Conjunto dos Representantes dos Polimin´os Uma Abordagem Combinatorial

ideal de Z[i] for um ideal primo, ent˜ao ser´a um ideal maximal, [76].

Classicamente, subconjuntos finitos Ap[i] ⊂ Z[i] com p elementos, onde p ≡ 1(mod4), foram usa-

dos como alfabetos de c´odigos, [57]. Esses subconjuntos Ap[i] correspondem aos quocientes Z[i]/I ,

onde I ´e um ideal primo de Z[i], e podem ser vistos como um corpo isomorfo a Fp, o corpo de Galois

de ordem p.

Se A _{= h(x,y)i com mdc(x,y) = 1, ent˜ao a imagem de A pelo isomorfismo}η ´e um ideal I de

Z_{[i], com m elementos. De fato, A = h(x,y)i implica que I = hzi, onde z = x + y · i. Ou seja, I}

é um ideal principal de ordem m. Se m_{= p é um primo ´ımpar tal que p ≡ 1(mod4), temos que I} é um ideal primo e, portanto, é maximal, ou seja, I é o maior ideal em Z[i] que contém o conjunto

de representantes dos poliminós. Além disso, o quociente Z[i]/I é um corpo, estrutura algébrica

bastante utilizada para definir c´odigos cl´assicos.

Em Z2_m, para encontrarmos os valores de x e y fazemos a forma quadr´atica x2+ y2 ser igual a

m. Analogamente, em Z[i], fazemos a norma N(z) = x2_{+ y}2 _{ser igual a m e encontramos os valores}

de x e y. Os representantes no reticulado correspondem `as coordenadas quando partimos da c´elula

(0, 0) e deslocamos x unidades horizontalmente e y unidades verticalmente nas c´elulas do reticulado.

Se algum valor de x e y for negativo, então o deslocamento é feito no sentido oposto. Note que, as operações em Z[i] são realizadas módulo m para restringirmos o reticulado a Zm× Zm.

5.3 Conjunto dos Representantes dos Polimin´os - Uma Aborda-

gem Combinatorial

Dado um reticulado m_{× m, do ponto de vista combinatorial, o problema de determinar o vetor} reticulado _{(x, y) ∈ Z}m× Zm que representa um polimin´o pode ser resolvido atrav´es de uma matriz

quadrada A=

a b c d

cujo determinante ´e m.

As linhas da matriz A definem o deslocamento nas células do reticulado para determinar os representantes dos poliminós da seguinte maneira: a unidades para a direita e b unidades para baixo; e c unidades para a direita e d unidades para baixo. Se algum desses valores for negativo, o deslocamento é feito no sentido oposto. Essa operação também pode ser vista como soma usual de vetores módulo

m, onde consideramos o conjunto de vetores gerado por(a, b) e por (c, d).

Assim, obtemos um conjunto de m vetores reticulados que correspondem aos representantes dos polimin´os, A . Se mudarmos os valores de a, b, c e d de forma que det(A) = m, o conjunto de

representantes dos poliminós permanece com m elementos, porém podem estar em posições diferentes no reticulado. Logo, cada conjunto de posições nos fornece uma tesselação por poliminós que podem

ser diferentes. Apesar do formato do poliminó não influenciar nos parâmetros do código quântico, a posição dos representantes influencia no próprio formato do poliminó e na distância do código. Além disso, a distância agora deve ser observada no reticulado. Em alguns casos será dada por d = min_{{|a| + |b|,|c| + |d|}, porém existem casos onde a distância efetiva é menor que este m´ınimo.}

Exemplo 5.4 Para m= 3, temos que A =

3 3 1 2

tem determinante 3. Note que d _{= min{|3| +} |3|,|1| + |2|} = 3, porém na Figura 5.5 pode-se verificar que d = 2. Neste caso, temos um código [[6, 2, 2]]. Obtemos o mesmo conjunto de representantes, portanto o mesmo código [[6, 2, 2]], se tomar- mos a matriz A=

1 ₋₁

2 1

, cujo determinante ´e 3. Neste caso, d_{= min{|1| + | − 1|,|2| + |1|} = 2.}

X X 0 1 0 2 X 1 2 Figura 5.5: C´odigo[[6, 2, 2]].

