3.5 M´ etodo das relaxa¸c˜ oes sucessivas (SOR) *
3.5.1 Condi¸c˜ ao necess´ aria de convergˆ encia
O resultado a seguir mostra-nos que o parˆametro ω do m´etodo dever´a ser escolhido no intervalo (0, 2).
Teorema 3.12. Se o m´etodo SOR converge para a solu¸c˜ao de um sistema linear A x = b, ent˜ao
0 < ω < 2.
Demonstra¸c˜ao. Atendendo `as express˜oes (3.148) e (3.149), tem-se
aix (k+1) i + ω i−1 X j=1 aijx (k+1) j = (1 − ω) aiix (k) i − ω n X j=i+1 aijx (k) j + ω bi, i = 1 : n.
A express˜ao anterior pode ser rescrita em termos das matrizes D, L e U , como
(D + ω L) x(k+1) = ((1 − w) D − ω U ) x(k)+ ω b. (3.150)
As matrizes que entram na express˜ao (3.150) tˆem uma forma particular:
D + ω L = D (I + ω D−1L) = D (I + ω E),
onde E = D−1L ´e uma matriz triangular inferior em que a diagonal principal ´e nula. Pelo seu lado, a matriz
(1 − ω) D − ω U = D ((1 − ω) I − ω F ) ,
onde F = D−1U ´e uma matriz triangular superior, com a diagonal principal nula. Levando em considera¸c˜ao as express˜oes anteriores, (3.150) toma a forma
x(k+1) = (I + ω E)−1 ((1 − ω) I − w F ) x(k)+ ω (D + ω L)−1b.
Por conseguinte, a matriz de itera¸c˜ao do m´etodo pode escrever-se na forma
O primeiro factor da matriz Cω ´e uma matriz triangular inferior com diagonal
unit´aria, pelo que o respectivo determinante vale 1. O segundo factor de Cω ´e
uma matriz triangular superior cuja diagonal principal ´e constitu´ıda por entradas todas iguais a 1 − w. Por conseguinte,
| det(Cω)| = | det((1 − ω) I − ω F )| = |1 − ω|n.
Sendo λ1, λ2, . . . , λn o espectro da matriz Cω, tem-se que
| det(Cω)| = |λ1| × |λ2| × . . . × |λn|.
Logo,
|1 − ω|n = |λ1| × |λ2| × . . . × |λn| ≤ ρ(Cω)n,
ou, equivalentemente,
|1 − ω| ≤ ρ(Cω).
Uma vez que o m´etodo SOR ´e, por hip´otese, convergente para a solu¸c˜ao de A x = b, necessariamente ρ(Cω) < 1, ou seja,
|1 − w| < 1 ⇐⇒ 0 < ω < 2.
Se no m´etodo SOR fixarmos 0 < ω < 1, dizemos que ω ´e um parˆametro de sub–relaxa¸c˜ao. Se 1 < ω < 2, dizemos que ω ´e parˆametro de sobre-relaxa¸c˜ao. No exemplo a seguir ´e dado um sistema linear para o qual o m´etodo de Jacobi ´e convergente, embora a convergˆencia seja muito lenta. Acontece que o m´etodo de Gauss-Seidel n˜ao converge. Mostramos que ´e poss´ıvel escolher um parˆametro de sub-relaxa¸c˜ao para o qual o m´etodo SOR ´e convergente e de convergˆencia mais r´apida do que o m´etodo de Jacobi.
Exemplo 3.15. Considere o sistema linear A x = b,
1 0 1 −1 1 0 1 2 −3 x1 x2 x3 = 2 0 0 ,
de solu¸c˜ao x = (1, 1, 1). Mostremos que:
(a) O m´etodo de Jacobi converge e que a convergˆencia ´e lenta. (b) O m´etodo de Gauss-Seidel n˜ao ´e convergente.
(c) Escolhido um parˆametro de sub-relaxa¸c˜ao o m´etodo SOR ´e convergente, mas n˜ao ´e convergente se usarmos sobre-relaxa¸c˜ao. Escolhido o parˆametro de sub- -relaxa¸c˜ao ´optimo, ωopt = 2/3, o m´etodo converge mais rapidamente do que o
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Figura 3.3: Partindo de x(0) = (0, 0, 0), efectuaram-se 150 itera¸c˜oes. O m´etodo
de Jacobi converge muito lentamente (ver Exemplo 3.15).
(a) A matriz de itera¸c˜ao para o m´etodo de Jacobi ´e
CJ = 0 0 −1 1 0 0 1/3 2/3 0 .
Dado que ||CJ||∞= 1, sabemos que ρ(CJ) ≤ ||CJ||∞ ≤ 1.
Vejamos que a matriz de itera¸c˜ao n˜ao pode possuir nenhum valor pr´oprio de m´odulo unit´ario e, consequentemente, o seu raio espectral ´e necessariamente infe- rior `a unidade. A equa¸c˜ao caracter´ıstica da matriz de itera¸c˜ao, det(CJ− λ I) = 0,
´ e
λ3+ 1
3(2 + λ) = 0. (3.152) Sabemos que nenhum valor pr´oprio da matriz de itera¸c˜ao possui m´odulo superior a 1. Suponhamos que existe λ ∈ C, tal que |λ| = 1. Iremos concluir que esta hip´otese n˜ao se verifica, pelo que necessariamente todos os valores pr´oprios possuem m´odulo inferior `a unidade.
De (3.152), resulta
|λ3| = 1
3|2 + λ|, donde 3 = |2 + λ|.
