II. Classificação dos conjuntos quanto à cardinalidade
9. Conjuntos Numéricos
Não podemos começar um curso de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso.
Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números...
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável.
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida;
ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los.
Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras:
Nesta parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades.
Conjunto dos Números Naturais
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:
ℕ = {0,1,2,3 … }
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.
A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais.
Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N.
?∗ = {1,2,3,4 … }
Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos.
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação.
Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!!
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição.
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0...
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação.
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração.
Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural).
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc.
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...
Operações com números naturais
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação.
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.
O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma.
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição.
Definimos então a operação de adição:
a,b parcelas c soma a b c →
+ = →
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.
Vejamos algumas propriedades importantes da adição.
1 Propriedade comutativa
Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma.
Em símbolos:
para todos a,b N a+ = + b b a ∈
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.
Ex.: 4 5 5 4 primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos
3 Existência do elemento neutro da adição
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.
+ 0 = 0 + =
Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.
4 Propriedade do fechamento
A soma de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o × ∙.
Assim, 3 × 4 = 3 ∙ 4 = 12.
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim,
3 / ( 3 ' / .
Ou seja, 3 = 3 ∙ = 3 × .
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 2 + 232 − 13.
Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.
2 + 232 − 13 = 2 + 23 ∙ 2 − 13 = 2 + 23 × 2 − 13
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos × ∙. Normalmente utilizaremos × quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos ∙ quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor nome da operação e produto é o resultado da multiplicação.
5 Propriedade comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12.
Desta forma, podemos afirmar que ab= ba para todos a,b∈N. Lembre-se que significa a vezes b. Ou seja,
= = ∙ = ∙ = × = ×
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.
5)
7 Existência do elemento neutro da multiplicação Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:
∙ 1 = 1 ∙ =
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.
Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.
8 Propriedade do fechamento
O produto de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais.
Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc.
Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis.
multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.
2 ∙ 23 + 53 = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 6 + 10 = 16
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a expressão 2 ∙ 2 + 33pode ser desenvolvida da seguinte maneira:
2 ∙ 2 + 33 = 2 ∙ + 2 ∙ 3 = 2 ∙ + 6 Ou simplesmente:
2 ∙ 2 + 33 = 2 + 6
04. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.”
M A R R A + M A R R A T O R T A
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número
a) menor que 70000.
b) compreendido entre 70000 e 75000.
c) compreendido entre 75000 e 80000.
d) compreendido entre 80000 e 85000.
e) maior que 85000.
Resolução
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos.
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A+ =A A. Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, que A=0. Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.
M 0 R R 0
M 0 R R 0
T O R T 0
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R+Re obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10).
Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5.
Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12.
M 0 R=6 R=6 0
M 0 R=6 R=6 0
T O=1 R=3 T=2 0
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6.
Chega-se a conclusão de que R=9.
0 9 9 0 0 9 9 0 9 8 0
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:
4 0 9 9 0 4 0 9 9 0 8 1 9 8 0 Logo, MARRA=81980.
Letra D
05. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo
O valor de A+B+C é:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Resolução
3 1 3, 3 2 6, 3 3 9 3 4 12, 3 5 15, 3 6 18 3 7 21, 3 8 24, 3 9 27
× = × = × =
× = × = × =
× = × = × =
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das unidades é igual a 4. Logo, . Como , ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.
8
C= 3 8× =24
1 A B 8 x 3 A B 8 4
O produto 3⋅B deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2× =6.
1 A 2 8 X 3 A2 8 4
Finalmente, o número A deve ser tal que 3⋅A termine em 2. Portanto, A=4. 14 2 8
X 3 42 8 4
Como A=4,B=2 e C=8, temos que A+ + =B C 14. Letra E
Conjunto dos números inteiros
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação
“subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais.
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão).
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Dizemos que o número – é o simétrico ou oposto do número .
Por exemplo, o número −5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de −5.
