Os estudos sobre o problema da histerese do desemprego vem crescendo no Brasil. Neste trabalho de dissertação utilizamos um procedimento para investigação do comportamento da série do desemprego por meio da representação definida por processos auto-regressivos e de médias móveis fracionalmente integrados, conhecidos como ARFIMA (p,d,q), considerados uma classe mais geral dos modelos ARMA e ARIMA.
Os tradicionais testes de raiz unitária se restringem a dois casos d = {0, 1}. Para os processos ARFIMA o parâmetro “d” pode assumir valores fracionários positivos ou negativos. Para d 0,5 o processo tem variância infinita e é dito ser não estacionário o que implica em efeitos permanentes de inovações não esperadas sobre a série. Sendo d = 0, o processo tem memória curta e se define como um processo ARMA, se d = 1 se caracteriza como um processo do tipo ARIMA.
Os processos ARFIMA, apropriados para analisar as propriedades estatísticas de séries estacionárias caracterizadas por apresentarem longa persistência, permitem a modelagem explicita da estrutura de autocorrelação de longo prazo. A estimação do parâmetro “d” que descreve a estrutura de longa persistência da série foi realizada com o uso dos métodos paramétricos, baseados na maximização da função de verossimilhança.
Os estudos sobre as estatísticas de testes capazes de distinguir comportamentos do tipo I(0), I(d) e I(1) ainda estão em estágio inicial. Dessa forma, constitui-se em uma potencial área de pesquisa a ser intensivamente explorada no campo dos trabalhos de investigação empírica ou da econometria aplicada nos quais a caracterização flexível da dinâmica de longo prazo é de crucial importância. Estes processos ARFIMA, portanto, são muito usuais em estudos que querem verificar o movimento de longo prazo.
Um grande atrativo dos processos fracionalmente integrados é que eles são substancialmente mais flexíveis do que as assunções extremas adotadas pelos testes convencionais de raiz unitária e suas correspondentes implicações em termos dos efeitos de choques sobre as
variáveis analisadas. O lento decaimento dos choques implicado pelos processos I(d) e o muito lento mas eventual ajustamento ao equilíbrio são aspectos atrativos do processo.
Sob a abordagem dos modelos ARFIMA podemos concluir que para uma série temporal ser reversível na média ela não necessariamente precisa ser integrada de ordem zero, I(0), mas sim de ordem menor do que 0,5 ou d < 0,5. Deste modo pode-se dizer que os efeitos de inovações inesperadas sobre o nível de desemprego são persistentes sendo necessário um longo período de tempo para que esses efeitos de dissipem. Por isto dissemos, neste caso, que o processo tem memória longa.
Os testes convencionais de raiz unitária podem levar a conclusões equivocadas quando o processo tem raiz próxima da unidade. A hipótese de permanência dos efeitos de inovações inesperadas sobre o nível de desemprego, correspondente à hipótese de histerese da taxa de desemprego, não necessariamente requer uma ordem de integração igual a 1, I(1), mas sim que d 0,5. Neste sentido a abordagem dos modelos ARFIMA é um método mais eficiente, corroborando as nossas suspeitas.
Este trabalho envolve um esforço de aprendizado de técnicas avançadas de econometria de séries temporais muito difundidas entre físicos, matemáticos e estatísticos, mas ainda pouco aproveitadas na investigação empírica na ciência econômica, sobretudo no Brasil. O conhecimento da natureza do comportamento do desemprego é fundamental ao desenho de políticas de longo prazo que sejam capazes de estabilizar os níveis de desemprego.
Com isto, podemos evidenciar a presença de histerese na taxa de desemprego do Brasil. As propriedades estatísticas da série e a relevância empírica das predileções sugeridas pela teoria econômica da histerese do desemprego indicam uma instabilidade dos níveis de desemprego efetivo. Podemos assim, refutar a idéia de uma tendência estável de retorno da taxa de desemprego ao seu nível original ou o restabelecimento do nível de desemprego àquele que precede o choque adverso.
