No capítulo2vimos que é possível construir um formalismo lagrangiano e hamilto- niano para sistemas descritos por densidades de lagrangianas que dependem das segundas derivadas nos campos. Essencialmente, o roteiro desenvolvido para a construção de tais formalismos segue as mesmas ideias que para teorias com densidade de lagrangianas que dependam apenas da primeira derivada nos campos, com exceção a alguns detalhes des- tacados no trabalho.
Como mostrado, realizamos o estudo considerando qualquer tipo de campo, de tal forma que a aplicação na Eletrodinâmica de Podolsky foi incorporada aos poucos na exposição do capítulo. Inicialmente, obtivemos as equações de Euler-Lagrange a partir da invariância do funcional de Ação sob transformações a ponto fixo. O modo de se obter tais equações é análogo ao caso usual, com a ressalva de que na situação considerada nesta dissertação foi necessário acrescentar que a variação da derivada covariante dos campos seja nula na borda do hipervolume considerado. Desta forma, constatou-se que as equa- ções obtidas carregam um termo que depende explicitamente da derivada da densidade de lagrangiana com relação as segundas derivadas nos campos, como era de se esperar.
O teorema de Noether também foi estendido para este tipo de teoria. A presença de um termo na quadridensidade de corrente conservada que explicita a dependência da densidade de lagrangiana com relação a derivada de segunda ordem nos campos é ex- plícita e surge quando transformamos o funcional de Ação por meio de um grupo de transformações. Quando o grupo de transformações em questão é o grupo de Poincaré, os tensores Energia-Momento e de Spin tem novas expressões. Obviamente, se a dependên- cia nas derivadas de segunda ordem nos campos fosse negligenciada, as expressões para estes tensores seriam as mesmas obtidas pela teoria de campos usual, como comentado
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no trabalho.
Além disso, constatamos que existe a possibilidade de se construir todo o forma- lismo hamiltoniano para tais teorias. Como a referência [8] ensina, com a definição dos pares canônicos (πi, ϕ
i) e (eπi, ˙ϕi), a construção de uma formulação hamiltoniana para
teoria de segunda ordem se torna natural. Para o caso de teorias que apresentam vín- culos, é necessário um estudo minucioso sobre estes vínculos. Por isso, optamos por não abordar este tema no presente trabalho, pois o mesmo necessita de um fino estudo sobre classificação de vínculos e isto foge do objetivo do trabalho.
Comentaremos agora sobre os resultados obtidos no capítulo2 devido à aplicação do estudo desenvolvido sobre teoria de campos de segunda ordem na Eletrodinâmica de Podolsky. O primeiro resultado foi a obtenção das equações de movimento para o campo eletromagnético de Podolsky. Utilizando as equação de Euler-Lagrange tomando a corres- pondência ϕi ↔ Aµ, obtivemos as equação de movimento para o campo eletromagnético
de Podolsky e comparamos com as equações de Maxwell por meio do limite do parâme- tro de Podolsky indo a zero. Outro resultado obtido foi a conservação da carga elétrica, simetria fundamental da natureza. Constatamos que a invariância de gauge da teoria de Podolsky implica na conservação da carga elétrica, assim como na teoria de Maxwell. Vimos também que os tensores Energia-Momento e Spin da Eletrodinâmica de Podolsky possuem formas distintas dos seus equivalentes na teoria de Maxwell, como era esperado. Em especial, constatamos que o tensor Energia-Momento canônico não é simétrico, sendo que também não pode ser simetrizado pelo do método de Belinfante. O modo de se ob- ter o tensor Energia-Momento simétrico de uma teoria de segunda ordem é apresentado em [24], sendo que seu desenvolvimento seria muito trabalhoso e iria além dos objetivos desta dissertação.
Outros resultados sobre a Eletrodinâmica de Podolsky foram apenas comentados, pois uma abordagem simplificada não exaltaria a relevância dos resultados e uma rigorosa fugiria do escopo deste trabalho. Nesta lista, o resultado mais relevante, que foi obtido por Cuzinatto, Melo e Pompeia em [10], é que a Eletrodinâmica de Podolsky é a única teoria de campos com derivadas de segunda ordem nos campos que é simultaneamente linear, invariante de gauge U(1) e de Lorentz. Todas as outras teorias invariantes por estes grupos diferem da Eletrodinâmica de Podolsky por um termo de superfície. Este fato faz com que a Eletrodinâmica de Podolsky seja a única generalização possível com derivadas de segunda ordem nos campos para a Eletrodinâmica de Maxwell.
