º harmônico, dado que a influência dos multipolos de alta ordem acima disso é desprezível [30]. Consequentemente, o número de aquisições por volta deve ser adequadamente escolhido, de forma que .

Toda a descrição teórica apresentada até aqui considera que a Técnica de Bobina Girante possui duas idealidades: eixo de giro da bobina coincidente com o centro magnético (linha sobre o eixo longitudinal do magneto cujo campo é nulo) e posição inicial do plano da bobina paralelo com o plano ( ). Na prática, existem tolerâncias para ambos os desalinhamentos, levando em conta que ambos os erros prejudicam a acurácia da caracterização, pois criam componentes multipolares inexistentes. Erros na geometria retangular e vibrações da bobina também foram desprezados até aqui. A seção seguinte inicia os estudos relacionados às fontes de erros da Bobina Girante.