Ora, as condi¸c˜oes |λ| = 1 e |λ + 2| = 3 s˜ao ambas satisfeitas apenas quando λ ´e real e λ = 1. Mas, λ = 1 n˜ao ´e raiz da equa¸c˜ao (3.152). Conclui-se, portanto, que ρ(CJ) < 1, pelo que o m´etodo ´e convergente.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 È1-wÈ È1-2 wÈ
Figura 3.4: O m´etodo SOR n˜ao converge se ω ≥ 1.
Pode verificar-se que o espectro aproximado de CJ ´e constituido por um n´umero
real e dois n´umeros complexos conjugados, isto ´e,
{−0.747415, 0.373708 + 0.867355 × i, 0.373708 − 0.867355 × i}.
Assim, ρ(CJ) ' 0.944438, o que indicia ser o m´etodo de convergˆencia muito lenta.
Partindo do ponto x(0) = (0, 0, 0), mostra-se graficamente na Figura3.3a evolu¸c˜ao do processo, ap´os 150 itera¸c˜oes. As iteradas consecutivas s˜ao v´ertices da linha po- ligonal que aparece na figura. O gr´afico sugere que o m´etodo de Jacobi converge para x = (1, 1, 1), embora a convergˆencia seja de facto muito lenta.
(b) Para o sistema dado, as f´ormulas computacionais do m´etodo de Gauss-Seidel obtˆem-se muito facilmente:
x(k+1)1 = 2 − x(k)3 x(k+1)2 = x(k+1)1 = 2 − x(k)3 , k = 0, 1, . . . x(k+1)3 = x (k+1) 1 + 2 x (k+1) 2 3 = 2 − x (k) 3 . (3.153)
Das f´ormulas anteriores resulta imediatamente a respectiva matriz de itera¸c˜ao,
CGS = 0 0 −1 0 0 −1 0 0 −1 .
Uma vez que a matriz anterior ´e triangular, o seu espectro obt´em-se facilmente:
Por conseguinte, o m´etodo n˜ao converge. Com efeito, partindo de x(0) = (a, b, c) ∈ R3, obt´em-se x(1) = (2 − c, 2 − c, 2 − c) x(2) = (c, c, c) x(3) = (2 − c, 2 − c, 2 − c) .. .
Exceptuando o caso c = 1, para o qual a sucess˜ao de iteradas coincide com a solu¸c˜ao x = (1, 1, 1) do sistema, o m´etodo origina uma sucess˜ao de vectores peri´odica, de per´ıodo 2.
O comportamento observado n˜ao ´e de estranhar, porquanto qualquer vector da forma v = (c, c, c) ´e vector pr´oprio da matriz CGS associado ao valor pr´oprio
λ = −1 (visto que CGSv = −v). Consequentemente, ao partirmos de um vector
de componentes iguais, como o vector v, a sucess˜ao de iteradas ´e necessariamente peri´odica, obtendo-se: −v, v, −v, . . ..
´
E interessante relembrar aqui um comportamento an´alogo que pode ser observado no caso de fun¸c˜oes iteradoras reais, geradoras de um processo iterativo a partir da equa¸c˜ao de ponto fixo x = g(x), para as quais um ponto z ´e ponto fixo neutro satisfazendo a condi¸c˜ao g0(z) = −1 (ver sec¸c˜ao2.1.3, p´ag. 40).
(c) Uma vez que no m´etodo SOR se tem xnovo = x + ω (CGSx + gGS − x), a
matriz de itera¸c˜ao do m´etodo ´e da forma
Cω = (1 − ω) I + ω CGS.
Atendendo a (3.153), obt´em-se
Cω = 1 − ω 0 0 0 1 − ω 0 0 0 1 − ω + 0 0 −ω 0 0 −ω 0 0 −ω = 1 − ω 0 1 − ω 0 1 − ω −ω 0 0 1 − 2 ω . Assim, Sp(Cω) = {1 − ω, 1 − 2 ω} e ρ(Cω) = max(|1 − ω|, |1 − 2 ω|).
Na Figura 3.4 mostra-se os gr´aficos de |1 − ω| e |1 − 2 ω|, no intervalo (0, 2). Uma vez que para ω ≥ 1 se tem ρ(Cω) ≥ 1, concluimos imediatamente que
se escolhermos um valor de sobre-relaxa¸c˜ao o m´etodo SOR n˜ao converge. A convergˆencia verifica-se se e s´o se 0 < ω < 1, ou seja, escolhendo um valor de sub-relaxa¸c˜ao para o parˆametro ω.
A mesma figura sugere que existe um valor de ω ´optimo, ωopt, o qual se obt´em
minimizando o raio espectral da matriz. Ou seja, ωopt satisfaz a equa¸c˜ao
0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 0. 0. 0. 1.33333 1.33333 1.33333 0.888889 0.888889 0.888889 1.03704 1.03704 1.03704 0.987654 0.987654 0.987654 1.00412 1.00412 1.00412
Figura 3.5: Cinco itera¸c˜oes do m´etodo SOR com parˆametro ´optimo ωopt = 2/3.
O ponto negro de maior dimens˜ao representa a solu¸c˜ao do sistema.
isto ´e,
ωopt= 2/3 =⇒ ρ(Cωopt) = 1/3.
Comparando com a al´ınea (a), conclui-se que o m´etodo SOR, para ω = 2/3 converge mais rapidamente do que o m´etodo de Jacobi, pois ρ(Cωopt) < ρ(CJ).
Relembre-se de que o m´etodo de Gauss-Seidel nem sequer ´e convergente.
Na Figura 3.5 mostram-se as primeiras cinco iteradas do m´etodo e os respec- tivos valores calculados, partindo de x(0) = (0, 0, 0). Note-se que o modelo de
colinearidade adoptado (ver Figura 3.2, p´ag. 149) encontra aqui uma ilustra¸c˜ao.