Nós estudamos a solução numérica das equações regularizadas, para o problema atrativo de dois corpos em movimento colinear. A diferença do caso repulsivo, no caso atrativo não existe um teorema de existência e unicidade como o da Ref. [39]. Os resulta- dos numéricos sugerem que a solução simétrica é univocamente determinada apenas pela energia. Estudamos isto fazendo pequenas variações dos coeficientes ki, Ki e aplicando-
se novamente a minimização, os coeficientes convergem aos mesmos valores encontrados anteriormente. Isto sugere que uma segunda solução, se existir, terá parâmetros comple- tamente diferentes dos encontrados aqui.
A regularização das órbitas Coulombianas planares esta discutida no Apêndice III e nas Ref. [43, 44]. As órbitas quase-colineares são elipses com uma excentricidade infinitesimal, onde as partículas trocam de direção na hora da colisão, como explicado no Apêndice III. A solução relativística que estudamos aqui é topologicamente diferente, como podemos ver a partir da Eq. (4.29), que prediz na colisão que dv1
dra = 0 (para
ra = 0). Isto significa que as partículas aproximam-se da colisão sem sentir nenhuma
força. Extrapolando o resultado para duas dimensões, com uma distância mínima ε, v1 ∼
1, concluímos que no caso relativístico as partículas não mudam de direção na colisão. Estas ainda sentem uma força na direção perpendicular ao eixo, porém esta é menor que a força Coulombiana, já que no ponto de distância mínima as posições futura e passada da outra partícula estão longe do ponto de contato, isto é mostrado na Figura 4.7.
Figura 4-5: Trajetórias calculadas numericaménte saindo com a condição inicial ra =
rb = 0, Ya = 0, Yb =
√
2 e v1 = 1. Denota-se com traço s ólido a trajetória da partícula
1, e com traço pontilhado as duas trajetórias coincidentes da partícula 2.
Da análise numérico presentado na Tabela II, vemos que nossas series convergem para todas as energias. Observamos também que para raios clássicos menores que o raio do elétron a energia fica negativa, o que é uma sorpresa.
Figura 4-6: Trajetórias calculadas numericaménte saindo com a condição inicial ra =
Figura 4-7: Mostra-se a extrapolação do comportamento das trajetórias perto de uma dimensão na eletrodin âmica de ação à distância (acima), comparada com a aproximação Coulombiana (abaixo).
Apêndice I: Teorema de
não-interação
Daremos a seguir uma demonstração do teorema provado em 1963 da Ref. [4]. Trabalharemos com duas partículas no espaço de fase construido com doze variáveis q1,21 , q21,2, q31,2, p1,21 , p1,22 , p1,23 , o que denotaremos como (q, p) . Qualquer quantidade física neste espaço pode ser escrita como uma função A (q, p) do espaço de fase. Uma transfor- mação finita escreve-se formalmente através dos geradores T (q, p) de um grupo de Lie qualquer atuando sobre uma função A (q, p) das variáveis canonicas q e p como segue
e[T (q,p)]sA (q, p)≡ A + s [A, T ] + s
2
2 [A, [A, T ]] + ... (4.80) onde s é o parâmetro continuo, e os colchetes de Poisson estão definidos como
[A (q, p) , T (q, p)]≡ 2 X n=1 3 X i=1 µ ∂A ∂qn i ∂T ∂pn i − ∂A ∂pn i ∂T ∂qn i ¶ . (4.81)
Por exemplo, para uma translação, s é uma distância, para uma rotação s é um ângulo e para um transformação de Lorentz tanh (s) é a velocidades relativa entre os referenciais. Para o grupo de Poincaré a álgebra de Lie representada com os colchetes de Poisson e os dez geradores do grupo, P, J, K e H, correspondentes as translações espaciais, rotações, boost e translações no tempo. Em notação vetorial estas relações podem ser
escritas como
[P, P] = 0, [P, H] = 0, (4.82)
[J,H, ] = 0, [J, P] = I∧ P, [J, J] = I ∧ J [J, K] = I∧ K, [K, H] = P, [K, K] = −I∧J [Ki, Pj] = δijH.
onde a notação [J, J] = I ∧ J equivale a [Ji, Jj] = εijkJk, e i, j, k são subíndices espaciais
e εijk é o tensor anti-simétrico. Esta maneira de construir a simetria é geral e pode ser
aplicada tanto para partículas como para teorias de campo.
