Experimentos com a PSO baseada em
6.2 EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS
6.2.1 CONJUNTO DE EXPERIMENTOS
Para investigar a escalabilidade da variante SBPSO nesse conjunto de experimentos, quatro funções de referência são usa- das: Esfera (
f
1), Rosenbrock (f
2), Griewank (f
3) e Rastrigin (f
4). Para cada uma delas, define-se nove configurações que consistem em variar o tamanho do enxame, a dimensionalidade do problema e o número máximo de iterações.O tamanho do enxame é definido com 20, 40 e 80 partículas. Já a dimensionalidade do problema é definida em 10, 20 e 30 di-
mensões. Por último, a variação do número máximo de avaliações da função objetivo é definida em 1.000, 1.500 e 2.000 iterações. Após os experimentos, a média do valor de fitness e o desvio-pa- drão obtidos são registrados.
As Figuras 24-27 representam os processos de convergên- cia médios da PSO, PSO-Scout e SBPSO, medidos em um enxame com 20 partículas, em 30 dimensões, durante 2.000 iterações, após 100 execuções independentes. Em todas as simulações, ficou evi- dente a superioridade da velocidade de convergência da SBPSO em relação à PSO e à PSO-Scout. As otimizações foram realizadas nos espaços de busca das funções
f
1 ,f
2 ,f
3 ef
4 . Os valores obtidos ao fim desses experimentos estão apresentados nas Tabelas 3-6.Na Figura 24, função Esfera, observa-se que a velocidade de convergência da SBPSO é bastante superior à PSO e à varian- te PSO-Scout. Embora a solução ótima não tenha sido encontra- da pela SBPSO durante as 2.000 iterações, ela atingiu um valor médio de fitness bastante significativo: 2.9522E-156. Na função Rosenbrock, nenhuma das três variantes atingiu o ponto ótimo, conforme a Figura 25. Como pode ser observado, a velocidade de convergência da PSO e da PSO-Scout são aproximadas, porém com uma sutil superioridade da segunda. Mais uma vez, a veloci- dade de convergência da SBPSO superou as outras duas.
Na Figura 26, função Griewank, SBPSO encontrou a solução ótima próximo da iteração 1.380. A PSO e a PSO-Scout convergi- ram perto da iteração 1.700, porém a solução ótima não foi loca- lizada. Por fim, na Figura 27, função Rastrigin, SBPSO encontrou a solução ótima por volta da iteração 1.300. Já a PSO estagnou pró- ximo da iteração 1.500, ao passo que o movimento da PSO-Scout continuou ativo da iteração 2.000.
mensionalidade da função, o número de iterações, a média do valor de fitness e o desvio-padrão para essas funções. A coluna
p-value apresenta os valores obtidos pelo teste de Wilcoxon quan-
do a SBPSO é comparada com a PSO-Scout que, naturalmente, apresenta resultados melhores que a PSO. O teste é usado para verificar se os resultados produzidos pela SBPSO são, estatistica- mente, significativos quando comparados com os da PSO-Scout.
Ainda em relação às Tabelas 3 - 6, é possível observar que – em todos os experimentos realizados no espaço de busca das funções Esfera, Rosenbrock, Griewank e Rastrigin – a coluna
p-value apresenta um valor inferior ao nível de significância defini-
do (0,05) e, nesses casos, a hipótese
H
0 foi rejeitada. Isso garante que, quando comparadas SBPSO x PSO-Scout, não houve igualda- de entre as soluções encontradas. Portanto, estatisticamente, os resultados da SBPSO superaram os da PSO-Scout.Os resultados obtidos pela SBPSO também são confronta- dos com as variantes QPSO (SUN, FENG; XU, 2004), WQPSO (XI, SUN; XU, 2008), HPSOWM (LING et al., 2008) e HPSOM (ESMIN; MATWIN, 2013). Além disso, a comparação considera as funções
f
1 ,f
2 ,f
3 ef
4 , durante 100 execuções dos algoritmos.Para comparar os resultados, variam-se as dimensões (10, 20 e 30) e o número máximo de iterações (1.000, 1.500 e 2.000). Apenas o tamanho da população é fixado em 20 partículas. Após esse conjunto de experimentos, a média dos valores de fitness e o desvio-padrão obtidos são registrados na Tabela 7. Os resultados numéricos mostram que a SBPSO também superou quatro varian- tes da PSO. Nas funções unimodais Esfera e Rosenbrock, o algorit- mo obteve boas soluções com alta precisão. Ela também mostrou um bom desempenho nas funções multimodais Griewank e Rastri- gin, ao atingir as soluções ótimas.
