Conjuntos Hiperb ´olicos - Hiperbolicidade Essencial em Superfícies

A hiperbolicidade de um ponto fixo implica em contração e expansão exponenciais pela ação da derivada, em direç ões complementares de TpM. Se pretendemos gener-

alizar isto para um conceito semi local, podemos trocar o ponto fixo por um compacto invarianteΛ, e pedir, por definição, a existência de direções complementares, agora em TΛM, nas quais ocorram, respectivamente, contração e expansão exponenciais.

Definic¸˜ao 3.2.1. Dizemos que um compacto Λ ⊂ M invariante por um difeomorfismo f ,

é um conjunto hiperb ólico se existe uma decomposição do fibrado tangente restrito a Λ, TΛM = Es⊕Eud f -invariante, ou seja d f (x)Eσx = Eσf (x),σ = s, u, e tal que existam constantes

C> 0 e 0 < λ < 1 satisfazendo, para todo x ∈ Λ e todo n ∈ N, 1. d f n_(x)| Es ≤Cλ n_, 2. d f −_n (x)|Eu ≤Cλ n_.4

A definição acima exige que as taxas de contração e expansão não dependam do ponto escolhido emΛ, e esta é uma hipótese forte. Por esta razão, em certos contextos, um conjuntoΛ como na definição acima é dito uniformemente hiperbólico. Não iremos adotar esta terminologia aqui, no entanto, mais a frente, discutiremos um pouco o contexto não-uniformemente hiperb ólico.

Propriedades de Conjuntos Hiperb ´olicos

Nesta seção vamos tentar explorar um pouco a definição de um conjunto hiperb ólico. Começamos apresentando uma reformulação da noção de hiperbolicidade que é muito

´util.

Definição 3.2.2. SeΛ é um compacto invariante por um difeomorfismo f , e E é um subfibrado

d f -invariante de T_ΛM, dizemos que E ´e contrator para f , se existem constantes C > 0 e 0< λ < 1 tais que d f n (x)|E ≤Cλ n_,

para todo x ∈Λ e todo n ∈ N. Dizemos que E ´e expansor se ´e contrator para f−1_.

Observe que se Λ é um conjunto hiperbólico, e Es _⊕_Eu _{é a sua decomposição}

hiperb ólica, então Es _{é um subfibrado contrator para f , e E}u _{é um subfibrado expan-}

sor para f . Sempre iremos nos referir à direção contratora de uma decomposição hiperb ólica como estável, e à direção expansora como instável. O lema a seguir fornece uma condição necessária e suficiente para que uma decomposição em soma direta e d f -invariante de TΛM seja uma decomposição hiperb ólica.

4_{Em todo este trabalho, se E é um subfibrado, adotamos a notação d f (x)|}

E, significando a ac¸˜ao da

Lema 3.2.3. SejamΛ um compacto invariante por um difeomorfismo f , e E ´e um subfibrado

d f -invariante de TΛM. Ent˜ao, E ´e contrator se, e somente se, existe em N > 0 tal que

d f N_(x)| E < 1 2, para todo x ∈Λ.

Demonstração. A necessidade é óbvia. Para provar a suficiência, tomeλ =1₂N, c= maxn1, sup{||d fj(x)||; x ∈Λ, 1 ≤ j ≤ N}o ,

e k> 0 tal que 1 ≤ kλN_{. Em particular, 1 ≤ kλ}r_{, para todo 1 ≤ r}_{< N, pois 0 < λ < 1. Da´ı,}

se n ∈ N, pelo algor´ıtmo da divis˜ao de euclides, existem naturais q ≥ 0 e r < N tais que n= qN + r. Portanto, pela regra da cadeia,

d f n (x)|E ≤c r1 2 q ≤_crλqN ≤_cNkλqN+r,

e basta tomar C= cN_{k. O lema est´a provado.}

A seguir vamos apresentar um resultado que investiga o que ocorre na ausência de hiperbolicidade. Para esse estudo, a seguinte terminologia é útil: uma corda é qualquer pedaço finito {x, ..., fn_{(x)} de órbita, com n} _{> 0. Vamos provar que se um}

subfibrado de TΛM cont´ınuo E não é contrator, então existem cordas arbitrariamente

grandes em Λ que apresentam uma contração média muito fraca. O argumento é devido a Ma ñé, e, em conjunto com o ergodic closing lemma, pode ser usado para obter hiperbolicidade, quando existe alguma uniformidade nas taxas de contração e expansão de órbitas peri ódicas, que valha robustamente. Em cap´ıtulos subsequentes veremos como conseguir tal cenário, e portanto teremos oportunidade de aplicar o teorema abaixo para obter hiperbolicidade.

