No Teorema de Riemann vimos que existe uma constantecque s ´o depende deF/K tal que para todoA ∈Div(F )comdeg(A) ≥ cvalei(A) = 0. Agora vamos especificar mais esta constante.
Teorema 2.1.19. SeA ´e um divisor deF/K comdeg(A) ≥ 2g − 1ent ˜ao
ℓ(A) = deg(A) + 1 − g
Demonstrac¸ ˜ao. Pelo teorema de Riemann-Roch temos ℓ(A) = deg(A) + 1 − g + ℓ(W − A), para algumW divisor can ˆonico. Vimos no corol ´ario (2.1.18) que deg(W ) = 2g − 2 e comodeg(A) ≥ 2g − 1temos
deg(W − A) = deg(W ) − deg(A) ≤ (2g − 2) − (2g − 1) = −1
logodeg(W − A) < 0e da´ıℓ(W − A) = 0, pelo corol ´ario (1.3.12). E o teorema segue. Observe que esta cota n ˜ao pode ser melhorada pois para o divisor can ˆonico, que tem grau uma unidade a menos, vale:
ℓ(W ) > deg(W ) + 1 − g.
pelo corol ´ario (2.1.18).
2.2
Consequ ˆencias do Teorema de Riemann-Roch
Nosso objetivo aqui ´e mostrar algumas consequ ˆencias do Teorema de Riemann-Roch. Nosso primeiro resultado apresenta uma caracterizac¸ ˜ao do g ˆenero e da classe can ˆonica de
F/K, ondeF/K segue sendo o corpo das func¸ ˜oes alg ´ebricas de g ˆenerog.
Proposic¸ ˜ao 2.2.1. Suponha queg0∈ ZeW0∈Div(F )satisfazem
ℓ(A) = deg(A) + 1 − g0+ ℓ(W0− A) (2.3)
para todoA ∈Div(F ). Ent ˜aog0= geW0 ´e divisor can ˆonico.
Demonstrac¸ ˜ao. FazendoA = 0eA = W0temos:
1 = ℓ(0) = 1 − g0+ ℓ(W0), e portanto ℓ(W0) = g0 e
Agora seja W um divisor can ˆonico de F/K. Escolha uma divisor A tal que deg(A) > max{2g − 2, 2g0 − 2}. Assim, deg(A) ≥ 2g − 1 e logo, pelo teorema (2.1.19) segue que
ℓ(A) = deg(A) + 1 − g.
E ao mesmo tempodeg(W0− A) < 0e assimℓ(W0− A) = 0, logoℓ(A) = deg(A) + 1 − g0
e assimg = g0.
Agora fazendoA = W em (2.3) temosg = ℓ(W ) = deg(W ) + 1 − g0+ ℓ(W0− W )e como
g = g0 e deg(W ) = 2g − 2 segue queℓ(W0− W ) = 1. E comodeg(W0− W ) = 0 (pois
deg(W0) = 2g0− 2 = 2g − 2 = deg W) segue queW0= W, como quer´ıamos.
A proposic¸ ˜ao a seguir ´e uma outra forma de caracterizar os divisores can ˆonicos.
Proposic¸ ˜ao 2.2.2. Um divisorB ´e can ˆonico se, e somente se,deg(B) = 2g − 2eℓ(B) ≥ g. Demonstrac¸ ˜ao. Se B ´e divisor can ˆonico, a conclus ˜ao segue do corol ´ario (2.1.18). Agora suponha que deg(B) = 2g − 2e ℓ(B) ≥ g. Da´ı, usando o teorema de Riemann-Roch (W
divisor can ˆonico qualquer):
g ≤ ℓ(B) = (2g − 2) + 1 − g + ℓ(W − B) = g − 1 + ℓ(W − B) ∴ 1 ≤ ℓ(W − B)
e comodeg(W − B) = 0ent ˜ao1 ≤ ℓ(W − B)implica queW − B ´e principal, pelo corol ´ario (1.3.12). LogoW ∼ B.
Agora, para exemplificar uma aplicac¸ ˜ao do Teorema de Riemann-Roch vamos us ´a-lo para caracterizar o corpo de func¸ ˜oes racionaisF = K(x).
Proposic¸ ˜ao 2.2.3. Para um corpo de func¸ ˜oesF/Kas seguintes condic¸ ˜oes s ˜ao equivalentes: (1) F/K ´e racional, i.e.,F = K(x)para algum x que ´e transcendente sobre o corpoK.
(2) F/K tem g ˆenero 0 e existe um divisorA ∈Div(F )comdeg(A) = 1.
Demonstrac¸ ˜ao. [(1) ⇒ (2)] No exemplo (1.3.18), no final do cap´ıtulo 1, vimos queg = 0para
F = K(x).E em (A.1.1)(c) vimos queP∞ ´e um divisor deK(x)comdeg(P∞) = 1.