Figura 24 – Convergência média na função Esfera, com 20 partículas,
em 30D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 25 – Convergência média na função Rosenbrock, com 20 partícu-
las, em 30D.
Figura 26 – Convergência média na função Griewank, com 20 partículas,
em 30D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 27 – Convergência média na função Rastrigin, com 20 partículas,
em 30D.
Tabela 3 – Comparação entre a PSO, PSO-Scout e SBPSO (melhores
valores em negrito).
Fun Part. Dim Iter PSO PSO-Scout SBPSO p-value
Esf
er
a
20
10 1000 (3.1403E-020)1.2368E-020 (5.5127E-022)1.0056E-022 (1.2772E-080)1.3900E-081 1.57E-30
20 1500 (1.8370E-010)2.9396E-011 (1.9818E-017)3.4132E-018 (2.6196E-123)3.1139E-124 1.57E-30
30 2000 (1.3386E-007)4.6804E-008 (5.0275E-020)5.0619E-021 (2.9520E-155)2.9522E-156 1.57E-30
40
10 1000 (1.3369E-023)2.2365E-024 (1.0608E-026)1.3691E-027 (3.1719E-083)3.1786E-084 1.57E-30
20 1500 (2.5881E-014)8.1334E-015 (2.9840E-027)2.9916E-028 (1.9630E-118)2.2798E-119 1.57E-30
30 2000 (1.3452E-010)8.0544E-011 (2.4924E-033)5.4840E-034 (2.3349E-128)5.5811E-129 1.57E-30
80
10 1000 (4.8125E-028)1.5394E-028 (1.0748E-029)1.5496E-030 (9.7469E-080)9.7470E-081 1.57E-30
20 1500 (1.4221E-017)5.1700E-018 (1.9487E-025)2.3584E-026 (5.6513E-119)5.6513E-120 1.57E-30
Tabela 4 – Comparação entre a PSO, PSO-Scout e SBPSO (melhores
valores em negrito).
Fun Part. Dim Iter PSO PSO-Scout SBPSO p-value
Rosenbr
ock
20
10 1000 (133.7896)58.3417 (103.9401)40.6746 (5.7832E-07)9.5785E-08 1.67E-17
20 1500 (162.9876)104.9516 (186.9198)99.4901 (8.6492E-06)2.9085E-07 1.06E-07
30 2000 (239.0893)151.5238 (151.4036)104.9869 (7.6421E-04)2.0347E-05 5.83E-15
40
10 1000 (114.8610)30.80349 (38.1135)15.6310 (8.8402E-07)3.7120E-08 5.83E-15
20 1500 (141.4203)81.5949 (60.5719)48.1244 (6.0376E-06)6.8410E-07 9.59E-14
30 2000 (204.0919)132.6704 (13.9928)112.7430 (1.9304E-04)3.7810E-05 3.27E-17
80
10 1000 (43.8337)20.5744 (34.8846)13.9724 (4.3964E-07)4.8522E-08 4.43E-16
20 1500 (105.0775)65.7612 (92.4566)52.7690 (3.0942E-06)6.9654E-07 1.63E-15
Tabela 5 – Comparação entre a PSO, PSO-Scout e SBPSO (melhores
valores em negrito).
Fun Part. Dim Iter PSO PSO-Scout SBPSO p-value
Griewank
20
10 1000 (0.0516)0.1012 (0.0456)0.0216 (0)0 1.57E-30
20 1500 (0.0336)0.0334 (5.1756E-03)4.2475E-04 (0)0 1.57E-30
30 2000 (0.0171)0.0146 (1.4592E-03)2.4458E-04 (0)0 1.57E-30
40
10 1000 (0.0438)0.0845 (0.0396)0.0192 (0)0 1.57E-30
20 1500 (0.0291)0.0276 (3.7688E-03)7.9024E-04 (0)0 6.31E-30
30 2000 (0.1690)0.0592 (1.2263E-03)1.7253E-04 (0)0 1.57E-30
80
10 1000 (0.0396)0.0772 (0.0339)0.0188 (0)0 1.57E-30
20 1500 (0.0325)0.0357 (1.4178E-03)3.7898E-04 (0)0 4.03E-28
Tabela 6 – Comparação entre a PSO, PSO-Scout e SBPSO (melhores
valores em negrito).