Teorema 3.2.4. Seja Λ um compacto invariante por um difeomorfismo f , e considere um

subfibrado de TΛM cont´ınuo E. Se E não é contrator, então existe uma medida µ invariante e

erg´odica para f , tal que para um ponto gen´erico x ∈ supp(µ) temos lim n→+∞ 1 n n−1 X j=0 log d f ( f j_(x))| E ≥ 0.

Tomando um ponto genérico x no suporte da medida erg ódica dada pelo teorema e tomando um n grande, obtemos uma corda {x, ..., fn_{(x)} com contração média arbitrari-}

amente fraca na direc¸˜ao E.

Demonstração. Pelo lema 3.2.3, se E não é contrator então para todo n ∈ N existe um ponto xn∈Λ tal que

1 2 ≤ d f n_(x n)|E ≤ n−1 Y j=0 d f j_(x n) ,

e portanto, 1 n n−1 X j=0 log d f j_(x n)|E ≥ − log 2 n . (3.1) Considere as medidas µn = 1_n Pn−1

j=0 δfj_(xn). Por compacidade e pela proposic¸˜ao 2.2.4,

a menos de passar a uma subsequˆencia, podemos supor queµn → µ, onde µ ´e uma

medida f -invariante. Al´em disso, supp(µ) ⊂ Λ via o lema 2.2.9. Como a desigualdade 3.1 diz que Z log d f|E dµn ≥ − log 2 n , e comoR log d f|E dµn → R log d f|E dµ, obtemos Z log d f|E dµ ≥ 0.

Pelo Teorema da Decomposição Erg ódica, como no cap´ıtulo 02, podemos supor queµ é erg ódica. Com a desigualdade acima, pela definição de medida erg ódica, tomando

um ponto gen´erico x ∈Λ, o teorema segue.

Como pontos peri ódicos hiperb ólicos sempre persistem por pequenas perturbaç ões, é natural perguntar se vale o mesmo para conjuntos hiperb ólicos. Uma resposta positiva parcial é dada pelo seguinte resultado.

Proposição 3.2.5(Robustez de Conjuntos Hiperb ólicos). Seja f : M → M um difeomor- fismo de classe Cr_e_{Λ um conjunto hiperbólico para f . Então, existem uma vizinhança U de f ,}

na topologia Cr_{, e uma vizinhanc¸a U de}_{Λ tais que para todo g ∈ U, o invariante maximal de}

U por g,Λg= ∪n∈Zgn(U), ´e um conjunto hiperb´olico para g.

O teorema acima, em princ´ıpio não é suficiente para garantir que conjuntos hiperb ólicos sobrevivem por pequenas perturbaç ões, pois nada garante que o invariante maximal de U por g com g pr óximo de f será não-vazio. Iremos garantir isto, mais a frente, quando o conjunto hiperb ólico contar com uma hip ótese adicional.

Prosseguindo com a tentativa de generalizar os resultados que valem para pontos fixos hiperb ólicos, também podemos nos perguntar se vale um teorema da variedade estável para conjuntos hiperb ólicos. A resposta é sim, e é um dos principais resultados sobre conjuntos hiperb ólicos. Podemos definir os conjuntos estáveis/instáveis da mesma forma que definimos para pontos. O teorema da variedade estável diz que tais conjuntos são subvariedades imersas, tangentes as direç ões estável/instável, respectivamente.

