Este capítulo apresentou uma revisão da literatura acerca do problema de aná- lise da variabilidade de medidas de redes complexas utilizando quantificadores estocásticos e a metodologia usada para a análise de medidas. A seção 3.2 apre- sentou a definição formal do problema, incluindo as perturbações aplicadas às redes, que foram: adição de arestas, remoção de arestas, religação de arestas, adição de vértices e remoção de vértices. Além disso, apresentou-se a metodolo- gia aplicada à análise da variabilidade de medidas e a estrutura do algoritmo de simulação utilizado. Partindo dos conceitos apresentados aqui, com o objetivo de validar a metodologia apresentada, a seção 4.1 do capítulo 4 apresenta a compa- ração dos resultados encontrados neste trabalho com resultados conhecidos na literatura. Além disso, o capítulo discute os resultados da análise obtidos para os modelos teóricos (seção 4.2) e para as redes de sensores sem fio (seção 4.3).
Resultados
Este capítulo apresenta a avaliação do comportamento das medidas (T ) aplicadas a uma classe de grafos (G) submetidas a um conjunto de perturbações (Π).
As medidas avaliadas foram: (i) o grau do vértice (κi), (ii) coeficiente de
agrupamento local (Ci), (iii) betweenness centrality (Bi), (iv) comprimento dos ca-
minhos mínimos (ℓ(i,j)) e (v) comprimento médio dos caminhos mínimos (L) apli-
cadas ás classes de grafos: (i) aleatória, (ii) mundo pequeno e (iii) livre de escala. A comparação entre os estados da rede foi realizada através dos quantificadores estocásticos: (i) distância de Hellinger, (ii) distância de Jensen-Shannon e (iii) divergência de Kullback-Leibler.
Além disso, realizou-se uma caracterização do mecanismo de propagação de dados em redes de sensores sem fio como uma rede complexa e a análise da medida do comprimento médio dos caminhos.
Este capítulo está organizado como segue:
• A seção 4.1 mostra a comparação dos resultados encontrados neste trabalho com resultados encontrados no trabalho de Boas et al. [2010], com o objetivo de validar a metodologia descrita no capítulo 3.
• A seção 4.2 apresenta os resultados da análise nos modelos teóricos. A seção 4.2.1 apresenta a descrição dos parâmetros e cenários de simula- ção para análise dos modelos teóricos. Os resultados dessa avaliação são apresentados em duas seções: a seção 4.2.2 apresenta os resultados anali- sando o comportamento de cada medida aplicada a cada modelo, bem como a comparação dos quantificadores; e a seção 4.2.3 apresenta os resultados comparando-se o comportamento de cada modelo em relação às perturba- ções aplicadas usando-se a distância de Hellinger (DH), dessa forma pode-
se comparar a sensibilidade entre os diferentes modelos avaliados. A se- ção 4.2.4 apresenta testes de hipótese realizados com a motivação de iden- tificar que perturbações e seus níveis levam à quebra da distribuição dos graus de redes complexas nos modelos teóricos. A seção 4.2.5 apresenta uma discussão geral acerca da análise dos resultados para os modelos teó- ricos.
• A seção 4.3 discorre sobre a propagação de dados em redes de sensores sem fio caracterizada como uma rede complexa, bem como a avaliação do com- primento dos caminhos mínimos frente às perturbações. Nesta seção são mostrados os conceitos básicos a respeito dessas redes, como também al- guns trabalhos relacionados (seção 4.3.1). A seção 4.3.2 apresenta as dife- rentes topologias de propagação de dados e por fim, a seção 4.3.3 apresenta o estudo da análise de medidas.
• Por fim, a seção 4.4 apresenta as conclusões do capítulo.
4.1
Validação da metodologia
Esta seção tem como objetivo validar a metodologia descrita no capítulo 3. Como citado anteriormente, Boas et al. [2010] usaram esta metodologia anteriormente para estudar o problema de amostragem em redes complexas utilizando a diver- gência de Kullback-Leibler frente a perturbações de arestas (adição, remoção e religação de arestas).
Os autores avaliaram nove modelos de redes complexas, dentre os quais seis são teóricos e três são redes reais. Os modelos teóricos foram as redes aleatórias de Erdős Rényi, redes de mundo pequeno de Watts e Strogatz, redes livre de escala de Barabási e Albert, o modelo geográfico de Waxman, o modelo livre de escala limitado e o modelo de ligação preferencial não linear, todos com 10000 vértices e grau médio igual a 6; as redes reais foram a rede de distribuição de energia dos EUA, a rede de colaboração high-energy, a rede de palavras de um livro Japonês.
Neste trabalho, além de estudar o comportamento de diferentes modelos de rede, foram avaliados diferentes quantificadores estocásticos e perturbações de vértices. Para fins de comparação e validação da metodologia considerou-se:
• Os modelos teóricos de Erdős Rényi, redes de mundo pequeno de Watts e Strogatz e redes livre de escala de Barabási e Albert.
• O quantificador de Kullback-Leibler.
• O grau do vértice (κi) sujeita a adição de arestas e o comprimento dos cami-
nhos mínimos (ℓ(i,j)) sujeito a remoção de arestas.
Níveis de perturbação (%) Distância de Kullcack−Leibler 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0 2 4 6 8 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● Livre de escala Aleatória Mundo pequeno
(a) Resultados encontrados neste trabalho
Níveis de perturbação (%) Dis tância de K ullbac k -Leibler
•Livre de escala ∗ Aleatória NMundo pequeno
(b) Resultados retirados de Boas et al. [2010]
Figura 4.1. Variação da divergência de Kullback-Leibler (DKL) para o grau
do vértice (κi) aplicado às redes livres de escala, aleatórias e de mundo pe-
queno sujeitas a perturbação do tipo adição de arestas (πae).
A Figura 4.1 apresenta os resultados para o grau do vértice (κi) e a Fi-
Níveis de perturbação (%) Distância de Kullcack−Leibler 0.00 0.05 0.10 0.15 0 2 4 6 8 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● Livre de escala Aleatória Mundo pequeno
(a) Resultados encontrados neste trabalho
Níveis de perturbação (%) Dis tância de K ullbac k -Leibler
•Livre de escala ∗ Aleatória NMundo pequeno
(b) Resultados retirados de Boas et al. [2010]
Figura 4.2. Variação da divergência de Kullback-Leibler (DKL) para o com-
primento dos caminhos mínimos (ℓ(i,j)) aplicado às redes livres de escala, ale-
atórias e de mundo pequeno sujeitas a perturbação do tipo remoção de arestas (πre).
e 4.2(a) ilustram os resultados encontrados neste trabalho para os três modelos de rede avaliados e as Figuras 4.1(b) e 4.2(b) apresentam os resultados encontra- dos por Boas et al. [2010]. Observa-se que, nos casos avaliados, as perturbações inseridas incrementam a divergência de Kullback-Leibler, i.e., seus valores au- mentam progressivamente quando o nível de perturbação aumenta.
Vale ressaltar que os grafos de entrada utilizados no presente trabalho não foram os mesmos utilizados por Boas et al., pois os mesmos não foram dispo-
nibilizados pelos autores. Desse modo não foi possível sincronizar os gráficos no eixo das ordenadas. Porém como ambos resultados têm o mesmo comportamento, pode-se dizer, baseando-se na inspeção visual dos gráficos, que a metodologia foi aplicada corretamente neste trabalho.