O capítulo 3 compreende o estudo da teoria de Multipolos sob a perspectiva da Eletrodinâmica de Podolsky. Neste capítulo observamos que a descrição de fenômenos estáticos pela Eletrodinâmica de Podolsky é uma possibilidade. Definindo os campos
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elétrico e magnético em termos dos potenciais escalar elétrico e vetorial magnético, veri- ficamos que a condição de Coulomb tem uma expressão diferente na teoria de Podolsky. Esta nova condição leva o nome de condição de Coulomb generalizada e a mesma equi- vale a condição de Lorenz generalizada, obtida por [8], para o caso estático. As equações resultantes da imposição da condição de Coulomb generalizada carregam um termo que considera derivadas de quarta ordem nos campos. Isto mostra que o modo com que os campos são criados é diferente quando comparado com a Eletrodinâmica de Maxwell. Apesar disso, as equações para o potencial escalar elétrico e as componentes do potencial vetorial magnético ainda são idênticas ao fazermos a associação ϕ ↔ (A)i e ρ ↔ (J)i,
um resultado semelhante obtido pela teoria de Maxwell.
No estudo da Eletrostática de Podolsky observamos que o primeiro resultado dis- tinto com relação à teoria de Maxwell é o limite do potencial escalar elétrico devido a uma carga puntual para a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o potencial indo a zero. Utilizando a Eletrostática de Maxwell, constata-se que este limite é infinito, enquanto que utilizando a teoria de Podolsky obtemos que o limite resulta em um valor finito, diretamente relacionado com a constante de Podolsky. Este fato se propaga para as outras quantidades relacionadas à carga puntual como, por exemplo, quando analisam-se os limites para seu campo elétrico. Um outro fato importante decorrente da finitude do potencial escalar elétrico de uma carga sobre ela mesma é o cálculo da autoenergia desta mesma carga. Na teoria de Maxwell, este cálculo resulta em um valor infinito, o que fisi- camente não é de se esperar. Neste trabalho, apresentamos o modelo mais simples para uma carga puntual e, utilizando a teoria de Podolsky, vimos que este cálculo retornou um valor finito, também diretamente relacionado com a constante de Podolsky. Este é um grande resultado da Eletrodinâmica de Podolsky.
Ainda na seção sobre Eletrostática, realizamos o estudo dos multipolos elétricos. Esta parte contém o cerne da expansão multipolar: a condição de aproximação multipolar. Verificamos que é possível determinar com clareza o quão distante está um ponto do es- paço com relação a um corpo carregado, se compararmos a mínima distância entre o ponto onde se deseja calcular o potencial e um ponto do corpo carregado com a máxima dis- tância entre dois pontos da distribuição de cargas. Utilizando a condição de aproximação multipolar, realizamos a expansão multipolar, que segue um roteiro levemente parecido com o que é executado na teoria de Maxwell. Para tanto, buscamos uma representação da função de Green da equação do potencial escalar elétrico em termos de uma série infi- nita. Após encontrarmos a representação adequada para a função em questão, precisou-se ainda reorganizar da série de modo a implementar a condição de aproximação multipolar. Apesar da dificuldade intrínseca que a Eletrodinâmica de Podolsky apresenta, obtivemos com sucesso a expressão que define a expansão multipolar. Para verificarmos a fórmula obtida, realizamos a expansão multipolar para um disco carregado uniformemente, usando
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o fato que o potencial elétrico para esta configuração de carga, quando calculado sobre o eixo de simetria, pode ser obtido exatamente. Fazendo a expansão multipolar da expres- são exata do potencial e calculando o potencial utilizando a série obtida foi constatado que resultavam nas mesmas expressões. Apesar de não serem expressas neste trabalho, outras configurações de cargas, como o dipolo elétrico e os quadrupolos elétricos linear e quadrado, foram analisadas e verificou-se que a expressão para a expansão multipolar também descreve com precisão os potenciais destas configurações de carga.
A seção sobre Magnetostática de Podolsky seguiu um roteiro similar ao executado na seção sobre Eletrostática. Primeiramente, discutimos sobre as correntes estacionárias, estas que são fontes de campos magnéticos estáticos. Em seguida, obtivemos o potencial vetorial e o campo magnético de algumas configurações de correntes. O exemplo mais notável foi o fio infinito, pois este mostrou um comportamento em regiões próximas do fio bem distinto do esperado pela Magnetostática de Maxwell. Pela teoria de Podolsky, o campo magnético do fio infinito possui um máximo em regiões próximas ao fio. Isto faz com que esta configuração de corrente seja candidato a uma possível verificação experi- mental da teoria de Podolsky.