Neste conjunto n destacam-se os seguintes subconjuntos:
(1) Conjunto n∗ dos inteiros não nulos (diferentes de zero):
n∗ = { ∈ n| ≠ 0} = {… − 3, −2, −1,1,2,3, … }
(2) Conjunto no dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero):
no = { ∈ n| ≤ 0} = {… − 3, −2, −1,0}
(3) Conjunto nq dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero):
nq = { ∈ n| ≥ 0} = {0,1,2,3,4 … }
(4) Conjunto no∗ dos inteiros negativos (menores que zero):
no∗ = { ∈ n| < 0} = {… − 3, −2, −1}
(5) Conjunto nq∗ dos inteiros positivos (maiores que zero):
nq∗ = { ∈ n| > 0} = {1,2,3,4 … }
Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:
5 + 2−53 = 0 2 + 2−23 = 0
−3 + 3 = 0
Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:
− = + 2− 3 a minuendo b subtraendo c diferença a b c
→
− = →
→
Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa.
Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro.
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros.
Regras dos sinais com números inteiros
( a) a
− − =
( ) ( ) ( )
a⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −b a b a b ab (− ⋅ − =a) ( b) ab
As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros.
Sinais dos
números Resultado iguais positivo diferentes negativo
Exemplos:
Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros.
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal.
+2 + 3 = +5
−2 − 3 = −5
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior.
+5 − 2 = +3
−5 + 2 = −3
06. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.
Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:
a) 12
b) 14 c) 15 d) 18 e) 21
Resolução
Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira:
Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a terceira linha representa a diferença.
Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2− =4. Portanto, 2
Z = .
4 9 6
0 9
3 8 4
Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9− =8. Portanto, multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.
ℚ = v%
w x% ∈ ℤ w ∈ ℤ∗z
O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração.
O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração.
Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.
2 = 2
Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.
−2 = −2 1
Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma:
−2 1 = 2
−1 = −2 1 = −2
Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais.
Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; −3,0154.
Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos:
i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula.
ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.
1,47 = 147 100 2,513 = 2.513
1.000
−3,0154 = −30.154 10.000
Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não...
É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos:
0,14141414141414141414141414141414141414141414 ….
Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes.
32,021=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|} … Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes.
Pense em uma raça preguiçosa... pensou?
A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS!
Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, notações e símbolos... Tudo para escrever pouco.
Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma preguiça enorme de escrever
32,021=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|}=|} … (Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!)
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do período. Portanto,
32,021546546546546546 … = 32,021546~~~~~
Muito mais simples, não?
A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas em frações?
Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o método abaixo como o mais simples por diversas razões.
i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?
ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não?
iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de dízima periódica?
Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851 …
O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente.
3,12851851851 … = 3,12851~~~~~
Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo,
? = 312.851.
Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da barra. No nosso exemplo, ?)+ = 312.
Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número ? − ?)+.
Por enquanto, nossa fração está assim:
3,12851~~~~~ = 312.851 − 312 E como fica o denominador?
Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra.
Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no denominador.
3,12•=€~~~~~~ = 312.851 − 312•••
Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar...
Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”.
Quantos são eles? 2!!!
A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a barra.
3, €>•=€~~~~~~ = 312.851 − 312•••‚‚
Pronto!!!
3,12851~~~~~ = 312.851 − 31299.900 =312.539 99.900
Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por 99.900.
Muito fácil não??
E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil.
Vamos praticar um pouco mais.
Transforme em fração o número 0,666666 … Vamos colocar na notação da barra.
0,666 … = 0, 6~
? → (ú5 & 5% 0 = 6
?)+ → (ú5 & & && = 0
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.
0,666 … = 6 − 0 9 =6
9 =2 3 Transforme em fração o número 0,13434343434 … Vamos colocar na notação da barra.
0,1343434 … = 0,134~~~~
? → (ú5 & 5% 0 = 134
?)+ → (ú5 & & && = 1
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, colocamos um zero no denominador..
0,1343434 … = 134 − 1
990 = 133 990 Transforme em fração o número 0,999 …
Vamos colocar na notação da barra.
0,999 … = 0, 9~
? → (ú5 & 5% 0 = 9
?)+ → (ú5 & & && = 0
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.
0,999 … = 9 − 0 9 =9
9 = 1 Portanto, 0,999 … = 1
Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!!
A bem da v erdade, 0,999 … 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras diferentes.
07. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:
A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92
Resolução
Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é escrever na notação da barra.
0,011363636 … = 0,01136~~~~
? → (ú5 & 5% 0 = 1.136
?)+ → (ú5 & & && = 11
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no denominador.
0,01136~~~~ = 1.136 − 1199.000 = 1.125 99.000
A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível.
Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e o denominador por 5.
1.125
99.000 = 225 19.800
Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes.
225
19.800 = 45
3.960 = 9 792
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9.
9 792 = 1
88
Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível.
0,011363636 … = 1
Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.
É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0.
Assim, não há sentido na fração 5/0.
08. (ANVISA 2010/CETRO) Considere = 0,00003 e = 3.600.000. Desse modo, b/a vale
a) cento e vinte trilhões.
b) cento e vinte bilhões.
c) um bilhão e duzentos milhões.
d) cento e vinte milhões.
e) um milhão, cento e vinte mil.
Resolução
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar as vírgulas”.
=3.600.000,00000
0,00003 =360.000.000.000
3 = 120.000.000.000 Letra B
Subconjuntos Notáveis dos Racionais
Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los:
(1) Conjunto ‡∗ dos racionais não nulos (diferentes de zero):
‡∗ = ∈ ‡| ≠ 0
(2) Conjunto ‡o dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero):
‡o = ∈ ‡| ≤ 0
(3) Conjunto ‡q dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero):
‡q = ∈ ‡| ≥ 0
(4) Conjunto ‡o∗ dos racionais negativos (menores que zero):
‡o∗ = ∈ ‡| < 0
(5) Conjunto ‡q∗ dos racionais positivos (maiores que zero):
‡q∗ = ∈ ‡| > 0 Conjunto dos números irracionais
Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos irracionais.
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracion-ais.
Alguns exemplos famosos:
‰ = 3,1415926535 … = 2,718281 …
(/0 (0 ℎ 5% &( Š( = 0,12345678910111213141516 …
A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas casas decimais.
(/0 (0 % & ( − g& ö/ = 0,235711131719 …
A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas casas decimais.
(/0 (0 g & − e / ℎ & ( = Œ = 0,5772156649 …
Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e denominador inteiros.
Números reais
Chama-se conjunto dos números reais - ℝ - aquele formado por todos os números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
Reta real
Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada denominada Reta Real.
09. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos:
N, dos números naturais.
Z, dos números inteiros.
Q, dos números racionais.
R, dos números reais.
Assinale a alternativa correta.
(A) a, b ∈ N temos a − b ∈ N
(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.
(C) N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R
(D) a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0 ⇒ a/b ∈ Z
(E) A equação 3x −1 = 0 não tem solução em Q.
Resolução
a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b ∈ N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e
−2 ∉ N.
b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um maior elemento.
c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional e todo número racional é um número real.
d) Falsa. Se a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0, nem sempre a/b ∈ Z. Por exemplo, 8 ∈ Z, 5∈ Z e 8/5 = 1,6 ∉ n.
e) Vamos resolver a equação 3x −1 = 0.
3 = 1 = 1
3 ∈ ‡ Portanto, a alternativa E é falsa.
Letra C
10. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:
I. ℝ = ℚ ∪ F&
II. N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R III. ℚ ∪ F& = ∅ IV. ℚ ∩ F& = ℝ
V. F& = ℝ − ℚ Considere:
Ir = Conjunto dos números irracionais.
N = Conjunto dos números naturais.
Q = Conjunto dos números racionais.
R = Conjunto dos números reais.
Z = Conjunto dos números inteiros.
As afirmações verdadeiras estão contidas em a) I apenas.
b) I e III apenas.
c) I, II e V apenas.
d) II, III, IV e V apenas.
e) I, II, III, IV e V.
Resolução
Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais.
Como vimos na questão anterior, N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R.
Assim,
I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois ℚ ∪ F& = ℝ . IV é falsa, pois ℚ ∩ F& = ∅. V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado por todos os números reais que não são racionais.
Letra C
11. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:
N dos números naturais, Q dos números racionais,
Q+ números racionais não-negativos, R dos números reais.
O número que expressa
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.