Com a ajuda dos diagramas de Venn, já utilizados para representar operações entre acontecimentos, e tendo em consideração os axiomas da Probabilidade, facilmente se mostram as seguintes propriedades para a Probabilidade:
1 - P() = 0 2 - P( A ) = 1 - P(A) 3 - Se AB então P(A) ≤ P(B)
S
A
B
B-A
P(B) = P(A) + P(B-A)
•
0
4 - Qualquer que seja o acontecimento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
Corolário do resultado anterior.
5 - Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B, tem-se a chamada regra da adição
S
A
B
P(A B) = P(A) +P(B) - P(A B)
AB= (B - A)(AB)(A - B)P(AB) =P(B - A)P(AB)P(A -B)
Atendendo a que P(B-A)=P(B)-P(AB), como facilmente se mostra, uma vez que B=(B- A)(AB), vem o resultado pretendido.
propriedade anterior e o método da indução.
Nota - Axiomática de Kolmogorov
Ao axioma 3 é usual chamar axioma da aditividade finita. Este axioma não permite generalizar a propriedade 6 para uniões infinitas. Se admitirmos que o espaço de resultados é infinito numerável (Um conjunto diz-se numerável se pudermos estabelecer uma aplicação bijectiva entre ele e os naturais), S={s1, s2, …}, então seria desejável que para qualquer subconjunto A de S, finito ou não, a sua probabilidade fosse a soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compõem. Assim, resolve-se o problema substituindo o axioma 3, pelo seguinte axioma: Axioma 3* - P( i=1Ai ) P( i1
Ai) se AiAj para todo o ijExemplo 2.4.1 - Num restaurante registaram-se, durante bastante tempo, os pedidos dos
clientes, tendo-se chegado à conclusão que, para terminar a refeição, 20% dos clientes pedem só sobremesa, 40% pedem só café e 30% pedem sobremesa e café.
a) Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situação anterior. b) Determine a probabilidade do acontecimento “pedir café”.
c) Determine a probabilidade do acontecimento “não pedir sobremesa”. d) Determine a probabilidade do acontecimento “pedir café ou sobremesa”. e) Determine a probabilidade do acontecimento “nem pede café nem sobremesa”. f) Os acontecimentos “pedir café” e “pedir sobremesa” são disjuntos?
Resolução: a)
b) P(Café) = .30 + .40 = .70 c) P( Sob) = 1 - P(Sob)
e) P(Café ou Sob,
________
) = 1 - P(Café ou Sob) = 1 - .90 = .10
f) Os acontecimentos não são disjuntos
Exemplo 2.4.2 (Graça Martins et al, 1999) - Numa loja de hamburgers, o gerente verificou que em cada 100 hamburgers vendidos 45 têm queijo e 15 também têm cebola. Registos anteriores permitem também concluir que a probabilidade de um cliente pedir um hamburger com cebola é .35. Qual a probabilidade de um cliente pedir um hamburger:
a) Com queijo ou cebola b) Sem cebola nem queijo
c) Só com cebola (além da carne…) Resolução:
Para representar os vários acontecimentos envolvidos, vamos utilizar um diagrama de Venn, onde representamos por Q o acontecimento “presença de queijo” e por C o acontecimento “presença de cebola” Q C .45 .35 .15 S a) P(QC) = P(Q)+P(C) – P(QC) = .45 + .35 - .15 = .65 b) P( QC) = 1 - P(QC) = 1 - .65 = .35 c) P( CQ ) = P(C) – P(QC) = .35 - .15 = .20
Exemplo 2.4.3 (Parzen, 1960) - Num estudo sobre sexo, estado civil e habilitações literárias de um grupo de 1000 leitores de determinada revista, obtiveram-se os seguintes dados: 312 são do sexo masculino, 470 são casados, 525 têm o liceu, 42 homens têm o liceu, 147 casados têm o liceu, 86 homens são casados, e 25 homens casados têm o liceu. Verifique que estes dados não são consistentes.
Resolução:
Representando por M – sexo masculino; C – casado; L – liceu, temos P(M) = 0.312; P(C) = 0.470; P(L) = 0.525; P(ML) = 0.042; P(CL) = 0.147; P(MC) = 0.086; P(MCL) = 0.025 donde P(MCL) = P(M) + P(C) + P(L) - P(ML) - P(CL) - P(MC) + P(MCL) P(MCL) = 0.312 + 0.470 + 0.525 – 0.042 – 0.147 – 0.086 + 0. 025
Este resultado é impossível pois o valor para a probabilidade não pode ser superior a 1. Exercício (Freedman et al, 1991) – Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes asserções:
a) Uma caixa tem 10 bilhetes numerados de 1 a 10. Extraem-se 5 bilhetes, com reposição. Há uma probabilidade de 5/10 de obter pelo menos um 7. Explique.
b) Extrai-se um número aleatoriamente de uma caixa. Há uma probabilidade de 20% de ser menor ou igual a 10 e uma probbailidade de 10% de ser maior ou igual a 50. A probabilidade de obter um número maior que 10 e menor que 50 é 0.7. Explique.
c) Lança-se um par de dados. A probabilidade de obter pelo menos um 1 é 1/6+1/6=1/3. Explique.
