Conclus˜ao - Amanda Ferreira de Lima

A partir do estudo desenvolvido neste cap´ıtulo, obtivemos a seguinte classifica¸c˜ao:

Seja (Mm_{, T ) uma involu¸c˜ao suave sobre uma variedade fechada M}m_{, com conjunto de}

pontos fixos igual `a uni˜ao dos espa¸cos projetivos RPj _{∪ CP}k_{. Consideremos o fixed-data de}

(Mm_{, T )} ηm−j _γm−2k ↓ ∪ ↓ R_Pj C_Pk , com W (ηm−j_{) = (1 + α)}p _{e W (γ}m−2k_{) = (1 + β)}q_.

Se j = 0 ou k = 0, então (Mm_{, T ) é uma involu¸cão do tipo I.}

Se j = m ou k = m/2, então (Mm_{, T ) é também uma involu¸cão do tipo I.}

Se j é ´ımpar e p é par, então (Mm_{, T ) é, novamente, uma involu¸cão do tipo I.}

Se j é ´ımpar e p é ´ımpar, então (Mm_{, T ) é uma involu¸cão do tipo III.}

Se j é par e p é par, então não há involu¸cões fixando RPj _{∪ CP}k _{neste caso.}

Agora, se j é par e p é ´ımpar, então temos dois casos dependendo do parâmetro λ = j + 1 + p

3.5 Conclus˜ao

λ = 1 (mod 2) então, se p = 1, (Mm_{, T ) é uma involu¸cão do tipo III, e se p > 1, temos}

3 possibilidades: m < 2j (então não há involu¸cões fixando RPj _{∪ CP}k _{neste caso), m = 2j}

Cap´ıtulo

4 O caso especial RP

j

∪ CP

k

com j e k pares

positivos

No cap´ıtulo anterior realizamos a classifica¸cão das involu¸cões que fixam R_Pj_{∪ CP}k_{, a menos de cobordismo equivariante. Conforme visto, esta classifica¸cão} foi feita quase inteiramente em fun¸cão da dimensão j do espa¸co projetivo real e do número inteiro p tal que W (ηm−j_{) = (1 + α)}p_{, onde η}m−j _{→ RP}j _{é o fibrado normal}

a RPj_{. Neste cap´ıtulo, vamos inicialmente filtrar do material do cap´ıtulo anterior,}

a classifica¸cão, a menos de cobordismo equivariante, das involu¸cões que fixam a união RPj_{∪ CP}k _{no caso especial em que j e k são ambos pares e positivos, caso}

espec´ıfico que permanece em aberto na classifica¸cão das involu¸cões fixando outras uniões de espa¸cos projetivos, especificamente RPj_{∪ RP}k_{, CP}j_{∪ CP}k_{e HP}j_{∪ HP}k_.

Por fim, vamos apresentar a classifica¸c˜ao das a¸c˜oes de Zr

2 que fixam RPj ∪ CPk,

com j e k ambos pares e positivos, j 6= 2k, a menos de cobordismo equivariante, obtida atrav´es do Teorema 1.11.8.

4.1 Involu¸c˜oes fixando RP

∪ CP

com j e k pares e positivos

Seja (Mm_{, T ) uma involu¸c˜ao suave sobre uma variedade fechada M}m_{, com conjunto de}

pontos fixos igual `a uni˜ao dos espa¸cos projetivos RPj _{∪ CP}k_{. Consideremos o fixed-data de}

(Mm_{, T ),}

ηm−j _γm−2k

↓ ∪ ↓

R_Pj C_Pk ,

com W (ηm−j_{) = (1 + α)}p _{e W (γ}m−2k_{) = (1 + β)}q_{. No cap´ıtulo anterior, vimos que (M}m_{, T )}

é equivariantemente cobordante a uma variedade do tipo I, II ou III. Vejamos quais são as possibilidades para (Mm_{, T ), dentre estes modelos, no caso em que j e k são ambos pares e}

4.1 Involu¸c˜oes fixando RPj ∪ CPk _{com j e k pares e positivos}

Exemplo 2.1.1: Neste exemplo, uma das componentes fixadas borda como variedade com

fibrado normal. Para que isto aconte¸ca, ela deve bordar como variedade e, neste caso, j ou k deve ser ´ımpar. Logo, tal caso n˜ao ocorre.