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APÊNDICE A: Tabela 1 - ADF - Equação estimada por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)
Nota1: Produzido com o software a partir do procedimento LINREG. Nota2: Valores críticos conforme Enders (2004, p. 439 – Tabela A).
Nota3: Conforme Andrade (2001, p. 32), no software utilizado o procedimento URADF.SRC determina automaticamente, por meio do teste LM de auto-correlação dos erros, o número apropriado de defasagens (lags = 12) necessárias para eliminação do problema da auto- correlação do resíduos. BRASIL 01:2002 - 09:2006
λ
ConstanteU
τ−1ξ
τ InterceptoU
τ -1.3225 0.264004726 -0.110343523 - Estatísitca – t (1.30489) (-1.32248) - Intercepto + TendênciaU
τ -2.5525 1.018746000 -0.389970242 -0.002316219 Estatísitca – t (2.53654) (-2.55249) (-2.13711)Valores Críticos Intercepto Intercepto + Tendência
1% -3.58 - 4.15
5% -2.93 - 3.50
APÊNDICE B: Quadro 1 – Testes de Raiz Unitária (Método: AIC – Incluindo Intercepto)
* TESTING THE NULL HYPOTHESIS OF A UNIT ROOT IN LTXDES * Using data from 2002:01 to 2006:09
* Choosing the optimal lag length for the ADF regression * between 0 and 14 lags.
* using the AIC model selection criterion.
**************************************************************** Model Selection Criteria
Minimum AIC at lag: 12 Minimum BIC at lag: 0
**************************************************************** * Augmented Dickey-Fuller t-test with 12 lags: -1.3225
* 1% 5% 10%
* -3.58 -2.93 -2.60 *
* Augmented Dickey-Fuller Z-test with 12 lags: -37.1212
* 1% 5% 10%
* -18.9 -13.3 -10.7 *
* Coefficient and T-Statistic on the Constant: * 0.26400 1.3049
*
* Joint test of a unit root and no constant: 0.9744
* 1% 5% 10%
* 7.06 4.86 3.94
****************************************************************
Nota1: Produzido a partir do procedimento URADF.SRC, o qual determina automaticamente o número apropriado de defasagens, selecionado com base no critério definido (AIC).
APÊNDICE C: Quadro 2 – Testes de Raiz Unitária (Método: AIC – Incluindo Intercepto + Tendência)
* TESTING THE NULL HYPOTHESIS OF A UNIT ROOT IN LTXDES * Using data from 2002:01 to 2006:09
* Choosing the optimal lag length for the ADF regression * between 0 and 14 lags.
* using the AIC model selection criterion.
**************************************************************** Model Selection Criteria
Minimum AIC at lag: 12 Minimum BIC at lag: 0
**************************************************************** * Augmented Dickey-Fuller t-test with 12 lags: -2.5525
* 1% 5% 10%
* -4.15 -3.50 -3.18 *
* Augmented Dickey-Fuller Z-test with 12 lags: 17.0153
* 1% 5% 10%
* -25.7 -19.8 -16.8 *
* Coefficient and T-Statistic on the Constant: * 1.01875 2.5365
* Coefficient and T-Statistic on the Linear Trend: * -0.00232 -2.1371
*
* Joint test of a unit root and no linear trend 3.2621
* 1% 5% 10%
* 9.31 6.73 5.61
****************************************************************
Nota1: Produzido a partir do procedimento URADF.SRC, o qual determina automaticamente o número apropriado de defasagens, selecionado com base no critério definido (AIC).