Além destas considerações de simetria existem certas quantidades na teoria que devem-se transformar como vetores, tensores, etc, sob as transformações do grupo. No formalismo usado aqui, a variação de uma quantidade sob uma transformação de coor- denadas é determinada pelo colchete entre esta quantidade e um gerador do grupo. Por exemplo, para uma transformação de Lorentz infinitesimal no eixo x, temos que
qj0n(t0) = qjn(t)− sδj1t (4.83)
t0 = t− sq1n(t) /c2
onde s é a velocidade relativa infinitesimal. Então a transformação canônica infinitesimal no mesmo eixo gerada por Ks
1, se escreve
qi0n(t0) = qin(t0) + s [qin(t0) , Kk] + ..., (4.84)
comparando estas duas expressões Eqs (4.83) e (4.84) obtém-se uma relação
e finalmente se deduz em primeira ordem em s que
[qni, Kk] = qnk[qin, H]− δjkct (4.86)
Esta última relação, Eq. (4.86) que chamaremos de Condição de linha de Universo (CLU), não é um resultado apenas da álgebra do grupo de Poincare mas também de exigir que as posições das partículas transformem corretamente sob uma transformação de Lorentz. De maneira similar, se a transformação fosse uma rotação ao redor do eixo z, e assumindo que [Jk, H] = 0, obtém-se
q01(t) = q1(t) cos s + q2(t) sin s, (4.87)
q02(t) = −q1(t) sin s + q2(t) cos s,
que implica nas seguintes relações
[J3, q1] = q2, (4.88)
[J3, q2] = −q1.
Da mesma maneira para translações encontra-se que
[qj, Pk] = δjk. (4.89)
Levando em conta os resultados acima, demonstraremos primeiro que os geradores Pj
têm a mesma forma,
Pj = p1j+ p2j (4.90)
para partículas livres ou para partículas com interação. Dada qualquer interação, pode-se escrever
e da Eq. (4.89) encontra-se diretamente que
[Fj, qk] = 0. (4.92)
Fazendo então a mudança de variáveis
r = q1+ q2, (4.93)
q = q1− q2,
encontra-se que
0 = [pj, pk] = 2 (∂Fj/∂rk− ∂Fk/∂rj) . (4.94)
Deixando agora as q1
j e qj2 fixas escreve-se a transformação canônica
p1j → p1j − Fj 2 − Wj 2 , (4.95) p2j → p2 j − Fj 2 + Wj 2 , onde Wj esta definida por
Wj = 1 3 X k Z drk ∂Fk ∂qj . (4.96)
Note-se então que esta trasnformação deixa o Pj em forma de partículas livres, ou seja,
Pj = p1j + p2j + Fj → p1j + p2j. (4.97)
Estas transformações são todas canônicas e por isto não alterao em nada a álgebra do resto dos geradores. Da mesma forma pode-se mostrar que os geradores das rotações Jk podem sempre ser escritos depois de transformações canonicas, usando a Eq. (4.88)
na forma de partículas livres , ou seja,
Agora vejamos como a condição de CLU, Eq. (4.86), reescrita como
∂Kk/∂pnj = qnk
¡
∂H/∂pnj¢, (4.99)
onde n = 1, 2 denota as duas partículas, limita completamente a interação. Derivando esta equação em relação a pm
i e trocando índices encontra-se que
(qnk − qkm) ∂2H/∂pnj∂pml = 0. (4.100)
Então para m 6= n deduze-se que ∂2H/∂pn
j∂pml = 0, o que mostra que H pode-ser sempre
expressado da forma
H = H1+ H2, (4.101)
onde H1, depende unicamente de p1, q1 e q2, e H2 depende de p2, q1 e q2. Do fato que
[H, Pj] = 0, e usando as definições Eqs. (4.93), chega-se a
∂H1/∂rj =−∂H2/∂rj. (4.102)
