Um dos aspetos mais importantes nos modelos multi-escala é o tipo de condição de fronteira imposta ao RVE. O seu efeito nos resultados obtidos é profundo, uma vez que os deslocamentos são diretamente dependentes do tipo de restrições impostas na fronteira. Assim sendo, é essencial garantir uma boa conformidade com o tipo de problema, material e natureza de distribuição de heterogeneidades na microestrutura, de forma a que o modelo consiga reproduzir da melhor forma possível o comportamento real do sólido.
Na caracterização das condições de fronteira é necessário garantir a confor- midade com a formulação até agora descrita. Logo, a restrição cinemática, dada pela equação (3.10), bem como as condições resultantes da aplicação do princípio
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de Hill-Mandel, equações (3.32a) e (3.32b), têm que ser verificadas. Na literatura é habitual encontrarem-se quatro tipos de condições de fronteira:
• Hipótese de Taylor;
• Condição de fronteira linear; • Condição de fronteira periódica; • Tração uniforme na fronteira.
Os quatro tipos de condições de fronteira são de seguida detalhados.
3.4.1 Hipótese de Taylor
A hipótese de Taylor é a condição de fronteira mais simples e restritiva. Esta condição assume o campo de deslocamentos à micro-escala é linear em Y , ou seja,
u{y, t}= (F {x, t} − I)Y . (3.35)
Como consequência, o campo de flutuação de deslocamentos é nulo,
e
u{y, t}= 0 . (3.36)
Note-se que, com base nesta condição de fronteira, são automaticamente satisfeitas as condições (3.10) e (3.32). Atendendo à definição de gradiente de deformação, equação (3.4), conclui-se também que o gradiente de deformação microscópico coincide com o macroscópico,
F {y, t}= F {x, t} . (3.37)
Encontra-se na Figura 3.3 uma representação esquemática da deformação do RVE. Esta condição de fronteira, apesar da sua simplicidade, apresenta algumas limitações: não é capaz de caracterizar as interações mecânicas entre diferentes heterogeneidades do RVE e, devido à forte restrição de deslocamentos, tende a sobrestimar a rigidez do material (Molina, 2007; Speirs, 2007).
u{y, t} = (F {x, t} I)Y u{y, t} = (F {x, t} I)Y
Figura 3.3: Representação esquemática da deformação do RVE quando assumida a condição de fronteira de Taylor.
3.4.2 Condição de fronteira linear
A condição de fronteira linear assume que os deslocamentos na fronteira do RVE são lineares em Y ,
u{y, t}= (F {x, t} − I)Y , ∀y ∈ ∂Ωµ. (3.38)
Isto significa que o campo de flutuação dos deslocamentos é nulo na fronteira
e
u{y, t}= 0 , ∀y ∈ ∂Ωµ. (3.39)
De acordo com a definição de flutuação de deslocamentos, a condição de fron- teira linear verifica automaticamente a equação (3.10). Assim sendo, é possível definir o conjunto de flutuações de deslocamentos microscópicos cinematicamente
admissíveis na condição de fronteira linear: ∼
KµLin. ≡ {u,e suficientemente regular |u{Y , t}e = 0 ∀ Y ∈ ∂Ωµ} . (3.40)
Note-se que a primeira expressão da aplicação do princípio de Hill-Mandel, equa- ção (3.32a), é também satisfeita. Por outro lado, a relação (3.32b) apenas é verificada na ausência de forças de volume e acelerações. Contudo, a deformação de um sólido pode ser analisada como um problema Quasi-Estático, anulando-se portanto os termos de inércia. Encontra-se na Figura 3.4 uma representação do modo de deformação genérico de um RVE sujeito a condição de fronteira linear.
u{y, t} u{y, t} Equa¸c˜oes de equil´ıbrio Equa¸c˜oes de equil´ıbrio
Figura 3.4: Representação esquemática da deformação do RVE quando assumida a condição de fronteira linear.
3.4.3 Condição de fronteira periódica
A condição de fronteira periódica trata-se de uma das mais utilizadas na comu- nidade científica, uma vez que apresenta uma excelente capacidade de reproduzir o comportamento de materiais que apresentem uma microestrutura periódica (ou quase-periódica). Repare-se no entanto que, embora a distribuição da microestru- tura apresente um padrão, não é necessário que o RVE possua heterogeneidades com distribuição periódicas.