APÊNDICE D: Tabela 2 – Testes de Estacionariedade – KPSS
Nota1: Produzido com o software a partir do procedimento KPSS.SRC. BRASIL
01:2002 - 09:2006 KPSS
Defasagens Intercepto Intercepto + Tendência
00 3.26189 0.44655 01 1.73227 0.25284 02 1.21754 0.18797 03 0.95859 0.15604 04 0.80063 0.13677 05 0.69243 0.12347 06 0.61401 0.11417 07 0.55534 0.10791 08 0.51029 0.10397 09 0.47451 0.10147 10 0.44522 0.09968 11 0.42046 0.09825 12 0.39912 0.09705 Valores Críticos 1% 0.739 0.216 5% 0.463 0.146 10% 0.347 0.119
APÊNDICE E: Tabela 3 – Testes de Raiz Unitária
Nota1: Considerados 12 lags de defasagens (mesmo número de defasagens utilizado para a execução dos testes Dickey-Fuller (ADF)).
BRASIL 01:2002 - 09:2006 Phillips-Perron (PP) Valores Críticos Especificação Estatísticas 1% 5% 10% Intercepto -1.5415 -3.5526 -2.9145 -2.5950 Intercepto + Tendência -2.7254 -4.1305 -3.4921 -3.1748
APÊNDICE F: Tabela 4 – Testes de Raiz Unitária com Quebra Estrutural Endógena
Nota1: Produzido a partir do procedimento ZIVOT.SRC.
Nota2: Valores críticos para a distribuição assintótica conforme Zivot e Andrews (1992, p. 256-257).
Nota3: Considera-se 2 lags de defasagens, selecionado automaticamente pelo procedimento utilizado (“Including 2 Lags of Difference Selected by Minimum T-
Statistic”). BRASIL 01:2002 - 09:2006 Zivot-Andrews Valores Críticos Especificação Data da Quebra Estatísticas 1% 5% 10% Intercepto 2004:09 -3.73577 -5.34 -4.80 -4.58 Tendência 2003:07 -3.21791 -4.93 -4.42 -4.11 Intercepto + Tendência 2004:09 -3.71245 -5.57 -5.08 -4.82
APÊNDICE G: Tabela 5 – Testes de Raiz Unitária com Quebra Estrutural Endógena
BRASIL
01:2002 - 09:2006 Perron97
Especificação IO1 IO2 AO
Data da Quebra 2003:02 2003:02 2002:02 Estatísticas t(alpha=1) -3.25561 -3.25561 -3.00888 CONSTANT 1.31129 1.31129 2.27676 student (3.12166) (3.12166) (14.53745) DU 0.11583 0.11583 - student (2.14388) (2.14388) - D(Tb) -0.03261 -0.03261 - student (-0.66886) (-0.66886) - TIME -0.00358 -0.00358 0.13019 student (-2.87692) (-2.87692) (1.62148) DT - 0.00000 -0.13496 - (NA) (-1.67797) LTXDES {1} 0.46044 0.46044 - student (2.77820) (2.77820) - Valores Críticos 1% -5.92 -6.32 -5.45 5% -5.23 -5.59 -4.83 10% -4.92 -5.29 -4.48
Nota1: Produzido a partir do procedimento PERRON97.SRC.
Nota2: Considera-se 12 lags de defasagens selecionado automaticamente pelo procedimento utilizado (“number of lag retained : 12”).