Existem alguns casos que recaem nos mesmos valores obtidos através da abordagem algébrica, a saber quando a_{, b, c e d são as soluções (±x,±y) ou (±y,±x) de x}2+ y2_{= m, assim A =}

x y

−y x

. Neste caso, a distância m´ınima do código é a distância de Mannheim. Podemos reproduzir da mesma forma os códigos de Kitaev, Bombin e Martin-Delgado, a classe [[d2_{, 2, d]] e as demais classes da}

subsec¸˜ao 5.2.4.

Exemplo 5.5 Para reproduzir o Exemplo 5.1 podemos considerar a matriz A=

2 1

−1 2

. Então, det(A) = 5 e os vetores reticulados que representam os poliminós são (0, 0), (2, 1),

(4, 2), (1, 3) e (3, 4).

Exemplo 5.6 Para reproduzir o Exemplo 5.2 podemos considerar a matriz A =

2 0 0 2

. Assim, det(A) = 4 e os vetores reticulados s˜ao (0, 0), (2, 0), (0, 2) e (2, 2).

Exemplo 5.7 O Exemplo 5.3 pode ser obtido da matriz A=

2 2

−2 2

. Logo, det(A) = 8 e os vetores reticulados que representam os polimin´os s˜ao(0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (6, 2), (2, 6), (0, 4), (4, 0).

Se considerarmos a e b da matriz A como sendo respectivamente os valores x e y obtidos através do método algébrico, com mdc_{(x, y) = 1, a partir da relação xd − yc = m podemos determinar todos os} poss´ıveis valores para c e d. Todas essas soluções, exceto as triviais, onde c ou d assumem os valores côngruos a 0_{(mod m), nos dão o mesmo conjunto de representantes, isto é, h(x,y)i = h(c,d)i.}

5.3. Conjunto dos Representantes dos Polimin´os - Uma Abordagem Combinatorial 99

Exemplo 5.8 Para m= 5, vimos no Exemplo 5.1 que uma solução para (x, y) é (2, 1). Então considere (a, b) = (2, 1). Assim, 2d − c = 5, e algumas poss´ıveis soluções para (c,d) são (−3,1),(−1,2),(1,3) ou (3, 4). A matriz A =

2 1

w z

com esses valores de c e d tem determinante 5. O conjunto de vetores reticulados gerados por_{(−3,1),(−1,2),(1,3) ou (3,4) é igual ao conjunto de vetores reticu-} lados gerados por(2, 1), lembrando que as somas são feitas módulo 5. Portanto, obtemos o código [[10, 2, 3]] do Exemplo 5.1.

Através do método combinatorial é poss´ıvel cobrir casos que não são poss´ıveis de ser reproduzidos algebricamente. Por exemplo, para m = p um primo ´ımpar tal que p = 4κ+ 3. Esses valores não

podem ser escritos como soma de quadrados, na verdade obedecem a outras formas quadráticas, ou melhor, pertencem a outros anéis de inteiros e por isso têm uma norma diferente da soma de quadrados. Por esse motivo não podem ser realizados em um reticulado quadrado, pois anéis de inteiros diferentes dos anéis de inteiros Gaussianos correspondem a reticulados diferentes, como por exemplo reticulados hexagonais no caso dos anéis de inteiros de Eisenstein - Jacobi. Entretanto, isso não impede de conseguirmos uma matriz do tipo A com determinante m e assim realizar o código.