Como o lado esquerdo de Eq. (4.102) é função somente de p1, e o lado direito é função
somente de p2, deve existir uma função G de r e q definidas em Eq. (4.93), tal que
∂H1/∂rj = −∂H2/∂rj = ∂G/∂rj. Re definindo-se H1 e H2 adicionando G e −G ,
encontra-se que o novo H1 depende agora só de p1 e q e H2 depende só de p2 e q. Agora
usando a identidade de Jacobi, e as Eqs. (4.82), obtém-se
[Ji, [H1, Jj]]− [Jj, [H, Ji]] = εijk[H1, Jk] , (4.103)
que em notação vectorial escreve-se
[H1, J] =− (q ∧ 5) ∧ [H1, J] , (4.104)
[H1, J] =− [H2, J] = q∧ 5W, ou seja,
[H1, Jj] =− [H2, Jj] = [W, Jj] . (4.105)
Pode-se então voltar a escrever H1, H2 adicionando e subtraindo W, de modo que os
novos Hamiltonianos H1, H2 comutam com Jj ou seja sejam funções invariantes sob ro-
taçoes. Então H1 tem que ser somente função de (p1)2, p1 · q, (q)2, e o mesmo para
H2
³
(p2)2, p2· q, (q)2´
. Substituindo-se H = H1 + H2 na condição CLU Eq. (4.99)
obtem-se uma expressão geral para Kj
Kj = q1jH1+ qj2H2+ Fj, (4.106)
onde Fj é uma função arbitraria de q1 e q2. Usando as Eqs. (4.82), (4.106) e a forma de
H1, H2 conclui-se que
[Fj, Pk] = 0, [Ji, Fj] = εijkFk,
o que significa que F função só de q, ou seja, Fj = qjF (q2) . Então Kj escreve-se
Kj = q1j(H1+ F ) + q2j(H2− F ) ,
de modo que redefinindo-se H1 = H1 + F, H2 = H2− F, chega-se à expressão
Kj = q1H1+ q2H2. (4.107)
Avaliando o colchete
[Kj, H] = H1£qj1, H1¤+ H2£qj2, H2¤+¡qj1− qj2
¢
[H1, H2] , (4.108)
Pj = p1j + p2j obtém-se 2H1 ∂H1 ∂ (p1)2 = 2H2 ∂H2 ∂ (p1)2 = 1, (4.109)
de onde conclui-se que H1 e H2 devem ter a forma
H1 = q (p1)2+ W 1, (4.110) H2 = q (p2)2+ W 2,
onde W1e função (p1· q) e (q)2 e W2 e função (p2· q) e (q)2. Avaliando a Eq. (4.108) com
os Hamiltonianos descritos anteriormente Eq. (4.110), encontra-se que [Kj, H] é igual a
p1j + p2j +1 2 ¡ q1j − qj2¢ · ∂W1 ∂ (p1·q) + ∂W2 ∂ (p1·q) ¸ + [H1, H2] . (4.111)
Demonstremos agora que esta última expressão, Eq. (4.111), se anula. Para isso calcula- se primeiro −4H1H2[H1, H2] 2¡p1·p2¢ µ ∂W1 ∂ (p1·q)+ ∂W2 ∂ (p1·q) ¶ +2 (q)2 µ ∂W1 ∂ (q)2 ∂W2 ∂ (p2· q) + ∂W2 ∂ (q)2 ∂W1 ∂ (p1· q) ¶ +¡p1·q¢ µ 4 ∂W2 ∂ (q)2 + ∂W1 ∂ (p1·q) ∂W2 ∂ (p2·q) ¶ +¡p2·q¢ µ 4 ∂W1 ∂ (q)2 + ∂W1 ∂ (p1·q) ∂W2 ∂ (p2·q) ¶ . (4.112)
Como esta expressão Eq. (4.112) deve ser igual a
2H1H2 µ ∂W1 ∂ (p1·q) + ∂W2 ∂ (p2·q) ¶ , (4.113)
Eq. (4.112) deve-se anular , ou seja, ∂W1
∂ (p1·q) =−
∂W2
∂ (p2·q). (4.114)
Como o lado direito da Eq. (4.114) é função somente de (p2·q) e (q)2 e o lado esquerdo
de (p1·q) e (q)2
, estas são funções só de (q)2. Então W1 e W2 podem ser escritas como
W1 = ¡ p1·q¢F + G1, (4.115) W1 = ¡ p2·q¢F + G2,
onde F, G1 e G2, são funções só de (q)2. É fácil mostrar usando as Eqs. (4.112) e (4.113)
que dG1 d (q)2 = dG2 d (q)2 = 1 4 µ F2+ 2 (q)2F dF 0 d (q)2 ¶ = d (q) 2 F2 d (q)2 , isto significa finalmente que
G1 = 1 4(q) 2 F2+ m21, (4.116) G2 = 1 4(q) 2 F2+ m22, onde m2
1 e m22 são constantes arbitrárias. Deixando as q1 e q2 fixas e transformando os
momentos
p1 → p1− 1
2F q, (4.117)
p2 → p2+1 2F q,
correspondente a partículas livres H1 = q (p1)2 + m2 1, (4.118) H2 = q (p2)2 + m2 1.