Fun Part. Dim Iter PSO PSO-Scout SBPSO p-value
Rastrigin 20 10 1000 (2.1132)4.5782 (0.6391)0.9514 (0)0 3.63E-06 20 1500 (10.0912)22.8061 (0.3913)0.0475 (0)0 3.38E-21 30 2000 (13.7956)49.7192 (0.1905)0.0253 (0)0 2.58E-23 40 10 1000 (1.5118) 3.9224 (0.4404)0.2854 (0)0 6.10E-06
20 1500 16.1082 (1.5722) (8.7266E-038.7266E-04 (0)0 9.53E-07
30 2000 38.6344 (2.2039) (9.5142E-03)(8.7266E-03 (0)0 2.22E-16
80
10 1000 (0.4780)2.2854 (0.3123)0.1141 (0)0 3.12E-06
20 1500 12.3630 (2.2804) (6.6714E-033.5527E-04 (0)0 1.42E-06
Tabela 7 – Comparação entre diferentes variantes da PSO com 20 partí-
culas em 10D (1.000 iterações), 20D (1.500 iterações) e 30D (2.000 itera- ções). Os melhores valores estão em negrito.
Fun D HPSOWM WQPSO QPSO HPSOM SBPSO
Esf
er
a
10 (1.5060E-55)6.2868E-56 (1.7300E-58)2.2922E-56 (1.4049E-043)1.3909E-41 (1.7300E-58)2.2400E-56 (1.2772E-80)1.3900E-81
20 (2.0330E-44)6.2830E-45 (2.8717E042)2.9451E-40 (3.5452E-24)3.5103E-022 (1.6891E-43)2.1449E-49 (2.6196E-123)3.1139E-124
30 (1.4060E-35)3.7940E-36 (3.8435E-35)3.9664E-33 (5.3623E-16)5.3183E-014 6.5764E-034 (5.6809E-36) (2.9520E-155)2.9522E-156
Rosenbr ock 10 36.4736 (0.1844) (0.2843)35.8436 51.9761 (0.4737) (0.2730)6.9688 (5.7832E-07)9.5785E-08 20 65.6678 (0.5870) (0.4860)62.7696 136.8782 (0.6417) (0.2210)17.3033 (8.6492E-06)2.9085E-07 30 70.7275 (0.4813) (0.4283)70.9525 157.4707 (0.8287) (0.2939)27.5645 (7.6421E-04)2.0347E-05 Griewank
10 (0.33993)0.13333 (5.5093E-04)5.6353E-04 5.5093E-04 (0.0657) 4.32057E-11 (3.1216E-11) (0)0
20 (2.7439)2.9333 (1.0402E-04)2.1318E-04 1.0402E-04 (0.0211) (3.13852E-11)4.00370E-11 (0)0
30 (6.1455)9.2333 (1.2425E-04)2.1286E-04 1.2425E-04 (0.0110) (3.0143E-11)5.1756E-11 (0)0
Rastrigin
10 (2.5364)4.610 (0.0094)4.0567 (0.0015)4.8274 (3.2202E-11)4.1558E-11 (0)0
20 19.6670 (6.7661) (0.0287)12.1102 16.0519 (0.0414) (3.2402E-11)4.1403E-11 (0)0
6.2.2 CONJUNTO DE EXPERIMENTOS 2
Nesse segundo conjunto de experimentos, foram avaliadas outras doze funções de referência. Assim como as do conjunto anterior, essas doze também possuem características distintas em relação à continuidade, à diferenciabilidade, à separabilidade, à escalabilidade e à modalidade. As funções avaliadas são: Ackley (
f
5), Noisy Quartic (f
6), Zakharov (f
7), Hiper Elipsoide Rotacionada (f
8), Alpine (f
9), Weierstrass (f
10), Salomon (f
11), Csendes (f
12), Xin- -She Yang 01 (f
13), Soma dos Quadrados (f
14), Schumer Steiglitz (f
15) e Powell Sum (f
16).Os experimentos também investigaram a escalabilidade da SBPSO durante o processo de otimização, porém em alta dimen- sionalidade e com número maior de avaliações da função objetivo, quando comparados ao conjunto de experimentos anterior.