Definição 3.2.6. SejaΛ um conjunto hiperbólico. Dado p ∈ Λ, definimos, respectivamente, o

conjunto est´avel de p e o conjunto inst´avel de p por

Ws(p)= {x ∈ M; d( fn(x), fn(p)) → 0, quando n → +∞}, e

Dado β > 0 definimos também o conjunto estável local e o conjunto instável local de p pondo, respectivamente,

W_βs(p)= {x ∈ M; d( fn(x), fn(p))< β, para todo n ≥ 0}, e

W_βu(p)= {x ∈ M; d( f−n(x), f−n(p))< β, para todo n ≥ 0}.

Para uma prova do teorema da variedade est´avel, bem como da robustez de conjuntos hiperb ´olicos, sugerimos ao leitor consultar [40].

Teorema 3.2.7 (Teorema da Variedade Estável). Seja f : M → M um difeomorfismo de classe Cr, eΛ um conjunto hiperbólico, com decomposição Es⊕_Eu_{. Então, existe}β > 0 tal que, para todo p ∈Λ, Ws

β(p) ´e um disco mergulhado de classe Crem M, TpW_βs(p)= Esp. Al´em disso,

Ws_(p)_{= ∪} n≥0f−n Ws β(p)

(donde segue que Ws_{(p) ´e subvariedade imersa) e pedac¸os compactos}

de Ws_{(p) variam continuamente com p. O mesmo vale para o conjunto inst´avel.}

Com a existência de variedades invariantes possuindo comportamento dinâmico, e com uma hip ótese adicional de isolamento (no sentido de o cojunto não ser acumulado por outros compactos invariantes) é poss´ıvel obter uma descrição da dinâmica dentro de um conjunto hiperb ólico bastante satisfat ória. A propriedade de isolamento de um conjunto hiperb ólico, está intimamente relacionado com as interseç ões entre as variedades estável/instável dos pontos do conjunto.

Definição 3.2.8. Sejam f um difeomorfismo e um conjunto hiperbólico Λ. Dizemos que Λ

possui estrutura de produto local se existe um > 0 tal que Ws

(x) ∩ Wu(y) ⊂Λ, para todos

x, y ∈ Λ.

Note que, em consequência do teorema da variedade estável, para quaisquer dois pontos x, y num conjunto hiperbólico Λ e suficientemente próximos, Ws_{(x) sempre}

intersecta transversalmente Wu(y) num único ponto. Com efeito, como Ws(x) intersecta transversalmente Wu_{(x) num único ponto, o pr óprio x, e como W}u_{varia continuamente,}

existe um > 0 tal que se d(y, x) < , ent˜ao Wu_{(y) intersecta transversalmente W}s_(x).

Como Λ é compacto podemos obter um > 0 que não dependa de x. Isso mostra que a parte da definição de estrutura de produto local não-trivial de se obter, é que Ws_{(x) ∩ W}u_{(y) ⊂}_Λ.

Definição 3.2.9. Um compactoΛ invariante por um difeomorfismo f é dito isolado se existe

uma vizinhanc¸a U deΛ, tal que Λ = ∩n∈Zfn(U), i.e.,Λ coincide com o invariante maximal de

U por f .

Surpreendentemente, para um conjunto hiperb ólico, ser isolado e ter estrutura de produto local são conceitos equivalentes. Isto é consequência de outro teorema fundamental, que vamos apresentar a seguir, conhecido como shadowing lemma. Este resultado fala da possibilidade de se obter órbitas que acompanham sequências de pontos que são “quase” órbitas.

Definição 3.2.10. Dado um n úmero realα > 0, uma α-pseudo-órbita é uma sequência {xi}

de pontos em M, com −∞ ≤ n1 ≤ i ≤ n2 ≤ +∞, tal que d( f (xi), xi+1) < α, para todo i. Uma

pseudo-órbita é dita peri ódica, se existe n> 0 tal que xi+n= xi, para todo i.

Observe que se uma sequência {xi} é uma órbita, por definição, tem-se f (xi) = xi+1.