Exemplo 2.1.2: Neste caso, (Mm_{, T ) ´e cobordante a (M}m

0 , T0) ∪ (M1m, T1), onde (M0m, T0)

fixa RPj _{e (M}m

1 , T1) fixa CPk. Supondo j par, (M0m, T0) ´e cobordante a (RPj, identidade) ou

´e cobordante a (RPj _{× RP}j_{, twist), e assim m = j ou m = 2j.}

Se m = j, ent˜ao (Mm

0 , T0) ´e cobordante a (RPj, identidade) e temos as sequintes

possibilidades:

• Se j é múltiplo de 4 e k = j/2, então k é par e (Mm

1 , T1) ´e cobordante a (CPj/2, identidade),

e assim (Mm_{, T ) ´e cobordante a}

(RPj, identidade) ∪ (CPj/2, identidade). (4.1) • Se j é múltiplo de 8 e k = j/4, então k é par e (Mm

1 , T1) ´e cobordante a (CPj/4 ×

C_Pj/4_{, twist), e assim (M}m_{, T ) ´e cobordante a}

(RPj, identidade) ∪ (CPj/4× CPj/4_{, twist).} _(4.2)

Agora, se m = 2j, ent˜ao (Mm

0 , T0) ´e cobordante a (RPj× RPj, twist) e temos as seguintes

possibilidades:

• Se k = j, ent˜ao k ´e par e (Mm

1 , T1) ´e cobordante a (CPj, identidade) e, dessa forma,

(Mm_{, T ) ´e cobordante a}

(RPj × RPj, twist) ∪ (CPj, identidade). (4.3) • Se j é múltiplo de 4 e k = j/2, então k é par e (Mm

1 , T1) ´e cobordante a (CPj/2 ×

C_Pj/2_{, twist), e assim (M}m_{, T ) ´e cobordante a}

(RPj× RPj_{, twist) ∪ (CP}j/2_{× CP}j/2_{, twist).} _(4.4)

Estas s˜ao as primeiras possibilidades para (Mm_{, T ) com j e k pares e positivos, todas do}

tipo I.

Exemplo 2.1.3: Neste exemplo, (Mm_{, T ) ´e uma involu¸c˜ao fixando {pto} ∪ RP}j _ou

{pto} ∪ CPk_{, ou seja, k = 0 ou j = 0. Portanto este n˜ao ´e um caso onde (M}m_{, T ) fixa}

R_Pj _{∪ CP}k _{com j e k ambos pares e positivos.}

Exemplo do tipo II (Se¸c˜ao 2.2): Neste caso, (Mm_{, T ) fixa RP}j_{∪ CP}k_{, com j = k par,}

p = k + 1 e q = 0. Portanto, para todo j = k par, temos um tal exemplo e, como vimos na Se¸cão 2.2, tal involu¸cão é equivariantemente cobordante a

Γ(CPk, conjuga¸c˜ao), (4.5)

4.1 Involu¸c˜oes fixando RPj ∪ CPk _{com j e k pares e positivos}

Exemplo do tipo III (Se¸cão 2.3): Na Se¸cão 2.3 demonstramos que, se (Mm_{, T ) é}

uma involu¸cão fixando RPj _{∪ CP}k _{no caso geral em que j e k são inteiros não negativos, com}

p = q = 1, ent˜ao m pertence a ambos os ranges de RPj _{e CP}k_{, e (M}m_{, T ) ´e cobordante a uma}

união de uma variedade fixando {pto} ∪ RPj _{e uma variedade fixando {pto} ∪ CP}k _{(que já são}

conhecidas, vistas no exemplo 2.1.3). Mais especificamente, (Mm_{, T ) ´e cobordante a}

Γm−j−1(RPj+1, T0) ∪ Γm−2k−2(CPk+1, T1),

onde T0[x0, x1, ..., xj+1] = [−x0, x1, ..., xj+1], T1[y0, y1, ..., yk+1] = [−y0, y1, ..., yk+1],

Γm−j−1_(RPj+1_{, T}

0) é uma involu¸cão fixando {pto} ∪ RPj e Γm−2k−2(CPk+1, T1) é uma involu¸cão

fixando {pto} ∪ CPk_.

