Quando um sistema ´e representado no espac¸o de estados, podem existir vari ´aveis de estados que n ˜ao s ˜ao detectadas na sa´ıda. Da mesma forma, pode n ˜ao ser poss´ıvel alterar ou controlar determinadas vari ´aveis de estados do sistema. Sistemas com essas caracter´ısticas, quando analisados atrav ´es de sua func¸ ˜ao de transfer ˆencia, apresentam cancelamentos de p ´olos com zeros (OGATA, 2010).
Na an ´alise por espac¸o de estados, ´e necess ´ario que sejam feitos alguns testes nas matrizes que modelam o sistema. Ser ˜ao apresentados nesta sec¸ ˜ao testes para verificar a controlabilidade e observabilidade de um sistema, dois conceitos que assumem pap ´eis fundamentais na teoria de controle por espac¸o de estados.
Cabe ainda ressaltar que a controlabilidade e a observabilidade possibilitam a exist ˆencia de soluc¸ ˜oes fechada para os problemas de sistemas de controle (OGATA, 2010).
2.3.1 Controlabilidade
Para a soluc¸ ˜ao do problema de controle, torna-se de suma import ˆancia conhecer se ´e poss´ıvel conduzir o sistema de um estado inicial a outro dentro de um tempo finito. Assim surge o conceito de controlabilidade que foi inicialmente introduzido por Rudolf Kalman na d ´ecada de 1960.
Pode-se dizer que o sistema ´e completamente control ´avel se os estados do sistema puderem ser transferidos do estado x(t0) = x0 em qualquer tempo
inicial t0para qualquer estado x(t1) = x1 durante um intervalo de tempo finito
t1− t0(OGATA, 2010).
Tal definic¸ ˜ao pode ser tamb ´em encarada pela seguinte an ´alise. Para transferir de um estado a outro o sistema em estudo, deve existir uma ac¸ ˜ao de controle u(t) cont´ınua no intervalo t0≤ t ≤ t1 que possa realizar tal mudanc¸a de estado. Note que o estado
inicial n ˜ao precisa ser o estado x(t0) = 0, mas sim qualquer ponto de partida x(t0) = x0
do espac¸o de estados.
Um sistema linear e variante no tempo no dom´ınio cont´ınuo representado por (9), ser ´a control ´avel se e somente se a matriz:
W(t0,t) =
Z t
t0
for n ˜ao-singular (KWAKERNAAK; SIVAN, 1972). Em (25), Φ(t, τ) ´e a matriz de transic¸ ˜ao do sistema, dependente de A, e W (t0,t) ´e conhecido como Gramiano de
Controlabilidade.
Para o caso onde o sistema ´e invariante no tempo, ou seja A(t) = A e B(t) = B. A matriz de controlabilidade ´e apresentada em (OGATA, 2010, p. 675) como sendo:
C (A,B) = [B | AB | ··· | An−1B]. (26)
Neste contexto para que o sistema seja completamente control ´avel ´e necess ´ario que o posto da matriz de controlabilidade seja n.
Um exemplo que ilustra o conceito de controlabilidade, ´e imaginar um brac¸o rob ´otico. Este s ´o poder ´a ser comandado de uma posic¸ ˜ao inicial (x0, y0, z0) para outra
posic¸ ˜ao (x, y, z) no espac¸o cartesiano, se possuir graus de liberdade suficientes para que uma ac¸ ˜ao de controle u(t) em um tempo finito, altere os ˆangulos das suas juntas de tal forma a obter a posic¸ ˜ao desejada. O n ´umero de graus de liberdade do rob ˆo, portanto, afeta diretamente a sua controlabilidade.
2.3.2 Observabilidade
Define-se observabilidade como sendo:
O sistema ´e dito completamente observ ´avel se todos os estados x(t0)
puderem ser determinados a partir da observac¸ ˜ao da sa´ıda dentro de um intervalo de tempo t0≤ t ≤ t1(OGATA, 2010).
O conceito de observabilidade ´e de extrema import ˆancia para o projeto de observadores de estados. Assim a observabilidade adquire grande import ˆancia quando n ˜ao temos condic¸ ˜oes de acessar diretamente todos os estados do sistema.
A seguir, apresenta-se a matriz de observabilidade para o caso em que o sistema ´e invariante no tempo. A deduc¸ ˜ao completa da matriz de observabilidade pode ser encontrada em (OGATA, 2010, p. 682):
O(A,C) = C CA · · · CAn−1 . (27)
Neste contexto para que o sistema seja completamente observ ´avel ´e necess ´ario que o posto da matriz de observabilidade seja n.