Continuando na seção sobre Magnetostática, construímos a expansão multipolar para o potencial vetorial magnético, que de fato é análogo ao realizado para o potencial escalar elétrico. Definimos a condição de aproximação multipolar para a Magnetostática, fazendo a correspondência entre elementos de cargas com elementos de correntes. Poste- riormente, como a função de Green é a mesma para as equações dos potenciais escalar elétrico e vetorial magnético, temos que a representação obtida da função de Green em questão em termos de uma série infinita é idêntica ao caso Eletrostático. Em seguida, verificamos os dois primeiros termos da expansão multipolar e constatamos que o termo referente ao monopolo magnético é nulo, como era de se esperar. Fizemos uma aplicação dos resultados obtidos no cálculo do potencial vetorial magnético de uma espira circular delgada com uma corrente estacionária. O resultado obtido da aplicação foi satisfatório, pois o mesmo retornou os limites que eram esperados.
Sobre os resultados do capítulo4, nosso objetivo foi introduzir os conceitos básicos da teoria da Radiação. No início, quando tentamos resolver a equação para o quadripo- tencial eletromagnético de Podolsky sem a imposição da condição de Lorenz generalizada, constatamos que simplesmente não existe uma solução pelo método das funções de Green. Isto mostrou o porquê de se impor a condição de Lorenz generalizada. Sem a imposição da mesma não seria possível obter tal quadripotencial. Além disso, a imposição da condição de Lorenz se mostrou natural, quando verificou-se que ao aplicar uma transformação de gauge no quadripotencial, a equação que o quadripotencial transformado satisfaz é exata- mente a equação do quadripotencial com a imposição da condição de Lorenz generalizada.
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Ainda sobre o capítulo 4, conseguimos implementar a causalidade na teoria, do mesmo modo que é realizado na Eletrodinâmica de Maxwell. Isto possibilitou a busca pelas funções de Green retardada e avançada da equação do quadripotencial eletromag- nético de Podolsky. Esta busca retornou que as funções de Green procuradas são dadas pela diferença entre a função de Green da equação do campo eletromagnético de Maxwell e da equação de Klein-Gordon-Fock. Desta forma, nosso objetivo se voltou para a obten- ção de tais funções de Green, tornando-se o assunto de duas seções. Obtidas de maneira semelhante, optamos por explicitar o cálculo destas funções de Green para que o leitor não tenha dúvidas sobre o processo de obtenção das mesmas. Quando encontramos as funções de Green retardada e avançada da equação do quadripotencial eletromagnético de Podolsky, verificamos um limite importante da teoria: o limite de m → +∞. Obvia- mente, aplicamos este limite sobre a função de Green retardada, pois ela é a única que possui interesse físico. A importância deste limite se dá pelo fato que se o campo ele- tromagnético que conhecemos é o de Podolsky, então este limite explica o porquê de não o reconhecermos. Para verificarmos este limite, usamos a sugestão proposta por Frenkel em [9], escrevendo a função de Green de maneira semelhante a uma das representações da função delta. Infelizmente, não conseguimos mostrar que todas as funções fi, i ∈ N, que
aparecem na representação da função de Green tendem a 1 quando m tende ao infinito, mas pelo menos para os quatro primeiros fi o limite é verificável diretamente. Encerrando
o capítulo 4, comentamos que o quadripotencial eletromagnético de Podolsky pode ser visto como o quadripotencial de Maxwell corrigido pelo quadripotencial solução da equa- ção de Klein-Gordon-Fock e obtivemos os potenciais de Liénard-Wiechert-Podolsky para uma carga puntual em movimento. Obviamente, as expressões exatas destes potenciais exigem o conhecimento do quadrivetor posição da partícula, de modo que nossa ideia foi apenas apresentá-las neste trabalho.
De um modo geral podemos concluir que a Eletrodinâmica de Podolsky descre- veu satisfatoriamente os fenômenos eletromagnéticos abordados nesta dissertação. O fato é que a Eletrodinâmica de Podolsky, além de descrever os fenômenos eletromagnéticos quantitativamente, também resolve problemas da Eletrodinâmica de Maxwell, tudo a ní- vel clássico. Por isso, isto é suficiente para que esta generalização da teoria de Maxwell receba a atenção da comunidade científica. As possibilidades sobre novos temas e pers- pectivas sobre a teoria são apresentadas na próxima seção.