Agora analisaremos este modelo de involu¸cão quando j e k são ambos pares e positivos, ou seja, supondo que j seja par, queremos saber se existe k par para o qual a interseçcão entre o range de RPj _{e o range de CP}k _{é não-vazia.}

Recordemos que o range de RPj _{´e o conjunto dos n´}_{umeros inteiros m que satisfazem}

j + 1 ≤ m ≤

j + 3, se a = 1 j + 2a_, _{se a > 1} ,

onde j = 2a_{(2b + 1), para inteiros a e b.}

Do mesmo modo, o range de CPk _{´e o conjunto dos n´}_{umeros inteiros m que satisfazem}

2k + 2 ≤ m ≤

2k + 6, se c = 1 2k + 2c+1_, _{se c > 1} ,

onde k = 2c_{(2d + 1), para inteiros c e d.}

Para ilustrar e clarear esta discuss˜ao, analisaremos inicialmente alguns casos particulares. Tomemos, por exemplo, j = 2. O range de RP2 _{´e {m ∈ Z; 3 ≤ m ≤ 5} = {3, 4, 5}.}

Notemos que o range para CPk_{, k par, que possui os menores valores poss´ıveis, ´e quando}

k = 2. O range para CP2 _{´e {m ∈ Z; 6 ≤ m ≤ 10} = {6, 7, 8, 9, 10}. Observemos que mesmo}

este sendo o poss´ıvel range de CPk_{, com k par, que possui os menores valores, estes valores}

ainda s˜ao maiores que todos os valores do range de RP2_{. Isso mostra que os ranges de RP}2 _e

C_Pk _{possuem interseçcão vazia, para qualquer k par. Em outras palavras, se j = 2 então não} há involu¸cões do tipo III fixando RP2_{∪ CP}k_{, para qualquer k par.}

Suponhamos agora j = 4. O range de RP4 _{´e {m ∈ Z; 5 ≤ m ≤ 8} = {5, 6, 7, 8}. Para}

k = 2, vimos acima que o range para CP2_{´e {6, 7, 8, 9, 10}. Dessa forma, para cada m ∈ {6, 7, 8}}

(interseçcão entre estes ranges), existe uma involu¸cão do tipo III fixando RP4 _{∪ CP}2_{. Mas,}

se k = 4, o range para CP4 _{´e {m ∈ Z; 10 ≤ m ≤ 16} = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}, que}

possui intersec¸c˜ao vazia com o range de RP4_{. Isso mostra que, para todo k par, k ≥ 4, os}

ranges de RP4 _{e CP}k _{possuem intersec¸c˜ao vazia, ou seja, se j = 4, somente k = 2 providencia}

exemplos deste modelo de involu¸cão, mais precisamente, providencia 3 exemplos (m=6, 7 ou 8). Como último exemplo, consideremos j = 8. O range de RP8 _{é {m ∈ Z; 9 ≤ m ≤}

16} = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}. Se k = 2, o range para CP2 _{´e {6, 7, 8, 9, 10}, que possui}

4.1 Involu¸c˜oes fixando RPj ∪ CPk _{com j e k pares e positivos}

fixando RP8 _{∪ CP}2 _{do tipo III. Se k = 4, o range para CP}4 _{´e {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16},}

que possui interseçcão não-vazia com o range de RP8_{, fornecendo exatamente 7 exemplos de}

involu¸c˜oes fixando RP8_{∪ CP}4 _{do tipo III. Se k = 6, o range para CP}6_{´e {14, 15, 16, 17, 18}, que}

também possui interseçcão não-vazia com o range de RP8_{, fornecendo exatamente 3 exemplos}

de involu¸cões fixando RP8 _{∪ CP}6 _{do tipo III. Mas, se k = 8, então o range para CP}8 _é

{m ∈ Z; 18 ≤ m ≤ 32}, que possui intersec¸c˜ao vazia com o range de RP8_{. Isso mostra que,}

para todo k par, k ≥ 8, os ranges de RP8 _{e CP}k _{possuem intersec¸c˜ao vazia. Logo, para j = 8,}

os casos k=2,4 e 6 providenciam exemplos deste modelo de involu¸c˜ao, mais especificamente 12 exemplos deste modelo.

Dessa forma podemos concluir que, para um dado j par, j ≥ 4, existem vários valores de k par de maneira que a interseçcão entre os ranges de RPj _{e CP}k _{seja não-vazia. A proposi¸cão}

abaixo visa mostrar que todo j ≥ 4 providencia exemplos deste modelo de involu¸cão, embora a questão de, dado j par, determinar com precisão todos os k pares que fornecem exemplos, permanecerá em aberto (o que não invalida nossa classifica¸cão).

Proposi¸c˜ao 4.1.1 Para todo j par, j > 2, existe k par tal que os ranges de RPj _{e CP}k

possuem interseçcão não-vazia.