2.3.3 Convexidade
Somente os conceitos de controlabilidade e observabilidade n ˜ao s ˜ao suficientes para avanc¸ar no estudo do controle ´otimo. Na base fundamental dos problemas de controle ´otimo, procura-se otimizar um funcional de custo. E neste´ sentido que estamos intimamente preocupados em saber se tal funcional ´e convexo. Caso o funcional n ˜ao seja convexo, n ˜ao ser ´a poss´ıvel atrav ´es de m ´etodos envolvendo gradiente (derivadas) encontrar um ponto de m´ınimo global. Ainda, a busca pelo ´otimo pode ser feita atrav ´es de intelig ˆencia artificial, envolvendo redes neurais e algoritmos gen ´eticos, por ´em tais m ´etodos n ˜ao garantem o m´ınimo global.
Para ilustrar a import ˆancia da convexidade, considere o seguinte exemplo onde a func¸ ˜ao de custo ´e dada pela express ˜ao:
P(t) = 3t4− 8t3− 6t2+ 13t + 19
Suponha que o objetivo ´e encontrar o valor m´ınimo que essa express ˜ao assume, para este caso, equivale encontrar o ponto em que ˙P(t) = 0 e a derivada segunda ´e positiva. A Figura 6 mostra o ponto para qual o exemplo atende as condic¸ ˜oes de ponto m´ınimo. Verificou-se que em t = −0.8 a func¸ ˜ao P(t) assumiu o valor P(−0.8) = 10.
Figura 6: Ponto M´ınimo da Func¸ ˜ao Fonte: Autoria Pr ´opria
Para este caso encontra-se um m´ınimo em t = −0.8 ao qual atende a condic¸ ˜ao de derivada primeira nula e derivada segunda positiva, por ´em pode-se fazer as
seguintes perguntas. Existem outros m´ınimos para essa func¸ ˜ao? Qual ´e a garantia que o m´ınimo em t = −0.8 ´e o m´ınimo global?
Analisando-se a func¸ ˜ao P(t) novamente, para um intervalo maior de tempo. Tem-se a curva conforme apresentado na Figura 7.
Figura 7: M´ınimo Global da Func¸ ˜ao Fonte: Autoria Pr ´opria
Pode-se verificar que no ponto t = 2.21 a func¸ ˜ao P(t) assume o valor de P(2.21) = 3.61, atendendo tamb ´em as condic¸ ˜oes de derivada primeira e segunda para um m´ınimo. Note que o valor que a func¸ ˜ao P(t) assume para o ponto t = 2.21 ´e menor que o valor encontrado para t = −0.8. Logo percebe-se que o m´ınimo global de P(t) est ´a no ponto P(2.21) = 3.61.
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E importante salientar dois aspectos. ´E f ´acil assumir um m´ınimo local como global quando n ˜ao se basea em uma teoria mais geral. O exemplo da Figura 7 mostra como se pode ser induzido ao erro dadas poucas informac¸ ˜oes sobre o comportamento da func¸ ˜ao. Outro aspecto importante, em muitos casos, a visualizac¸ ˜ao da func¸ ˜ao n ˜ao ´e poss´ıvel, pois em sistemas de controle modelados no espac¸o de estados, as func¸ ˜oes que representam o sistema est ˜ao definidas no espac¸o Rn, no qual n ´e a ordem do
sistema. Matematicamente, ´e poss´ıvel definir convexidade da seguinte maneira:
Definic¸ ˜ao 1 Uma func¸ ˜ao P : R → R ´e convexa, se
P(αt1+ β t2) ≤ αP(t1) + β P(t2)para todo t1,t2∈ R, 0 ≤ α ≤ 1 e α + β = 1.
Atrav ´es do estudo da convexidade da func¸ ˜ao, ´e poss´ıvel garantir se o ponto de m´ınimo encontrado pelo m ´etodo do gradiente ´e de fato global. Por este motivo o estudo da convexidade se torna importante para a teoria de controle ´otimo, j ´a que
pode garantir a exist ˆencia de uma pol´ıtica ´otima de controle.
A Figura 8 mostra a representac¸ ˜ao 3D de uma func¸ ˜ao convexa. Neste exemplo foi colocado como func¸ ˜ao convexa o paraboloide, devido `a sua f ´acil caracterizac¸ ˜ao como uma func¸ ˜ao convexa no espac¸o R3.
Figura 8: Func¸ ˜ao Convexa 3D Fonte: Autoria Pr ´opria