APÊNDICE H: Tabela 6 – Estimativas para os modelos ARFIMA
Nota1: Produzido a partir da subrotina MAXIMIZE -Estimation by BFGS. BRASIL
01:2002 - 09:2006 ARFIMA (p;0,30;q)
Parâmetro Simulação Coeficiente Desvio Padrão
ARFIMA (0;0,30;0) D 0,30 1.107252213 0.530115578 φp 0,0 0.640654848 0.737032408 θq 0,0 -1.395679015 1.142002468 σ2 0.042870004 0.070561407 ARFIMA (1;0,30;0) d 0,30 1.02164546 0.14032285 φp 0,5 -0.05333166 12.78336945 θq 0,0 0.05645798 12.82188369 σ2 0.08336061 0.01548494 ARFIMA (0;0,30;1) d 0,30 1.107645469 0.523817060 φp 0,0 0.640545223 0.738322650 θq 0,5 -1.395254033 1.291043011 σ2 0.042894538 0.076935790 ARFIMA (1;0,30;1) d 0,30 1.023257731 0.135188472 φp 0,5 -0.501593813 0.160994027 θq 0,5 1.990216439 0.382908830 σ2 0.021046950 0.008473524
APÊNDICE I: Tabela 7 – Estimativas para os modelos ARFIMA
Nota1: Produzido a partir da subrotina MAXIMIZE -Estimation by BFGS. BRASIL
01:2002 - 09:2006 ARFIMA (p;0,30;q)
Parâmetro Simulação Coeficiente Desvio Padrão
ARFIMA (1;0,30;0) d 0,30 1.107086477 0.492025424 φp 0,7 1.557411697 2.077097943 θq 0,0 -0.717734272 0.652397995 σ2 0.202555765 0.542181548 ARFIMA (0;0,30;1) d 0,30 1.107324879 0.558719655 φp 0,0 0.640380706 0.830990021 θq 0,7 -1.396049579 1.344366025 σ2 0.042846970 0.082162058 ARFIMA (1;0,30;1) d 0,30 0.0214176630 0.1927519524 φp 0,7 0.9999990794 0.0995400356 θq 0,7 0.0033824679 0.2264377072 σ2 0.0833598702 0.0177784929
APÊNDICE J: Tabela 8 – Estimativas para os modelos ARFIMA
Nota1: Produzido a partir da subrotina MAXIMIZE -Estimation by BFGS. BRASIL
01:2002 - 09:2006 ARFIMA (p;0,50;q)
Parâmetro Simulação Coeficiente Desvio Padrão
ARFIMA (0;0,50;0) d 0,50 1.021542081 0.184285584 φp 0,0 -0.052674866 0.305599325 θq 0,0 0.055954406 0.339665017 σ2 0.083360273 0.015668901 ARFIMA (1;0,50;0) d 0,50 1.02165307 0.19242636 φp 0,5 -0.05920633 17.07398803 θq 0,0 0.06227154 17.04576701 σ2 0.08335898 0.01539072 ARFIMA (0;0,50;1) d 0,50 1.024710311 0.265606805 φp 0,0 0.275734266 0.304247519 θq 0,5 -3.610845354 0.880859017 σ2 0.006394357 0.003139048 ARFIMA (1;0,50;1) d 0,50 1.01805408 0.10863404 φp 0,5 22.78701274 0.00000000 θq 0,5 -27.99196076 0.00000000 σ2 0.05523211 0.00000000
APÊNDICE K: Tabela 9 – Estimativas para os modelos ARFIMA
Nota1: Produzido a partir da subrotina MAXIMIZE -Estimation by BFGS. BRASIL
01:2002 - 09:2006 ARFIMA (p;0,50;q)
Parâmetro Simulação Coeficiente Desvio Padrão
ARFIMA (1;0,50;0) d 0,50 1.107325800 0.503408783 φp 0,7 0.640749605 0.572647928 θq 0,0 -1.395365694 0.861979262 σ2 0.042887738 0.053849601 ARFIMA (0;0,50;1) d 0,50 1.02091831 0.16988156 φp 0,0 13.04651104 52.84317717 θq 0,7 -13.76314634 24.27924241 σ2 0.07496156 0.34617092 ARFIMA (1;0,50;1) d 0,50 1.02283868 0.00000000 φp 0,7 -57.93589443 0.00000000 θq 0,7 55.21095500 0.00000000 σ2 0.09175848 0.00000000
APÊNDICE L: Taxa de Desemprego Agregada - PME-IBGE, Período de 2002:01 - 2006:09
APÊNDICE M: Função de Autocorrelação da Série da Taxa de Desemprego Agregada - PME-IBGE, Período de 2002:01 - 2006:09
APÊNDICE N: Desenvolvimento por recorrência (solução por iteração) - Equação
