Do ponto de vista da reconstrução da imagem, os principais aspectos que devem ser considerados foram tratados nesse capítulo: precisão e tempo de processamento.
A precisão da solução numérica final passa pelo controle minucioso da qualidade do modelo matemático e do algoritmo de reconstrução. Cada estratégia introduzida na solução numérica deve ser testada com problemas padrão, para os quais conhecemos a solução analítica ou pelo menos uma boa aproximação dela. Nem sempre as melhores estratégias para um problema padrão são as melhores no problema real, mas ajudam a construir o conhecimento em torno do problema.
Precisão e tempo de processamento estão geralmente em posições opostas. Para este problema não podemos abrir mão nem de uma nem da outra. Qualquer ganho de tempo é imediatamente revertido na melhoria da precisão, que faz com que o tempo de
processamento aumente novamente e o desafio recomece. Não discutimos a otimização do tempo de processamento, já que ainda estamos explorando os algoritmos de reconstrução, apenas mencionamos algumas estratégias futuras.
O tomógrafo de impedância elétrica, apesar de todas as limitações de hardware e
software que foram detalhadas neste capítulo, aparece como uma opção bastante viável
para ser utilizado para monitoramento de pacientes, como pode ser comprovado pelas simulações reais. Portanto, gerar imagens em tempo real e com qualidade é o desafio para os pesquisadores das áreas médica, de engenharia e matemática.
1.8 Agradecimentos
Todos os dados e simulações apresentadas neste capítulo contaram com a participação de várias pessoas, integrantes do grupo multidisciplinar sob coordenação do prof. Marcelo Amato, da Faculdade de Medicina da Universidade de São Paulo. Um carinho especial aos estudantes que contribuem ativamente para o projeto: Masaishi Yoshikawa (Backprojection), Janaína Marques (problema direto), Rafael Souza (filtros de imagem) e Elisa Kameda (função peso).
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Capítulo 2
Controle Ótimo de Sistemas Populacionais
Marat Rafikov
2.1 Introdução
Dinâmica de Populações é uma poderosa síntese matemática que permite identificar, transferir e interfertilizar diversas teorias da Biologia Teórica, desde o nível molecular em Processos Físico - Químicos, passando pelo nível celular em Fisiologia, e chegando até a Epidemiologia e a Sociobiologia de organismos superiores, o que inclui naturalmente as sociedades humanas [11]. Em Dinâmica Populacional as informações biológicas são transformadas em hipóteses teóricas básicas que alimentam conceitualmente um modelo matemático cuja finalidade é descrever a evolução temporal do sistema a partir de cada dado inicial.
O estudo matemático de dinâmica de populações surgiu em 1798, quando foi publicado anonimamente o artigo “An Essay on the Principle of Population as it Affects the Future Improvement of Society” do economista e demógrafo britânico Thomas Robert Malthus. Seu trabalho previa um crescimento em progressão geométrica para a população e em progressão aritmética para os meios de sobrevivência, porém Malthus não considerou em seus modelos que vivemos em um sistema ecológico fechado e por isso, mais cedo ou mais tarde, toda a população seria forçada a encontrar limitações de alimento, água, ar ou espaço físico e por isso, manteria-se estável em um limite máximo de sobrevivência. Apesar disso, seu trabalho serviu como um alerta às autoridades e a população em geral sobre o problema que poderia ocorrer se as taxas de natalidade não fossem controladas, ou seja, não houvesse alimento suficiente para toda a população, resultando em guerra, fome e miséria. Um pouco mais tarde, por volta de 1838, a limitação dos recursos foi estudada por Pierre Verhulst, a pedido do governo da Bélgica que estava preocupado com o crescimento populacional. Verhulst incorporou essa limitação ao modelo de Malthus e apresentou a equação do crescimento populacional [40]. A dinâmica populacional só tornou-se mais conhecida na década 20 do século XX, interessando a muitos cientistas, entre eles o químico Lotka [23] e o matemático Volterra [41], que focalizaram a interação entre duas espécies num modelo que hoje é chamado de Lotka – Volterra. Este modelo foi aperfeiçoado por vários cientistas, entre eles Gause [13], Holling [19], Rosenzweig, MacArtur [31], entre outros. Nos últimos anos surgiu um grande número de modelos populacionais, aplicados às áreas de biologia, ecologia, epidemiologia, imunologia, genética, bioquímica, engenharias biomédica e sanitária, entre outras [23]. Estes modelos descrevem a dinâmica de populações cujos indivíduos
podem ser moléculas bioquímicas, bactérias, neurônios, células, insetos, indivíduos infectados, colônias de formigas ou abelhas, etc.
As primeiras publicações sobre aplicações da teoria do controle ótimo aos problemas ecológicos apareceram somente no final da década 60 – início da década 70. Na mesma época vários autores começaram a publicar os resultados semelhantes independentemente um de outro [1,6,14,35,44]. Em maioria dos problemas formulados as funções de controle são as taxas de eliminação ou introdução de populações que entram nas equações em forma linear (ou bilinear). Neste caso o controle não influi diretamente em processos de reprodução, competição e interação entre espécies de população. Este tipo de modelos é aplicável quando são feitas pequenas, mas freqüentes, retiradas de uma população de grande dimensão, por exemplo, a pesca no mar ou oceano. Uma outra forma de introdução de funções de controle em equações da dinâmica populacional que admite imediatamente a influência de funções de controle nos processos de reprodução, competição e interação entre espécies, foi proposta por Svireghev e Elizarov [35]. Nas próximas sessões será apresentada uma generalização desta forma de introdução de funções de controle.
Neste trabalho são apresentadas as aplicações de teoria de controle ótimo em alguns problemas populacionais nos quais foram obtidas as soluções analíticas. Não se pretende apresentar todos os tipos de problemas do controle ótimo que foram resolvidos para sistemas populacionais. Alguns outros problemas do controle ótimo de sistemas populacionais podem ser procurados nas referências [4,5,7,16,17,35,46].