Isto demonstra que levando em conta a invariância de Poincaré e a condição CLU, Eq. (4.99), a teoria de ação à distância, Hamiltoniana pode representar apenas duas partículas livres.
Apêndice II: Prova da propriedade
bi-monotônica
Neste apêndice mostramos que no limite de baixas velocidades a solução das Eqs. (??) e (3.2) tem somente duas ramificações definidas por ˙r > 0 e ˙r < 0. Por causa da simetria temporal, a demonstração é a mesma considerando raou rb. É suficiente provar
que existe um único ponto onde ˙q se anula, onde q está definido na Eq. (3.2). Para uma órbita na família CMF a condição de cone de luz é escrita
q = x1(t)− x2(t + q), (4.119)
onde x1(t) e x2(t) são as posições das partículas 1 e 2, sendo que em nossa convenção a
partícula 2 se encontra sempre à direita da partícula 1, e além disto c = 1 . Observe-se que por ser a interação sempre repulsiva, a velocidade v1(t) é monotonicamente crescente
no tempo sendo que a velocidade da partícula 2, v2(t), é monotonicamente decrecente.
Tomando a derivada da equação Eq. (4.119) com respeito ao tempo e isolando ˙q, obtem-se
˙q = v1(t)− v2(t + q) 1 + v2(t + q)
. (4.120)
Para baixas energias temos os limites |v2(t + q)| < v2(∞) ¿ 1 e |v1(t)| < v1(∞) ¿ 1 , e
portanto o denominador da Eq. (4.120) é sempre positivo. Na família CMF o valor de ˙q muda de sinal com valores dentro do intervalo
−(v1(∞) + v2(∞)
1 + v2(∞) ) < ˙q < (
v1(∞) + v2(∞)
1− v2(∞)
). (4.121)
Para completar a prova note-se que a soma de duas funções monotônicas crescentes v1(t) e−v2(t + q) é também uma função monotônica crescente, e portanto pode-se anular
somente uma vez. Note-se que para altas velocidades não está assegurado que −v2(t + q)
seja uma função monotônica crescente para todo t, já que dv2(t + q)
dt = (1 + ˙q)
dv2(t + q)
d(t + q) , (4.122)
é o produto de (1 + ˙q) por dv2(t+q)
d(t+q) ,e esta última é sempre positiva. Note-se que a Eq.
(4.122) garanta que v2(t + q) é monotônica crescente em t se
(1 + ˙q) > 0,
que se cumpre pelo menos para o caso de baixas velocidades. Uma estimativa simples de onde a propriedade bi-monotônica pode falhar encontra-se substituindo | ˙q| = 1 na Eq. (4.121), o que prediz aproximadamente v∞ = (1/3)c.
Apêndice III : Regularização do
problema de Kepler
Nós faremos aqui uma revisão da regularização de Levi-Civita do problema de Kepler no plano [42, 43, 44], para comparar com o presente caso relativistico e servir de modelo. Como conseqüência da invariância de Galilei, as equações do problema de Kepler separam em uma equação para o movimento do centro de massa X ≡ (m1x1 + m2x2)/M e uma
equação para o movimento da coordenada relativa x ≡ x1− x2 no plano
M ¨X = 0, (4.123)
µ¨x = −e
2x
r3 , (4.124)
onde r ≡ |x| é o modulo da distância relativa, e µ e M são a massa reduzida e a massa total respectivamente. Note-se que a Eq. (4.124) é singular para r ≡ |x| = 0 e portanto não pode ser integrada numéricamente. O primeiro passo desta regularização consiste na mudança do parâmetro de tempo t para um parâmetro s definido por
dt = rds. (4.125)
É conveniente expressar o vetor relativo x do movimento plano, por uma variável com- plexa z definida por
onde x e y são as componentes cartezianas do vetor x. A equação de evolução de z em termos de s e pode ser calculada usando-se as Eqs. (4.124) e (4.125)
2µz r2 ( d2z ds2 − E 2µz) = 0, (4.127) onde E é a energia E = µ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ dx dt ¯ ¯ ¯ ¯ 2 − e 2 r . (4.128)
Físicamente o parâmetro E deve ser uma constante real finita, que pode ser subtituída no procedimento numérico por uma constante real arbitrária, representando a condição inicial. Para valores negativos de E a Eq. (4.127) converte-se na equação de um oscilador harmônico simples. Isto completa a regularização das equações do problema de Kepler. Para encontrar a solução colinear basta impor y = 0 em (4.126). Esta órbita colinear não é tão popular, e pode ser resolvida em forma analítica. A solução da Eq. (4.127) é
z =√x = A sin(ks). (4.129)
onde k = p|E/2µ|. Substituindo a solução Eq. (4.129) na expressão da energia Eq. (4.128) obtem-se
−|E| = 2µk
2A2cos2(ks)− e2
A2sin2(ks) (4.130)
de onde calcula-se A =pe2/|E|.