()Τϕ 1 0 0 1 510.96 743.01 Τµ (5)Τϕ /Φ0 12 Τφ 1 0 0 1 517.92 743.01 Τµ 12 ΤΛ ())Τϕ ΕΤ 1 0 0 ργ 1 0 0 ΡΓ 0 γ 0 Γ ΒΤ /Φ1 12 Τφ 1 0 0 1 82.32 696.21 Τµ 12 ΤΛ (Υ)Τϕ /Φ4 10.078 Τφ 1 0 0 1 90.96 696.21 Τµ 10.078 ΤΛ (τ)Τϕ /Φ1 12 Τφ 1 0 0 1 98.64 696.21 Τµ 12 ΤΛ (=)Τϕ /Φ4 13.922 Τφ 1 0 0 1 108.24 696.21 Τµ 13.922 ΤΛ (()Τϕ 1 0 0 1 112.8 696.21 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 120.72 696.21 Τµ ())Τϕ /Φ1 12 Τφ 1 0 0 1 125.52 696.21 Τµ 12 ΤΛ (Υ)Τϕ /Φ4 10.078 Τφ 1 0 0 1 133.92 696.21 Τµ 10.078 ΤΛ (τ)Τϕ /Φ1 10.078 Τφ 1 0 0 1 138.48 696.21 Τµ (−)Τϕ /Φ1 10.078 Τφ 1 0 0 1 141.84 696.21 Τµ (1)Τϕ /Φ1 12 Τφ 1 0 0 1 149.28 696.21 Τµ 12 ΤΛ (+)Τϕ 1 0 0 1 159.12 696.21 Τµ (()Τϕ 1 0 0 1 163.2 696.21 Τµ (1)Τϕ /Φ1 12 Τφ 1 0 0 1 172.08 696.21 Τµ (−)Τϕ /Φ4 13.922 Τφ 1 0 0 1 179.04 696.21 Τµ 13.922 ΤΛ (λ)Τϕ 1 0 0 1 186.72 696.21 Τµ ()
U*τ−1+ξ
τ +µ
τ•
U1=()Τϕ 1 0 0 1 148.56 666.93 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 156.24 666.93 Τµ ()
U0+ (1 -λ
U*0+ξ
1+µ
1•
U2=()Τϕ 1 0 0 1 148.56 637.41 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 156.24 637.41 Τµ ()
U1+ (1 -λ
U*1+ξ
2+µ
2 =()Τϕ 1 0 0 1 150.96 608.13 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 158.64 608.13 Τµ ()[()Τϕ 1 0 0 1 172.32 608.13 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 180 608.13 Τµ ()
U0+ (1 -λ
U*0+ξ
1+µ
1]
+ (1 -λ
U*1+ξ
2+µ
2 =()Τϕ 1 0 0 1 150.96 578.61 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 158.64 578.61 Τµ ()
2U0+ (1 -λ ()Τϕ 1 0 0 1 228.96 578.61 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 236.64 578.61 Τµ ()
U*0+()Τϕ 1 0 0 1 275.28 578.61 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 282.96 578.61 Τµ ()ξ
1+()Τϕ 1 0 0 1 316.56 578.61 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 324.24 578.61 Τµ ()µ
1+ (1 -λ
U*1+ξ
2+µ
2 =()Τϕ 1 0 0 1 150.96 549.33 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 158.64 549.33 Τµ ()
2U0+ (1 -λ [()Τϕ 1 0 0 1 233.76 549.33 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 241.44 549.33 Τµ ()
U*0+ U*1]
+()Τϕ 1 0 0 1 312 549.33 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 319.68 549.33 Τµ ()ξ
1+ξ
2 +()Τϕ 1 0 0 1 376.8 549.33 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 384.48 549.33 Τµ ()µ
1+µ
2•
U3=()Τϕ 1 0 0 1 148.56 519.81 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 156.24 519.81 Τµ ()
U2+ (1 -λ
U*2+ξ
3+µ
3 =()Τϕ 1 0 0 1 150.72 490.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 158.4 490.05 Τµ ()
[
()Τϕ 1 0 0 1 173.76 490.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 181.44 490.05 Τµ ()
2U0+ (1 -λ [()Τϕ 1 0 0 1 257.52 490.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 265.2 490.05 Τµ ()
U*0+ U*1]
+()Τϕ 1 0 0 1 339.12 490.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 346.8 490.05 Τµ ()ξ
1+ξ
2 +()Τϕ 1 0 0 1 404.16 490.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 411.84 490.05 Τµ ()µ
1+µ
2]
+ (1 -λ
U*2+ξ
3+µ
3 =()Τϕ 1 0 0 1 153.12 430.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 160.8 430.05 Τµ ()
3U0 + (1 -λ [()Τϕ 1 0 0 1 246.24 430.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 253.92 430.05 Τµ ()
2U*0 +()Τϕ 1 0 0 1 301.44 430.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 309.12 430.05 Τµ ()
U*1]
+()Τϕ 1 0 0 1 357.6 430.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 365.28 430.05 Τµ ()
2ξ
1+()Τϕ 1 0 0 1 405.36 430.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 413.04 430.05 Τµ ()ξ