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Esta condição de fronteira estabelece que a fronteira que define os limites do RVE pode ser dividida em d grupos iguais tais que,
∂Ωµ= (Γ−i ∪Γ+i ) . (3.41)
Isto significa que cada ponto da parte positiva y+ ∈ Γ+
i tem o seu par na parte
negativa y−∈Γ−
i . Além disso, é necessário garantir que o vetor normal unitário
a Γ+
i e Γ
−
i nos pontos y+ e y−, respetivamente, satisfaz a condição
N+= −N−. (3.42)
Na Figura 3.5 encontra-se uma representação esquemática do modo de deformação de um RVE quando assumida a condição de fronteira periódica, que ilustra a condição de simetria descrita.
Considerando a expressão (3.10), que define o conjunto de flutuações de des-
locamentos microscópicos cinematicamente admissíveis minimamente restringido,
e com base nas condições introduzidas acima, tem-se que
Z ∂Ωµ e u{y, t} ⊗ N {Y }dA ≡ d X i=1 Z ∂Ωµ,i e ui{y, t} ⊗ Ni{Y }dAi ≡ d X i=1 " Z Γ+i e ui{y+, t} ⊗ Ni+{Y+}dΓ+i +Z Γ−i e ui{y−, t} ⊗ Ni−{Y−}dΓ−i # = 0 . (3.43)
Tendo em conta a relação entre os vetores normais unitários dada pela relação (3.42), a expressão anterior resulta
Z ∂Ωµ e u{y, t} ⊗ N {Y }dA ≡ d X i=1 " Z Γ+i e ui{y+, t} ⊗ Ni+{Y+}dΓ+i − Z Γ+ie ui{y+, t} ⊗ Ni+{Y+}dΓ+i # = 0 . (3.44)
Logo, pode-se concluir que só é verificada a condição indicada caso a flutuação de deslocamentos seja igual na parte positiva e negativa da fronteira:
e
ui{y+, t}=uei{y
−, t} . (3.45)
É possível então definir o conjunto de flutuações de deslocamentos microscópicos
cinematicamente admissíveis na condição de fronteira periódica: ∼ K µPer.≡ n e u,suficientemente regular |uei{y +, t}= e ui{y−, t} ∀par {y+, y−} o . (3.46)
Tal como na condição de fronteira linear, a condição de Hill-Mandel inerente às forças de volume, equação (3.32b), apenas é verificada na ausência de forças de volume e acelerações. A equação (3.32a) apenas é satisfeita caso o campo de trações seja anti-periódico, ou seja,
¯tµ{Y+, t}= −¯tµ{Y−, t} . (3.47) u{y, t} u{y, t} Equa¸c˜oes de equil´ıbrio Equa¸c˜oes de equil´ıbrio + 2 + 2 N+2 N+2 2 2 N2 N2 N1 N1 NN+2+2 + 1 + 1 1 1
Figura 3.5: Representação esquemática da deformação do RVE quando assumida a condição de fronteira periódica.
3.4.4 Tração uniforme na fronteira
A condição de tração uniforme na fronteira é baseada no conceito de conjunto de
flutuações de deslocamentos microscópicos cinematicamente admissíveis minima- mente restringido: ∼ KµTrac.= ∼ Kµ≡ ( e u,suficientemente regular | Z ∂Ωµ e u{y, t} ⊗ N {Y }dA = 0 ) . (3.48) Trata-se portanto da condição de fronteira que menos restringe a cinemática do RVE. Tal como nos casos anteriores, a equação (3.32b) apenas é verificada na ausência de forças de volume e acelerações. Da condição (3.32a) conclui-se que a tração ao longo da fronteira do RVE é uniforme e igual à tração da tensão homogeneizada:
P {y, t} n{y, t}= P {x, t} n{y, t} . (3.49)
Na Figura 3.6 encontra-se uma representação da deformação de um RVE quando assumida a condição de tração uniforme na fronteira.
As condições de fronteira introduzidas podem ser ordenadas hierarquicamente em função do grau de restrição ao campo de flutuação de deslocamentos. Desta forma tem-se que
∼ KµTrac.⊃ ∼ KµPer. ⊃ ∼ K µLin.⊃ ∼ KµTaylor. (3.50)
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u{y, t}
u{y, t} Equa¸c˜Equa¸c˜equil´ıbrioequil´ıbriooes deoes de
Figura 3.6: Representação esquemática da deformação do RVE quando assumida a condição de tração uniforme na fronteira.
Esta relação é importante na análise de simulações com diferentes condições de fronteira, na medida em que a restrição de menor grau do RVE constitui o inferior do comportamento do material e vice-versa.