Da´ı, podemos interpretar uma pseudo- órbita como uma sequência que deixa de ser uma órbita por erros pequenos. Acontece que, pr óximo a um conjunto hiperb ólico, toda pseudo- órbita pode ser “sombreada”por uma órbita verdadeira, no seguinte sentido: dada {xi}, uma pseudo- órbita, dizemos que uma órbita O(x) β-sombreia esta pseudo-

órbita, se d( fi(x), xi) < β, para todo i. Também dizemos que x é uma sombra para a

pseudo- ´orbita.

Teorema 3.2.11(Shadowing Lemma). Seja Λ um conjunto hiperb´olico para um difeomorfismo f . Dadoβ > 0, existem α > 0 e η > 0, tais que para toda α-pseudo-´orbita {xi}, satisfazendo

d(xi, Λ) < η, para todo i, existe um ponto x cuja órbita β-sombreia a pseudo-órbita. Além disso,

se {xi}é periódica, então x é um ponto periódico; se n1 = −∞ e n2 = +∞ então a sombra é única;

finalmente, seΛ possui estrutura de produto local, ent˜ao x ∈ Λ.

A prova do teorema acima, o leitor pode encontrar em [35] e [10]. Para a prova do fato que estrutura de produto local e isolamento s˜ao conceitos equivalentes para um conjunto hiperb ´olico, sugerimos [28] e [9].

A importância do shadowing lemma para a teoria dos sistemas hiperb ólicos é mon- umental, e está intimamente relacionada com a estabilidade de tais sistemas. De fato, adcionando-se a hip ótese de isolamento e usando o shadowing lemma podemos melho- rar substancialmente o teorema da robustez de conjuntos hiperb ólicos, e provar que de fato o conjunto persiste por pequenas perturbaç ões e, mais ainda, a dinâmica também persiste.

Teorema 3.2.12(Estabilidade de Conjuntos Hiperb ólicos Isolados). SejaΛ um conjunto hiperbólico isolado para um difeomorfismo de classe C1 _{f . Então existem vizinhanças U de}_{Λ em}

M e U de f em Diff1

(M) tais que para todo g ∈ U,Λg = T_n∈Zgn(U) ´e um conjunto hiperb´olico

isolado para g. Al´em disso, existe um homeomorfismo hg :Λ → Λgtal que g ◦ hg = hg◦ f e hg

varia continuamente com g.

O homeomorfismo hgdeve ser visto como uma mudanc¸a de coordenadas cont´ınua

que leva órbitas de f em órbitas de g, e portanto a estrutura topol ógica de órbitas de g e f é a mesma. No cap´ıtulo 08 iremos provar o teorema acima no caso em queΛ = M, e discutiremos como adaptar a prova para o caso geral. A estabilidade de conjuntos hiperb ólicos será muito importante para n ós, exatamente porque ela garante que um conjunto hiperb ólico não “morre”ao perturbarmos um pouco o difeomorfismo original. Discutiremos este ponto com mais detalhes na seção final deste cap´ıtulo.

Pontos Homocl´ınicos

A definição de um conjunto hiperb ólico, diferente da definição de um ponto fixo hiperb ólico, é bem mais rebuscada, pois envolve a existência de subfibrados invariantes,

e uma pergunta natural é como obter isto. Veremos nas pr óximas linhas, um resultado que dá a existência de um conjunto hiperb ólico, a partir de um mecanismo bastante simples.

Definição 3.2.13. Dado um ponto periódico p, dizemos que x ∈ Ws_{(p) ∩ W}u_{(p) é um ponto}

homocl´ınico associado a p. Se Ws_{(p) e W}u_{(p) s˜ao transversais em x, dizemos que x ´e um ponto}

homocl´ınico transversal.

Teorema 3.2.14(Birkhoff-Smale). Seja p um ponto peri´odico para um difeomorfismo f : M →

M, e x um ponto homocl´ınico transversal associado a p. Ent˜ao, existem um inteiro N> 0 e um conjunto hiperb´olicoΛ para fN_{, contendo p e x.}

Para uma prova, ver [35].

Como aplicac¸˜ao do teorema de Birkhoff-Smale e do shadowing lemma, temos o seguinte resultado.