2 +()Τϕ 1 0 0 1 448.32 430.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 456 430.05 Τµ ()
2µ
1+()Τϕ 1 0 0 1 497.28 430.05 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 505.2 430.05 Τµ ()µ
2 + (1 -λ
U*2+ξ
3+µ
3 =()Τϕ 1 0 0 1 155.76 371.25 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 163.68 371.25 Τµ ()
3U0 + (1 -λ [()Τϕ 1 0 0 1 260.4 371.25 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 268.08 371.25 Τµ ()
2U*0 +()Τϕ 1 0 0 1 321.36 371.25 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 329.04 371.25 Τµ ()
U*1 + U*2]
+()Τϕ 1 0 0 1 423.12 371.25 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 430.8 371.25 Τµ ()
2ξ
1+()Τϕ 1 0 0 1 473.76 371.25 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 481.44 371.25 Τµ ()ξ
2 +ξ
3 +()Τϕ 1 0 0 1 154.8 341.73 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 162.48 341.73 Τµ ()
2µ
1+()Τϕ 1 0 0 1 201.36 341.73 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 209.04 341.73 Τµ ()µ
2+µ
3•
U4=()Τϕ 1 0 0 1 148.56 312.45 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 156.24 312.45 Τµ ()
U3+ (1 -λ
U*3+ξ
4+µ
4 =()Τϕ 1 0 0 1 154.08 280.77 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 161.76 280.77 Τµ ()
[
()Τϕ 1 0 0 1 177.12 280.77 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 184.8 280.77 Τµ ()
3U0 + (1 -λ [()Τϕ 1 0 0 1 274.32 280.77 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 282 280.77 Τµ ()
2U*0 +()Τϕ 1 0 0 1 331.92 280.77 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 339.6 280.77 Τµ ()
U*1 + U*2]
+()Τϕ 1 0 0 1 426.72 280.77 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 434.4 280.77 Τµ ()
2ξ
1+()Τϕ 1 0 0 1 475.44 280.77 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 483.12 280.77 Τµ ()ξ
2 +ξ
3 +()Τϕ 1 0 0 1 154.8 247.65 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 162.48 247.65 Τµ ()
2µ
1+()Τϕ 1 0 0 1 201.36 247.65 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 209.04 247.65 Τµ ()µ
2+µ
3]
+ (1 -λ
U*3+ξ
4+µ
4 =()Τϕ 1 0 0 1 153.6 216.93 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 161.28 216.93 Τµ ()
4U0 + (1 -λ [()Τϕ 1 0 0 1 248.64 216.93 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 256.56 216.93 Τµ ()
3U*0 +()Τϕ 1 0 0 1 305.28 216.93 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 312.96 216.93 Τµ ()
2U*1 +()Τϕ 1 0 0 1 361.68 216.93 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 369.36 216.93 Τµ ()
U*2 + U*3]
+()Τϕ 1 0 0 1 450.24 216.93 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 458.16 216.93 Τµ ()
3ξ
1+()Τϕ 1 0 0 1 498.48 216.93 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 506.4 216.93 Τµ ()
2ξ
2 +()Τϕ 1 0 0 1 152.64 187.41 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 160.56 187.41 Τµ ()ξ
3 +ξ
4 +()Τϕ 1 0 0 1 216.96 187.41 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 224.88 187.41 Τµ ()
3µ
1+()Τϕ 1 0 0 1 263.76 187.41 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 271.44 187.41 Τµ ()
2µ
2+()Τϕ 1 0 0 1 311.28 187.41 Τµ (λ)Τϕ 1 0 0 1 318.96 187.41 Τµ ()µ
3 +µ
4APÊNDICE O: Algoritmo para simulação dos processos ARFIMA (p,d,q)