Exemplo 5.9 Veja que m= 7 pode ser obtido da forma quadr´atica x2

1+ 3x22, ou ainda, um elementoς com norma N(ς) = 7 pertencente ao anel de inteiros de Eisenstein - Jacobi, Z[ω], cuja norma ´e dada por N(ς) = x2_+xy+y2_{, para}ς_{= x+y·}ω_{, onde}ω₌1+i√3

2 . Este é um caso onde não podemos aplicar o método algébrico. No entanto, a matriz A=

2 1

−1 3

que tem detA= 7 nos fornece os vetores reticulados(0, 0), (2, 1), (4, 2), (6, 3), (1, 4), (3, 5), (5, 6) que definirão uma tesselação por poliminós. Tais poliminós podem ser formados pela junção de um quadrado 1_{× 1 e um retângulo 2 × 3. Assim} obtemos um código[[14, 2, 3]], Figura 5.6.

0 1 2 0 1 6 2 3 4 5 3 4 5 6 X X X X X X X Figura 5.6: C´odigo[[14, 2, 3]].

Nos casos onde m= p ´e um primo ´ımpar do tipo p = 4κ+ 3, o conjunto dos representantes obtidos

código perfeito no sentido de [21], e a distância m´ınima do código decorrente desse processo coincide com a distância de Mannhein.

Na verdade, essa abordagem combinatorial é bastante ampla e pouco se pode fazer para tentar analisá-la por inteiro. São problemas combinatoriais apresentando dificuldades em decidir quais os poss´ıveis valores para a, b, c e d, qual a melhor distribuição dos representantes ou ainda quais os melhores poliminós a serem usados. As duas últimas respostas só podem ser dadas de acordo com o tipo de canal sendo considerado.

Cap´ıtulo

6

C´odigos TQC em Superf´ıcies Compactas com

g

_{≥ 2}

E poss´ıvel generalizar a construção de códigos quânticos topológicos (TQC) para superf´ıcies com gênero g_{≥ 2, [48]. No entanto, essa generalização, quando feita na literatura, é definida sobre mer-} gulhos de células de grafos em superf´ıcies, [12]. Esse modelo de construção não deixa claro o tipo de tesselação usada e nem quais os códigos poss´ıveis de serem gerados. Nossa proposta de construção de tais códigos segue exatamente os mesmos passos da construção de Kitaev, levando em consideração a geometria associada às superf´ıcies. Além disso, é poss´ıvel exibir todos os poss´ıveis códigos para cada superf´ıcie. Para simplificar o texto, a menos de menção contrária, escreveremos superf´ıcie para indicar uma superf´ıcie compacta orientável.

Uma das principais motivações para desenvolver esse trabalho se deve aos resultados obtidos em [16, 17, 71] que mostram que o desempenho, medido em termos de probabilidade de erro, de um sistema de comunicações utilizando constelações de sinais (modulação digital) em espaços com cur- vatura negativa K_{< 0, ou equivalentemente, em variedades bidimensionais com gênero g ≥ 2 impli-} cando na caracter´ıstica de Euler negativa, é melhor do que em espaços com curvatura K_{≥ 0. Como a} modulação digital pode ser vista como uma classe de códigos, então conjectura-se de que os códigos corretores de erros mais eficientes oriundos de variedades bidimensionais com gênero g_{≥ 2 possam} ser constru´ıdos.

Na Seção 6.1 fazemos uma breve revisão de geometria hiperbólica, visto que essa é a geometria associada às superf´ıcies com gênero g_{≥ 2. Na Seção 6.2 mostramos como obter um modelo planar da} superf´ıcie e apresentamos o modelo que será usado na construção sendo proposta. A Seção 6.3 mostra como determinar as tesselações do modelo planar. Na Seção 6.4 apresentamos a construção dos novos códigos, e as tabelas de todos os poss´ıveis códigos gerados em superf´ıcies com gênero g= 2, 3, 4, 5. A

Seção 6.5 mostra que a construção em consideração reproduz o código tórico de Kitaev e uma classe de códigos obtidos a partir de mergulhos auto-duais de grafos completos em superf´ıcies apresentada em [13]. Além disso, ampliamos essa classe de códigos.

No documento Analise e construção de codigos quanticos topologicos sobre variedades bidimensionais (páginas 109-114)