Conhecimentos comuns
Existe to do um gênero de quebra-cabeças baseados nas propriedades contraintuitivas dos “conhecimentos comuns” – coisas tornadas públicas, que todos sabem, e além disso todos sabem que todos sabem, e também sabem que todos sabem que todos sabem… Um caso
tradicional diz respeito aos curiosos hábitos da ordem dos monges glaberinos, a que são
bastante desconhecidos, porém muito educados.
Quando digo “hábitos” não estou falando da r oupa, evidentemente.
Os irmãos Agostinho, Benedito e Cirilo estão dormindo em sua cela quando o noviço Jocoso entra escondido e pinta uma mancha azul na cabeça raspada de cada um deles. Ao acordarem, cada monge vê a mancha na cabeça dos outros. Acontece que as regras do mosteiro são claras: para os monges, é indelicado dizer qualquer coisa que envergonhe outro
membro da ordem, mas também é indelicado revelar qualquer coisa embaraçosa sobre si
mesmo. A indelicadeza não é permitida em hipótese alguma. Por isso os monges não dizem nada, e seu comportamento não dá qualquer indicação do que possam t er visto.
Cada monge se pergunta vagamente se também estará com a mancha, mas não tem coragem de perguntar, e não há espelhos na alcova nem qualquer espécie de superfície de reflexão. Por isso as coisas ficam assim até que o abade entra, franze o rosto e lhes informa
(evitando assim o constrangimento direto) que “pelo menos um de vocês tem uma mancha
azul na cabeça”.
Claro, os três monges sabem disso. Então, essa informação faz alguma diferença para eles?
Se você nunca viu esse quebra-cabeça antes, é bom começar com uma versão mais simples, com apenas dois monges, Agostinho e Benedito. Ambos veem a mancha na cabeça do outro, mas não fazem ideia do que poderá haver em sua própria cabeça. Depois da
declaração pública do abade, Agostinho começa a pensar: “ Eu sei que Benedito tem uma
mancha, mas ele não sabe, pois não consegue ver o topo da próp r ia cabeça. Santo Deus, será
que eu tenho uma mancha? Hmmm… suponhamos que eu não tenha uma mancha. Então
Benedito verá que eu não tenho, portanto logo deduzirá, com base no comentário do abade,
queele deve ter uma mancha. Mas ele não mostrou sinal algum de constrangimento. Minha
nossa, então eu devo ter uma mancha.” Benedito chega a conclusão semelhante.
Sem o comentário do abade essas deduções não funcionam, embora o abade não lhes diga nada – aparentemente – que eles já não saibam. Exceto uma coisa… cada monge sabia que ao
menos um monge (o outro) tinha uma mancha, mas não sabiam que o outro sabia que ao
menos um monge tinha uma mancha.
Entendeu? Muito bem – e o que acontece com três monges? Mais uma vez, todos eles conseguem deduzir que estão manchados, mas somente depois da declaração do abade (veja
respostas). O mesmo vale se houver quatro, cinco ou mais monges, se todos tiverem manchas na cabeça. De fato, suponha que há 100 monges. Todos estão manchados, todos ignoram esse fato e todos são lógicos i ncrivelmente rápidos. Para evitar questões temporais, suponha que o abade tenha uma campainha.
– A cada dez segundos – diz ele –, vou tocar essa campainha. Isso lhes dará tempo para realizar a l ógica necessária. Logo depois do toque, todos os monges que consegu irem deduzir logicamente que têm uma m ancha na cabeça devem levantar a mão.
Ele espera dez minutos, tocando a campainha de tempos em tempos, mas nada acontece. – Ah, sim, esqueci – afirma. – Tenho mais uma informação a dar. Pelo menos um de vocês tem uma mancha.
Agora nada acontece por 99 toques, e então todos os 100 monges levantam as mãos ao mesmo tem po, no 100º toque.
Por quê? O monge número 100 vê que todos os outros 99 têm m anchas. “Se eu não estiver manchado”, pensa ele, “então todos os outros 99 sabem disso. Isso me retira do cálculo. Portanto eles estarão fazendo qualquer série de deduções necessárias para 99 monges, pois eu não estou manchado. Se a minha lógica para 99 monges estiver correta, todos eles deverão levantar as mãos depois de 99 toques. Ele espera até o toque 99, e nada acontece. “Ah, então meu pressuposto está errado, e eu devo ter uma mancha.” No toque número 100, o monge levanta a mão. Os outros 99 fazem o mesmo.
Ah, sim… Mas talvez o monge número 100 estivesse errado quanto à lógica para os 99 monges. Então tudo se desfaz. Entretanto, a lógica para 99 monges (com o pressuposto hipotético de que o monge 100 não está manchado) é a mesma. Agora o monge número 99
espera que os outros 98 levantem as mãos no 98º toque, a menos que o monge 99 esteja
manchado. E assim por diante, até chegarmos a um único monge hipotético. Ele não vê manchas em parte alguma, fica surpreso ao descobrir que alguém tem uma mancha, deduz
imediatamente que deve ser ele (você não precisaria ser um especialista em lógica para isso)
e levanta a mão depois do primeiro t oque.
Como a lógica para um monge está correta, a lógica para dois monges também está, e o mesmo para três monges… Até chegarmos à lógica para 100 monges. Assim, esse quebra- cabeça é um exemplo marcante do princípio da indução matemática. Ele diz que se alguma propriedade dos números inteiros for válida para o número 1, e sua validade para qualquer
número dado implicar sua validade para o número seguinte, não importando que números
sejam esses, então a propriedade deverá ser válida para todos os números.
Essa era a história habit ual, mas a questão não fica por aí. Até agora presumi que todos os monges tivessem manchas. No entanto, raciocínio muito semelhante mostra que essa condição não é essencial. Suponha, por exemplo, que 76 de um total de 100 monges tenham manchas. Então, se todos forem lógicos, nada acontece até logo antes do 76º toque, quando todos os monges com manchas levantam as m ãos ao mesmo tempo, mas nenhum dos outros o faz.
À primeira vista é difícil entender como eles poderiam resol ver o problema. O truque está na sincronização de suas deduções pela campainha e na aplicação do conhecimento comum. Comece tentando com dois ou três monges, com diferentes números de manchas, ou então