Resultados e Discussões
8.2 Conclusões Dados Sísmicos
Os dados sísmicos mostram-se muito eficientes para a classificação das rochas quanto suas características de Reservatório. Mais eficientes que os dados de poço, e isso provêm da estrutura dos dados. Os Dados sísmicos são gerados a partir de cálculos não-lineares, ou seja, tem menor correlação entre si, comparados aos dados de perfil. Essa menor correlação colabora para distanciar os padrões entre as amostras, deixando os padrões mais robustos e diferenciados, permitindo ao método da Análise de Componentes Independentes iterações mais coerentes, chegando a um resultado mais correto para o Método K-NN gerar a classificação dos dados.
Com essa propriedade de acerto elevada, uma tentativa interessante de testes, é dificultar o tipo de classificação, como por exemplo, a classificação completa de fácies ou de características mais difíceis de serem calculadas, como Porosidade.
O comportamento dos dados, como levantado na Análise de Componentes Independentes em cima de dados de poço, não é largamente debatido aqui, pois a taxa de acerto entre os vizinhos tem uma diferença mínima, mostrando que os dados estão postados de forma que para poucos vizinhos, já se atinge uma porcentagem de acerto satisfatória.
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Apêndice A – Termos Estatísticos
- Centralizar um vetor em torno de Zero
Centralizar um dado em torno de zero, consiste subtrair do vetor x sua esperança estatística:
A esperança de uma determinada função, distribuição ou amostra é dada por
Em alguns casos, é comum dividir o vetor aleatório x centralizado pelo seu desvio padrão , branqueando os seus dados.
O desvio padrão é dado por x), e
Um dado branqueado é quando a sua matriz de covariância é igual à identidade.
- Dependência
Seja T um subconjunto de um espaço S, e são os elementos de T. Diz-se que T é linearmente dependente se existem escalares , não todos nulos, tais que
- Independência
A definição de uma base de vetores independentes é que não existe combinação possível entre quaisquer vetores que sejam iguais a um vetor dessa base. Estatisticamente, a independência é descrita quando a ocorrência de um evento não interfere na ocorrência de outro evento, e estes são chamados de independentes entre si. Algebricamente, para que dois eventos, X1 e Y1, sejam
não-correlacionados, basta que
Se dois eventos e são independentes então a densidade de probabilidade conjunta é igual o produto das densidades marginais
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- Curtose
A curtose é uma medida de dispersão que se caracteriza por ser um cumulante de quarta ordem de uma variável aleatória (Ballanda, 1988). curtose é a tradução do inglês ‗Kurtosis‘, e por isso é denotada de kurt ( ). Seu modelo clássico tem relação com o quarto momento padronizado de uma distribuição ( (Joanes, 1998), entretanto, para os cálculos envolvidos na análise de componentes independentes, é comum utilizar-se da notação com esperança estatística, isto é,
onde é a esperança. Como é assumida como normalizada, sua variância é igual a um logo e a função da curtose pode ser simplificada para
Para variáveis gaussianas a curtose é zero, enquanto para a maioria das distribuições não- gaussianas ela é não nula (Joanes, 1998), sugerindo que pode servir como medida de não- gaussianidade de uma variável aleatória.
A curtose ainda atende a propriedades de linearidade, isto é, dadas e variáveis aleatórias independentes, são válidas as seguintes relações
onde é uma constante.
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A negentropia, também conhecida como entropia negativa ou sintropia, é baseada no diferencial de entropia sobre uma quantidade de informação. Para uma definição mais quantitativa da negentropia é necessária, porém, uma definição mais precisa da entropia. A entropia é uma grandeza associada à imprevisibilidade de uma variável. Quanto mais imprevisível for o resultado de uma ação , maior será a entropia associada à . Matematicamente, a entropia de um vetor aleatório com densidade pode ser definida como
Uma variável gaussiana maximiza um conjunto de variáveis aleatórias de mesma variância (Gokhale, 1989), pois sua distribuição é a mais aleatória possível. A entropia tem valores menores para distribuições que se encontram concentradas em certos valores, portanto, pode ser usada como medida de não-gaussianidade, uma vez que nesse caso a entropia é máxima.
Uma maneira de se obter esse resultado é utilizar-se de alguma medida que tenha limite igual a zero quando uma distribuição tenha uma distribuição que se distancia da distribuição normal. A forma mais utilizada (Hyvärinen, 1998) é uma versão normalizada (diferencial de entropia), conhecida por negentropia e definida como
onde é uma variável aleatória gaussiana com mesma correlação e covariância de . Dessa forma, a negentropia , será sempre não-negativa, pois tem o maior
valor possível entre as variáveis randômicas de mesma variância de , isto é Por outro lado, a negentropia só será zero quando é uma distribuição correlata da distribuição normal, logo, é uma medida de não gaussianidade.
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Se é um vetor tal que a matriz de covariância de é denotada por e é calculada através de
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Apêndice B – Métrica
Métrica é um conceito que generaliza a idéia geométrica de distância. Um conjunto em que
há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico (Lima, 1993).
Se é um conjunto que admite uma métrica , então a função distância ,
associa dois elementos de um conjunto a um número real e deve obedecer aos seguintes axiomas: 1)Ser sempre positiva
2)Ser simétrica
3)Obedecer a desigualdade triangular
4)Ter resposta nula apenas para pontos coincidentes
O conceito empregado anteriormente para a definição de ponto mais próximo pode pairar sobre vários tipos de distância, tais como a distância euclidiana, distância de Manhattam, e a distância de Mahalanobis, descritos a seguir A distância usual entre dois pontos, que pode ser definida pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras. É o conceito de distância mais comumente utilizado. Mais especificamente, se são pontos em algum espaço de dimenões, então a distância euclidiana entre estes pontos é definida como
A distância de Manhattan, considerada por Hermann Minkowski no século XIX, é uma forma de geometria em que a usual distância é substituída por uma nova métrica, onde esta é dada pela soma das diferenças absolutas das coordenadas de dois pontos (Black, 2006). Tal distância também é conhecida como Geometria do táxi, ou distância . Tal métrica faz alusão à distância percorrida por táxis nas ruas de Manhattan, que são dispostas em formato quadriculado.
Se são pontos em algum espaço de dimensões, então a distância de Manhattan entre estes pontos é definida como
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A título de curiosidade, é interessante notar que uma circunferênciai·, na métrica de Manhattan, geometricamente é dada por um quadrado cujos lados compõem ângulos de com os eixos coordenados.
A distância de Mahalanobis é baseada nas correlações entre variáveis com as quais distintos padrões podem ser identificados e analisados (Maesschalck, 2000). Essa métrica foi introduzida na década de 1930 pelo matemático indiano Prasanta Chandra Mahalanobis. É uma estatística útil para determinar a similaridade entre uma amostra desconhecida e uma conhecida. Distingue-se da distância euclidiana já que leva em conta as correlações do conjunto de dados e é invariante à escala, ou seja, não depende da escala das medições.
Se é um ponto em algum espaço de dimensões, , a média de e a matriz de covariância de , então a distância de Mahalanobis desse ponto é definida como
Se são pontos de mesma distribuição em algum espaço de dimensões e é a matriz de covariância entre esses pontos, então a distância de Mahalanobis é definida como
Em particular, se a matriz de covariância é a matriz de identidade, a distância de Mahalanobis é reduzida a distância euclidiana. Se a matriz de covariância é diagonal, a distância de Mahalanobis é definida como uma distância euclidiana normalizada
onde é o desvio padrão entre .
i
Por definição, circunferência é o conjunto de pontos com distância fixa, chamada raio, até algum ponto chamado de centro