1) Primeiro, informamos ao software mediante a instrução DECLARE FRML que desejamos criar uma função transferência na forma complexa. Esta é uma primeira informação, necessária para a definição de um vetor de parâmetros admitindo possíveis relações não lineares:
declare frml[complex] transfer
2) Usamos a instrução NONLIN para especificar os parâmetros a serem estimados. Esta subrotina equivale à especificação de um vetor de parâmetros finito dimensional
desconhecido, o qual caracteriza a função densidade espectral
ƒ
x()Τϕ /Φ4 10.559 Τφ 1 0 0 1 403.68 527.97 Τµ 10.559 ΤΛ (.)Τϕ /Φ4 16.078 Τφ 1 0 0 1 406.32 520.53 Τµ 16.078 ΤΛ ()
. Estimativas para o vetorí
serão obtidas através da série temporal{X
τ}
τºz. Vale dizer que a função de distribuição4) Com a instrução BOXJENK rodamos um AR(1) para obter uma resposta inicial para a variância das inovações. Seguidamente, pedimos ao software que execute mediante a instrução COMPUTE definindo valores iniciais para os parâmetros. O software inicia o processo de iteração usando estes valores iniciais. A instrução %SEESQ captura o quadrado do desvio padrão ou o valor da variância estimada do processo, definindo-a como IVAR: boxjenk(ar=1,constant,noprint) sqltxdes
*
compute a=.9,b=0.0,d=.5,ivar=%seesq
5) Nesta subrotina definimos uma variável denominada NORDS mediante o uso da opção %FREQSIZE(n) que é utilizada para definir o tamanho recomendável de pontos sobre a base de dados (os manuais recomendam “pelo menos o dobro” para que o método espectral seja considerado eficiente). Dessa forma, quando for necessário nos referir ao número de ordenadas em qualquer instrução podemos usar a variável NORDS. Seguidamente, iniciamos a análise de domínio da freqüência mediante a instrução FREQ, a qual usualmente escolhe o número conveniente de freqüências para análise de Fourier. Aqui, criamos 3 séries complexas de tamanho equivalente ao dobro de elementos da base de dados conforme definido pela variável NORDS. Os elementos extras, ou o número de ordenadas além do tamanho da amostra, serão definidos como iguais a zero quando transferirmos os dados para o domínio da freqüência usando a instrução RTOC:
compute nords = %freqsize(2006:9)*2 freq 3 nords
6) Usamos a instrução RTOC (Real to Complex) para transferir a série do formato real #sqltxdes (lista de séries reais) para o correspondente formato complexo assim definido #1 (lista de sereis complexas). Aqui nos referimos à serie pelo número 1 ao invés de por um nome por ser mais conveniente, seguindo orientação encontrada nos manuais. Com isto enviamos os dados para o (mediante as técnicas do) domínio da freqüência. A razão para isto é que os métodos de Fourier tratam os dados como periódicos (em uma determinada freqüência, qual seja,
2ð/n
):rtoc #sqltxdes
#1
7) Fazemos a análise espectral (densidade espectral) usando o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) para obter a transformada de Fourier da série #sqltxdes definida no correspondente formato complexo #1. Isto será necessário para definição do periodograma da série que é equivalente ao quadrado da transformada de Fourier. Conforme dito na subrotina 3 desenvolvemos a função transferência tomando a transformada de Fourier. A função densidade espectral é o quadrado da função transferência, tomada pelo quadrado da
transformada de Fourier, do polinômio defasado definido pela equação