Note-se algumas particularidades da solução: (i) Dado que a Eq. (4.127) cumpre- se para qualquer órbita plana para momentos angulares pequenos O(ε), estas órbitas são elipses com um movimento ao largo do eixo x aproximado pela equação (4.129) e movimento ao longo do eixo y descrito por uma função harmônica de amplitude de ordem ε. Note-se que para órbitas físicas nas quais E tem que ser real z satisfaz equações harmônicas não acopladas como a Eq. (4.127). (ii) A órbita de colisão é o ”limite ” de momento angular zero de uma órbita eliptica. Nesse limite o foco da elipse tende ao centro de força, e a velocidades troca de sinal em forma descontínua, passando de +∞ para -∞
Referências Bibliográficas
[1] J. A. Wheeler and R. P. Feynman, Rev. of Mod. Physics, 17, 157 (1945) and Rev. of Mod. Phys. 21, 425 (1949).
[2] J. D. Jackson Classical Electrodynamics, (Jhon Wiley & Sons, New York 1975). [3] F. Hoyle, Jayant V Narlikar, Cosmology and Action at a Distance Electrodynamics,
(World Scientific, Singapore 1996).
[4] D.G.Currie, T.F. Jordan, E.C.G. Sudarshan, ”The theory of Action-at-a-distance in Relativistic Particle Dynamics”, A reprint collection, Edited by E.H. Kerner, (Gordon and Breach Publishers, New York).
[5] K. Schwarzschild, Göttinger Nachrichten, 128 132 (1903). [6] H. Tetrode, Zeits f. Physik, 10 317 (1922).
[7] A. D. Fokker, Zeits f. Physik, 58 386 (1929); Physica 9, 33 (1929), Physica 12, 145 (1929).
[8] P. A. M. Dirac, Proc. R. Soc. A167, 148 (1938b). [9] J. E. Hogarth, Proc. R. Soc. A314, 529 (1962).
[10] F. Hoyle, J. V. Narlikar, Ann. Phys. (N.Y.) 54, 207 (1969),F. Hoyle, J. V. Narlikar, Ann. Phys. (N.Y.) 62, 44 (1971).
[12] F. Hoyle, G. Burbidge, J.V. Narlikar Astrophys. J. 410, 437 (1993). [13] P.A.M. Dirac Rev. Mod. Phys. 21, 392 (1949).
[14] H. Leutwyler, ”The theory of Action-at-a-distance in Relativistic Particle Dynam- ics”, A reprint collection, Edited by E.H. Kerner, (Gordon and Breach Publishers, New York).
[15] E. C. G. Sudarshan, N. Mukunda and J. N. Goldberg, Physical Review D 23, 2218 (1981).
[16] A. Komar , Physical Review D 18, 1881 (1978). [17] A. Komar , Physical Review D 18, 1887 (1978).
[18] E. C. G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dynamics: A Modern Perspective, (John Wiley and Sons, New York 1974).
[19] R.P. Gaida, V.I Tretyak, Yu. G. Yaremko, Theor. Math. Phys. vol. 101, No 3, 1443
(1994).
[20] A.Staruszkiewicz, Annalen der Physik.7.Folge, Band 25, Heft 4 (1972).
[21] G. Marmo, N. Mukunda and E.C.G. Sudarshan, Phys. Rev. D 30 , 2110 (1984). [22] Robert Nyden Hill, Relativistic Action at a disytance: Classical and Quantun As-
pects, Springer-Verlag, Berlin 1982, page 104.