No Conjunto de Experimentos 1, foram variados o tamanho da população (20, 40 e 80), a dimensão das funções (10, 20 e 30) e o número máximo de iterações (1.000, 1.500 e 2.000). Porém, nesse conjunto de experimentos, para cada uma das doze funções de referência, o tamanho da população foi fixado em 50 partículas, a dimensão das funções em 300D e o número de avaliações da função objetivo em 50.000 vezes. A Tabela 8 mostra a média dos valores de fitness, o desvio-padrão e o p-value resultante do teste de Wilcoxon da comparação entre SBPSO e PSO-Scout.
Como consequência da alta dimensionalidade atribuída às funções avaliadas, o tempo necessário para realizar o Conjunto de Experimentos 2 é relativamente alto. Então, a fim de diminuir a duração dos experimentos, decidiu-se reduzir o número de execu- ções independentes dos algoritmos para 30, em vez de 100, como no conjunto anterior.
As Figuras 28 - 39 mostram o processo de convergência da PSO, PSO-Scout e SBPSO que foi medido, com 50 partículas, em 300 dimensões e com 50.000 iterações. O processo ocorre no espaço de busca das funções Ackley, Noisy Quartic, Zakharov, Hi- per Elipsoide Rotacionada, Alpine, Weierstrass, Salomon, Csendes, Xin-She Yang 01, Soma dos Quadrados, Schumer Steiglitz e Powell Sum.
Figura 28 – Convergência média na função Ackley, com 50 partículas,
em 300D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 29 – Convergência média na função Noisy Quartic, com 50 partí-
culas, em 300D.
Figura 30 – Convergência média na função Zakharov, com 50 partículas,
em 300D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 31 – Convergência média na função Hiper Elipsoide Rotacionada,
com 50 partículas, em 300D.
Figura 32 – Convergência média na função Alpine, com 50 partículas,
em 300D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 33 – Convergência média na função Weierstrass, com 50 partícu-
las, em 300D.
Figura 34 – Convergência média na função Salomon, com 50 partículas,
em 300D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 35 – Convergência média na função Csendes, com 50 partículas,
em 300D.
Figura 36 – Convergência média na função de Xin-She Yang 01, com 50
partículas, em 300D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 37 – Convergência média na função Soma dos Quadrados, com
50 partículas, em 300D.
Figura 38 – Convergência média na função de Schumer Steiglitz, com 50
partículas, em 300D.
Fonte: Autoria própria (2018).
Figura 39 – Convergência média na função Powell Sum, com 50 partícu-
las, em 300D.
Tabela 8 – Comparação entre a PSO, PSO-Scout e SBPSO para as fun-
ções
f
5 -f
16 , em 300 dimensões com 50 partículas. Os melhores valores estão em negrito.Função PSO PSO-Scout SBPSO p-value
f5 (0.0218)19.9408 (2.3123)2.4100 8.88E-16 (0) 1.86E-09
f6 (4.0936)1.7646 (0.3021)1.6635 (5.35E-06)6.58E-06 1.86E-09
f7 (4.55E03)2.17E04 (1.00E03)8.18E03 (0)0 1.86E-09
f8 (4.27E-03)2.35E-03 4.84E-02 (0.24) (0)0 1.86E-09
f9 (3.09E-03)1.13E-03 (0.0938)0.0176 (0)0 1.86E-09
f10 (6.18)46.63 (7.38)48.53 (0)0 1.86E-09
f11 (0.89)7.12 (0.82)7.02 (0)0 1.86E-09
f12 (1.45E-06)2.85E-06 (1.34E-06)2.70E-06 (0)0 1.86E-09
f13 (2.72E126)8.24E125 (4.64E126)8.97E125 (0)0 1.86E-09
f14 (1.93E-05)1.08E-05 (1.41E-04)3.34E-05 (0)0 1.86E-09
f15 (0.44)0.38 (1.66)0.76 (0)0 1.86E-09
Na Figura 28, função Ackley, observa-se que a SBPSO con- vergiu próximo da iteração 22.500, ao passo que a PSO, nas pri- meiras iterações, entra em processo de estagnação. Quanto à PSO-Scout, após 50.000 iterações, ela não convergiu, e a quali- dade das soluções encontradas foi bastante inferior à da SBPSO, embora melhor que a da PSO. Para a função Noisy Quartic, re- presentada pela Figura 29, o comportamento de convergência da PSO-Scout é muito parecido com o da PSO, apesar de a qualida- de da solução encontrada ter sido inferior à da segunda. Embora SBPSO tenha encontrado boas médias para o valor de fitness das funções Ackley (8.88E-16) e Noisy Quartic (6.58E-06), a solução ótima não foi encontrada.