Prova: Suponhamos j par. Ent˜ao podemos escrever j = 2a_{(2b + 1), com a ≥ 1.}

Primeiramente suponhamos que a = 1, ou seja, j = 2(2b + 1). Como j > 2, então b ≥ 1 ou seja, 2b ≥ 2. Tomemos k = 2b. Então k é par e o range para CP2b _é

2 · 2b + 2 ≤ m ≤

2 · 2b + 6, se c = 1 2 · 2b + 2c+1_, _{se c > 1} ,

onde 2b = 2c_{(2d + 1), para inteiros c e d.}

Temos que 2 · 2b + 2 = 2(2b + 1) = j, 2 · 2b + 6 = (2 · 2b + 2) + 4 = j + 4 e 2 · 2b + 2c+1 ₌

(2 · 2b + 2) + 2c+1_{− 2 = j + 2}c+1_{− 2, lembrando que 2}c+1_{− 2 ≥ 2}2+1_{− 2 = 6, se c > 1. Desta}

forma, o range para CPk _´e

j ≤ m ≤

j + 4, se c = 1 j + 2c+1_{− 2,} _{se c > 1} ,

com 2c+1_{− 2 ≥ 6, se c > 1.}

Como neste caso o range para RPj _´e

j + 1 ≤ m ≤ j + 3,

então a interseçcão dos ranges de RPj _{e CP}k _{é não-vazia, como quer´ıamos.}

Suponhamos agora que a > 1. Neste caso a − 1 > 0 e assim j/2 = 2a−1_{(2b + 1) ´e par.}

Tomemos k = j/2. O range para CPj/2 _´e

2 ·j 2 + 2 ≤ m ≤ 2 ·j₂ + 6, se a − 1 = 1 2 · j₂ + 2(a−1)+1_{− 2,} _{se a − 1 > 1} , ou seja, j + 2 ≤ m ≤ j + 6, se a = 2 j + 2a_, _{se a > 2} ,

4.1 Involu¸c˜oes fixando RPj ∪ CPk _{com j e k pares e positivos}

lembrando que 2a _{≥ 4 pois a > 1.}

Como neste caso o range para RPj _´e

j + 1 ≤ m ≤ j + 3,

então a interseçcão dos ranges de RPj _{e CP}k _{é não-vazia, o que completa nossa prova.}

Observa¸cão 4.1.1 Na demonstra¸cão da proposi¸cão acima podemos observar que, quando j = 2(2b + 1), ou seja, a = 1, o range de RPj _{está contido no range de CP}k_{, onde k = 2b, e assim}

este caso providencia 3 exemplos deste modelo de involu¸c˜ao fixando RPj_{∪ CP}k_.

Observa¸cão 4.1.2 Ainda no caso em que j = 2(2b + 1), se tomarmos k = 2b + 2, temos que k é par e o menor valor do range de CPk _é

2k + 2 = 2(2b + 2) + 2 = 2(2b + 1) + 4 = j + 4,

que é maior do que o maior valor do range de RPj_{, que é j + 3. Dessa forma, a interseçcão}

entre os ranges de RPj _{e CP}2b+2 _{´e vazia. Isso mostra que, para todo k > 2b, o range de CP}k

possui intersec¸c˜ao vazia com o range de RPj_{. Em outras palavras, os ´}_{unicos exemplos deste}

modelo, neste caso, s˜ao providenciados por k pares tais que k ≤ 2b.

Observa¸c˜ao 4.1.3 Para um j > 2 fixado, j = 2a_{(2b + 1) par, quanto maior for o valor de}

a, maior ser´a o range de RPj _{e, neste caso, existem v´arios valores de k pares que fornecem}

exemplos deste modelo, como vimos no caso j = 8.

Portanto, se j e k são ambos pares e positivos, j > 2, e se a interseçcão entre os ranges de R_Pj _{e CP}k _{é não-vazia então, para todo m pertencente a esta interseçcão, a involu¸cão}

Γm−j−1(RPj+1, T0) ∪ Γm−2k−2(CPk+1, T1), (4.6)

´e uma involu¸c˜ao fixando RPj _{∪ CP}k_{, do tipo III.}

Desta forma, se (Mm_{, T ) ´e uma involu¸c˜ao fixando RP}j _{∪ CP}k _{com j e k ambos pares}

e positivos, então (Mm_{, T ) é cobordante a uma das involu¸cões indicadas nas equa¸cões (4.1),}

(4.2), (4.3), (4.4), (4.5) ou (4.6). Portanto a classifica¸cão, a menos de cobordismo equivariante, das involu¸cões fixando RPj_{∪ CP}k _{com j e k ambos pares e positivos, está completa. Avaliamos}

que a determina¸cão numérica precisa de tais involu¸cões do tipo III, conforme acima discutido, não enriquece ou torna mais relevante a classifica¸cão em pauta.

No documento Amanda Ferreira de Lima (páginas 79-85)