Lema 3.2.15. Sejam f ∈ Diff1(M), δ > 0 e p ∈ P(δ, f ). Ent˜ao, todo ponto homocl´ınico transversal associado a p pertence aΣ(δ, f ).

Demonstração. Seja x ∈ Ws_{(p) ∩ W}u_{(p) (interseção transversal). Como P(δ, f ) ⊂ Σ(δ, f ),}

é suficiente provar que x pode ser aproximado por pontos em P(δ, f ). Trocando f por fπ(p), podemos supor que p é um ponto fixo hiperb ólico para f , satisfazendo

mlog | det d f (p)|< δ,

onde m= π(p). Pelo teorema de Birkhoff-Smale, existe um inteiro n > 0 e um conjunto hiperb ´olicoΛ para fn_{, contendo p e x.}

Informalmente, a idéia da prova é usar o shadowing lemma para criar órbitas peri ódicas de per´ıodo muito grande, mas que passem a maior parte do tempo pr óximas a p, e de- pois se aproximem de x. Como | det d f (p)| é pr óximo de 1, isto irá passar para os pontos da órbita que ficam perto de p, e como estes serão a maioria da órbita, na média, teremos | det d f | perto de 1, e portando a órbita peri ódica estará em P(δ, f ).

Para realizar o argumento preciso, considere a func¸˜ao cont´ınuaϕ := _m1 log | det d f (p)|. Tome > 0 tal que δ − 2 > 0, e tome r > 0 e β > 0 tais que

ϕ(y) < δ − 2, (3.2)

para todo y ∈ B(p, r), e

ϕ(y) − ϕ(z) <

m (3.3)

para todo par de pontos y, z β-próximos em M. Considere α > 0 dado pelo shadowing lemma e defina umaα-pseudo-órbita periódica centrada em x e contida em Λ do seguinte modo:

x0 = x, x1 = fn(x), x2= f2n(x), ..., xk = fkn(x),

onde k> 0 ´e grande o bastante para que d( fkn+1(x), p) < α 2 e d( f −_kn (x), p) < α 2. Pela desigualdade triangular, isto implica que

d( f (xk), xk+1) ≤ d( fkn+1(x), p) + d(p, f −_kn

(x))< α,

e desse modo {xi} é umaα-pseudo-órbita. Pela escolha de α, existe um ponto periódico

y, cuja ´orbitaβ-sombreia {xi}. Seja my = π(y) = 2k + 1.

Afirmamos que se k> 0 ´e suficientemente grande, ent˜ao m my my−1 X i=0 ϕ(xi)< δ − (3.4)

De fato, seja c= sup{ϕ(z); z ∈ M} e considere k0 > 0 tal que fnk0(x) e f−nk0(x) pertencem

a B(p, r). Essencialmente, esse ´e o tempo em que a pseudo-orbita fica fora da B(p, r). Temos que fazer com que k − k0(o tempo no qual a pseudo- ´orbita permanece em B(p, r))

seja muito maior do que k0. Para tanto, ´e suficiente observar, via 3.2, que

m my my−1 X i=0 ϕ(xi) = m my         k0−1 X i=0 ϕ(xi)+ 2kn−k0 X i=k0 ϕ(xi)+ my−1 X 2kn−k0+1 ϕ(xi)         < 2k0mc my + 2nk − 2k0 my (δ − 2),

pois, a partir da´ı, lembrando que my = 2k + 1, temos que se k ´e grande o bastante para

que 2k0mc_my < , como 2k−2k0_my < 1, ent˜ao a desigualdade 3.4 se verifica. Por fim, como

d( fi(y), xi)< β,

para todo 0 ≤ i ≤ my, podemos passar a estimativa 3.4 para a ´orbita de y, pois

1 my

log | det d fmy(y)| = m my my−1 X i=0 ϕ( fi_(y))₌ m my my−1 X i=0 ϕ( fi_{(y)) −}_ϕ(x i)+ ϕ(xi) < + δ − < δ,

onde, na última passagem, usamos respectivamente, a desigualdade 3.3 e a estimativa 3.4. Isto prova que y ∈ P(δ, f ) e, como β > 0 é tão pequeno quanto quisermos, estabelece

o lema.

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