Na Figura 30, função Zakharov, PSO e PSO-Scout convergi- ram perto da iteração 2.000, e os valores médios de fitness foram, respectivamente, 2.17E04 e 8.18E03. Novamente, o comporta- mento da PSO superou o da PSO-Scout. Já a SBPSO encontrou a solução ótima próximo à iteração 40.000. Para a função Hiper Elip- soide Rotacionada, representada pela Figura 31, SBPSO encontrou a solução ótima aproximadamente depois de 30.000 avaliações da função objetivo. A velocidade de convergência da PSO e da va- riante PSO-Scout são aproximadas, porém a primeira é superior.
A Figura 32 representa o comportamento médio da função Alpine. A média do valor de fitness encontrada pela PSO foi 1.13E- 03 e pela PSO-Scout 0.0176. Os algoritmos não encontraram a solução ótima, porém, na iteração 40.000, SBPSO localizou a so- lução global. Na Figura 33, função Weierstrass, a SBPSO encon- trou a solução ótima próximo da iteração 15.000. Enquanto isso, a PSO apresentou uma ligeira superioridade em relação à PSO-S- cout, convergindo próximo da iteração 40.000, mas sem encon- trar o ótimo global.
A Figura 34 ilustra o processo de convergência dos algorit- mos no espaço de busca da função Salomon. SBPSO localizou a solução global próximo da iteração 30.000. PSO-Scout superou PSO no que diz respeito à qualidade das soluções encontradas, apesar da estagnação de ambas nas primeiras iterações. Nova- mente, o comportamento de convergência da PSO e de sua va- riante foi parecido com a otimização da função Csendes, como visto na Figura 35. SBPSO encontrou a solução ótima perto da iteração 24.000.
Na Figura 36, função de Xin-She Yang 01, SBPSO encon- trou o ótimo global próximo da iteração 40.000. No entanto, ob- serva-se que houve um período de estagnação entre as iterações 15.000 e 30.000, aproximadamente. Nessa simulação, depois de o algoritmo ter detectado a estagnação do enxame, ele conseguiu fazê-lo movimentar-se novamente. A solução ótima foi encontra- da nas proximidades da iteração 40.000. Por outro lado, PSO e PSO-Scout apresentaram uma velocidade de convergência lenta, além de o ótimo global não ter sido localizado. Já o comporta- mento de convergência delas na otimização da função Soma dos Quadrados, como visto na Figura 37, novamente, é aproximado. Na maior parte do número de iterações, os algoritmos permane- ceram estagnados. Por outro lado, SBPSO atingiu o ponto ótimo ao redor da iteração 30.000.
Na Figura 38, função Schumer Steiglitz, SBPSO encontrou a solução ótima próximo da iteração 25.500. Já a PSO superou a PSO-Scout, apesar de o comportamento médio de convergência apresentado por elas ser bastante próximo. Por fim, na Figura 39, a velocidade de convergência da PSO e da PSO-Scout é parecida, mas a segunda é superior. SBPSO encontrou a solução global pró- ximo à iteração 22.000.
Em todas as simulações realizadas nesse conjunto de expe- rimentos, bem como no anterior, observou-se que o comportamen- to de convergência da SBPSO superou o da PSO e o da variante PSO-Scout. Os valores médios obtidos ao fim dos experimentos foram apresentados na Tabela 8. Além disso, os resultados do tes- te de Wilcoxon foram inferiores ao nível de significância predefini- do (0,05) e, consequentemente, a hipótese