()Τϕ /Φ0 12 Τφ 1 0 0 1 430.32 577.41 Τµ 12 ΤΛ (8)Τϕ /Φ4 13.922 Τφ 1 0 0 1 436.32 577.41 Τµ 13.922 ΤΛ ()
: fft 18) Logo após, usamos a instrução CMULT incluindo a opção de que o resultado da escala esteja no formato real com a informação de que a série 2 é igual ao produto da série 1 multiplicado pelo seu complexo conjugado, por isto vê-se 1 1 / 2. Esta instrução é geralmente usada, segundo os manuais, para converter uma transformação de Fourier em um espectro para estimativa espectral:
cmult(scale=1.0/2006:9) 1 1 / 2
9) Então, usamos a instrução FRML para definir o periodograma da série. O periodograma é o estimador da função densidade espectral. A função %REAL(Z) é usada porque queremos tomar a parte real de um número complexo, aliás, de um arranjo de sereis complexas definidas freqüência por freqüência conforme informa a variável %Z(T, 2) (o número 2 indica que a série complexa é aquela definida anteriormente como o produto da série 1 multiplicado pelo seu complexo conjugado):
frml periodogram = %real(%z(t,2))
10) Usamos a instrução FRML para especificar a função de verossimilhança LIKELY (log likelihood function). Antes da especificação da função definimos a variável TRLAMBDA como sendo igual ao quadrado da função transferência, ou seja, igual à função densidade espectral. Usamos a função FLOAT(n) para a operação de conversão dos dados do formato inteiro para real. Por fim, especificamos algebricamente a função de verossimilhança para
maximização, na forma da expressão
()Τϕ /Φ0 12 Τφ 1 0 0 1 277.2 743.01 Τµ 12 ΤΛ (2)Τϕ 1 0 0 1 283.2 743.01 Τµ (1)Τϕ /Φ4 13.922 Τφ 1 0 0 1 289.2 743.01 Τµ 13.922 ΤΛ ()
. A função %CABS é usada para tomar o valor absoluto complexo da função densidade espectral:frml likely = trlambda=transfer, (float(2006:9)/nords)*$ (-.5*log(ivar)-log(%cabs(trlambda))-$
.5/ivar*periodogram/%cabs(trlambda)**2)
11) Usamos a instrução MAXIMIZE para estimação da função de máxima verossimilhança, especificada anteriormente. O método SIMPLEX, ou algoritmo simplex, é utilizado para um pequeno número de iterações obtendo assim condições iniciais para aperfeiçoar nossas estimativas antes de usar um outro método. Usamos a opção TRACE para verificar o progresso ou a convergência da estimação do modelo através do processo iterativo (resultados intermediários). O método BFGS é o único que calcula o desvio padrão do coeficiente estimado. Os manuais recomendam o uso combinado dos métodos SIMPLEX e BFGS da seguinte forma:
maximize(iters=5,method=simplex) likely 1 nords maximize(trace,iters=100,method=bfgs) likely 1 nords
12) A instrução CSET é utilizada para retomar a função transferência na forma complexa tal como definida anteriormente, ou seja, as 3 séries complexas criadas na subrotina 5 (também pode ser utilizada para criar a função transferência como uma alternativa à definição anterior, elaborada na subrotina 1). Dividindo a função transferência da série pela função transferência do polinômio definido na subrotina 3 obtemos a função transferência dos resíduos:
cset 3 = %z(t,1)/transfer(t)
13) Então, usamos a instrução IFT (Inverse Fourier Transform) para obter a inversa da transformada de Fourier (getting output) das 3 séries complexas criadas. Com esta instrução