Nota histórica (Adaptado de Statistics, Freedman) O paradoxo do Cavaleiro De Méré
No século XVII, os jogadores Franceses costumavam fazer apostas sobre os seguintes acontecimentos: 1º jogo: lançar 4 dados e sair pelo menos um ás (chama-se ás à face com 1 pinta); 2º jogo: lançar 24 vezes um par de dados e sair pelo menos um duplo-ás (um par de dados com as faces 1). Um nobre Francês, o Cavaleiro De Méré, pensava que estes dois acontecimentos tinham igual probabilidade. O seu raciocínio era o seguinte, relativamente ao primeiro jogo:
No lançamento de um dado, tenho uma probabilidade 1/6 de obter um ás;
Assim, em 4 dados tenho uma probabilidade 4x1/6 de obter pelo menos um ás:
O seu raciocínio relativamente ao segundo jogo era análogo:
No lançamento de um par de dados tenho uma probabilidade 1/36 de obter um duplo-ás.
Assim, em 24 lançamentos, terei uma probabilidade 24x1/36 de obter pelo menos um duplo-
ás.
Com este argumento, ambos os acontecimentos tinham a mesma probabilidade, igual a 2/3. Mas a experiência mostrava que o primeiro acontecimento se observava mais vezes que o segundo! Esta contradição ficou conhecida como o paradoxo do Chevalier de Méré.
De Méré questionou o filósofo Blaise Pascal sobre este problema, e Pascal resolveu-o com a ajuda do seu amigo Pierre de Fermat. Fermat era um juíz e membro do parlamento, que é conhecido hoje pelas investigações matemáticas que fazia nas horas vagas. Fermat mostrou que De Méré utilizava a regra da adição (axioma 3) para acontecimentos que não eram mutuamente exclusivos ou disjuntos. Efectivamente é possível obter um às tanto no 1º como no 2º lançamento de um dado. Além do mais, levando o argumento de De Méré um pouco mais longe, concluiríamos que a probabilidade de obter um ás em 6 lançamentos de um dado seria 6/6, ou seja 1. Alguma coisa teria que estar mal.
A questão que se punha agora, era como calcular correctamente estas probabilidades. Pascal e Fermat resolveram o problema, com um tipo de raciocínio matemático, indirecto – o que normalmente deixa os não matemáticos com o sentimento de que estão a ser enganados. Efectivamente, numa resolução directa como a proposta por Galileu (ver secção++++) afundar-nos-íamos completamente:
perdeu-se para a história, mas apresentamos seguidamente uma reconstrução. Pascal. Olhemos então em primeiro lugar para o primeiro jogo.
Fermat. Vamos a isso. A probabilidade de ganhar é difícil de calcular, pelo que vamos tentar calcular a probabilidade do acontecimento complementar: a de perder. Então
Probabildade de ganhar = 1 – probabilidade de perder
Pascal. De acordo. O jogador perde quando nenhum dos 4 dados mostrar um ás. Mas como é que calcula a probabilidade?
Fermat. Parece complicado. Vamos começar com um dado. Qual a probabilidade que o primeiro dado não mostre um ás?
Pascal. Tem que mostrar entre o 2 e o 6, pelo que essa probabilidade será 5/6.
Fermat. É isso. Agora, qual a probabilidade que os primeiros dois lançamentos não mostrem ases? Pascal. A probabilidade que o primeiro lançlamento do dado não mostre um ás é 5/6 = 0.83(3), ou
seja, podemos dizer que se espera que em 83,(3)% das vezes que se faz o primeiro lançamento não saia ás. Para que não haja ases nos dois lançamentos, esperamos que em 83,(3)% dessas vezes também não haja ás no segundo lançamento. Como 83.(3)% de 83.(3)% é 83.(3)%x83.(3)%=69,(4)%, deveremos esperar que em 69,(4)% das vezes não
haja ases nos dois lançamentos. Repare-se que 69.(4)% não é mais do que 5/6x5/6=(5/6)2,
ou seja, o produto da probabilidade de não sair ás no primeiro lançamento pela probabilidade de não sair ás no segundo lançamento.
Fermat. Então e com 3 lançamentos? Pascal. Será 5/6x5/6x5/6 = (5/6)3
Fermat. Sim. E agora com 4 lançamentos? Pascal. Deve ser (5/6)4
Fermat. Está bem. Significa que se tem uma probabilidade de cerca de 48.2% de perder. Agora Probabildade de ganhar = 100% – 48.2% = 51.8%
Fermat. Então a probabiliddae de ganhar o primeiro jogo é um pouco superior a 50%. E no que diz respeito ao segundo jogo?
Pascal. Bem, no lançamento de um par de dados, há uma possibilidade em 36 de obter um duplo- ás, e 35 possibilidades em 36 de não o obter. Pelo mesmo argumento utilizado para o primeiro jogo, em 24 lançamentos de um par de dados, a probabilidade de não obter um
duplo-ás é (35/36)24.
Fermat. Que é cerca de 50.9%. Então como esta é a probabilidade de perder, a Probabildade de ganhar = 100% – 50.9% = 49.1%
Pascal. Exactamente, o que dá uma probabilidade um pouco inferior a 50%. Cá está a razão pela qual se ganhava o segundo jogo com menos frequência que o primeiro. Mas teria de lançar