[23] H.W. Crater, Peter Van Alstine, Phys. Rev. D. 46 2 (1992 ). [24] M.Schönberg, Phys. Rev. 69 211 (1946).
[25] A. Schild, Phys. Rev. 131 2762 (1963) , A. Schild, Science 138 994 (1962). [26] S. Klimenko and I. Nikitin, Nuovo Cimento 116 1029 (2001).
[27] Numerical Methods for Delay Differential Equations, Alfredo Bellen and Marino Zen- naro,University di Trieste, Italy, Oxford Press (2002). K.W. Neves and S.Thompson. Applied Numerical Mathematics 9, 385-401, North-Holland (1992).
[28] Shpytko V. Acta Phys. Pol.B, 27, 9, 2057—2070 (1996).
[29] I.N.Nikitin and J. De Luca, International Journal of Modern Physics C, Vol 12, 739-750 (2000).
[30] J. De Luca, Physical Review E, 62, 2060 (2001).
[31] E.Hairer, S.P.Norsett and G.Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I, Springer-Verlag 1987.
[32] S. V. Klimenko, I. N. Nikitin and W. F. Urazmetov, Il Nuovo Cimento, 111, 1281 (1998).
[33] R.N. Hill ”Relativistic Action at a distance: Classical and Quantum aspects ” ,Pro- ceedings, Barcelona, Spain 1981, Edited by J. Llosa, Lecture Notes in Physics 162, page 104 ( Springer, New York 1982).
[34] K. Schwarzschild, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Physik. KI IIa (1903); H.Tetrode, Z. Physik 10, 317 (1922); A. D. Fokker ibid.58 386 (1929). [35] E. B. Hollander, Jayme De Luca, Phys. Rev. E 67 026219 (2003).
[36] D.G. Currie, T.F. Jordan e E.C.G. Sudarshan, Rev. Mod. Physics 35, 350 (1963) , D.G. Currie, J. Math. Physics 4, 1470 (1963) .
[37] Gaida R.P., Kluchovsky Yu.B.,Tretyak V.I., Three-dimensional Lagrangian aproche to the classical relativistic dynamics of directly interacting particles, in Constraint’s Theory and Relativistic Dynamics, ed. World Sci. Publ. 1987, p. 210-241.
[39] R.D. Driver, Phys. Rev. D. 19, No 4, 1098-1107, (1979).
[40] J. Hoag and R. D. Driver, Nonlinear Analysis, Theory Methods & Applications, 15, 165 (1990).
[41] J.C. Nash, Compact Numerical methods for Computers, Adam Hilger (1990). [42] T. Levi-Civita, Ann. Math. 9 1 (1903).
[43] E.L. Stiefel, G. Sheifele, Linear and Regular celestial mechanics, Springer-Verlag New York (1971).
[44] S.J.Aarseth and K.Zare, Celestial mechanics 10, 185 (1974).
[45] J. L. Anderson, Principles of Relativity Physics , Academic Press INC., New York p. 222 (1967).
[46] S. Klimenko, I. Nikitin, IL Nuovo Cimento 116 1029 (2001). [47] I. N. Nikitin, Il Nuovo Cimento 110B 7, (1995).
[48] E. Laserra, I.P. Pavlotsky and M. Strianese, Physica A 219, 141 (1995). [49] E. Laserra, M. Strianese and I.P.Pavlotsky, Physica B, 9, 563 (1995).
[50] Odo Diekmann and H.O.Walther, Delay Equations: Functional-,Complex-,and Non- linear Analysis, Springer NY (1995).
[51] L.E.Elsgolts and S.B.Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differ- ential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, NY (1973).
[52] J. Kaplan and J. Yorke, Journal of Mathematical Analysis and Applications 48, 317 (1974). J. Kaplan and J. Yorke, Journal of Differential Equations 23, 293 (1977). [53] Jibin Li, Xue-Zhong He and Zhengrong Liu, Nonlinear Analysis 35, 457 (1999).
[54] J. De Luca, Phys. Rev. Lett. 80, 680 (1998) and J. De Luca, Phys. Rev. E 58, 5727 (1998).
[55] J. De Luca, Phys. Rev. E 62, 2060 (2000).
[56] E. C. G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dynamics: A Modern Perspective, (John Wiley and Sons, New York 1974).