[(2) ⇒ (1)] Sejag = 0eA ∈Div (F) comdeg(A) = 1. Comodeg(A) = 1 ≥ 2g − 1 = −1, ent ˜aoℓ(A) = deg(A) + 1 − g = 2 > 0. LogoL(A) 6= {0}e portanto existe0 ≤ A′ ∈ [A]. Da´ı
ℓ(A′) = ℓ(A) = 2 > 0 e assim existex ∈ L(A′)\K com (x) 6= 0e logo(x) + A′ ≥ 0. Como
A′ ≥ 0edeg(A′) = 1, para que(x) + A′ ≥ 0ocorra devemos terA′ = (x)∞. Mas ent ˜ao
35 2.2. Consequ ˆencias do Teorema de Riemann-Roch
logoF = K(x).
Observac¸ ˜ao 2.2.4. Existem corpos de func¸ ˜oes n ˜ao racionais de g ˆenero0(esses corpos n ˜ao podem conter um divisor de grau 1, conforme a proposic¸ ˜ao (2.2.3)).
Contudo seK ´e algebricamente fechado ou um corpo finito ´e poss´ıvel mostrar que sempre existe um divisor de grau 1. Sendo assim, nesses dois casos valeg = 0 ⇔ F/K ´e racional.
Nosso pr ´oximo resultado ´e uma vers ˜ao mais forte do Teorema (1.2.1) (Aproximac¸ ˜ao Fraca).
Teorema 2.2.5 (Teorema da Aproximac¸ ˜ao Forte). SejaS ( PF um subgrupo pr ´oprio dePF e
P1, · · · , Pr ∈ S. Suponha que s ˜ao dados elementosx1, · · · , xr ∈ F en1, · · · , nr ∈ Z. Ent ˜ao
existe um elementox ∈ F tal que
vPi(x − xi) = ni (i = 1, · · · , r)e
vP(x) ≥ 0 para todoP ∈ S\{P1, · · · , Pr}
Demonstrac¸ ˜ao. Considere o adeleα = (αP)P∈PF da seguinte forma
αP :=
xi paraP = Pi, i = 1, · · · , r
0 caso contr ´ario.
TomeQ ∈ PF\S. Para umm ∈ Nsuficientemente grande temos
AF = AF mQ − r X i=1 (ni+ 1)Pi ! + F
de fato, existe tal mpois, pelo teorema (1.3.17) para um divisorD de grau suficientemente grande vale0 = i(D)o que implicaAF = AF(D) + F, pelo lema (2.1.6).
Ent ˜ao existe um elementoz ∈ F comz − α ∈ AF(mQ −Pri=1(ni+ 1)Pi), isto ´e
vP(z − α) + vP(mQ) − r
X
i=1
(ni+ 1)vP(Pi) ≥ 0.
Da´ı j ´a podemos concluir que
vPi(z − xi) > ni para i = 1, · · · , r e
vP(z) ≥ 0 para P ∈ S\{P1, · · · , Pr}.
(2.4)
Tome agoray1, · · · , yr∈ FcomvPi(yi) = ni(existem poisvPi ´e sobrejetiva sobreZ∪{∞}).
vPi(y − yi) > ni para i = 1, · · · , r e
vP(y) ≥ 0 para P ∈ S\{P1, · · · , Pr}.
(2.5)
Ent ˜ao temos, parai = 1, · · · , r, pela desigualdade triangular estrita e pela equac¸ ˜ao (2.5),
vPi(y) = vPi((y − yi) + yi) = min{vPi(y − yi) > ni, vPi(yi) = ni} = ni
Fazendox := y + zobtemos
vPi(x − xi) = vPi(y + (z − xi)) = min{vPi(y) = ni, vP(z − xi) > ni} = ni,
parai − 1, · · · , r.
E paraP ∈ S\{P1, · · · , Pr}, temosvP(x) = vP(y +z) ≥ 0pelas equac¸ ˜oes (2.4) e (2.5).
Agora vamos estudar os casos em que um elemento deF tem apenas um p ´olo (de multi- plicidade qualquer). Os resultados a seguir ser ˜ao muito importantes para o cap´ıtulo 4.
Proposic¸ ˜ao 2.2.6. SejaP ∈ PF. Ent ˜ao para cadan ≥ 2g existe um elemento x ∈ F com
divisor p ´olo(x)∞= nP.
Demonstrac¸ ˜ao. Como deg((n − 1)P ) ≥ (2g − 1) e deg(nP ) ≥ 2g, pelo teorema (2.1.19) sabemos que ℓ((n − 1)P ) = (n − 1) deg(P ) + 1 − g e ℓ(nP ) = n deg(P ) + 1 − g. Assim
ℓ((n − 1)P ) < ℓ(nP )e portantoL((n − 1)P ) ( L(nP ).
Assim, sex ∈ L(nP )\L((n − 1)P )ent ˜aoxtem p ´olo em nP de ordem no m ´aximo nex
n ˜ao tem p ´olo de ordem menor ou igual n − 1. Portanto(x)∞= nP.
Definic¸ ˜ao 2.2.7. SejaP ∈ PF. Um inteiron ≥ 0 ´e chamado de ordem do p ´oloP se existe um
elementox ∈ F com(x)∞= nP. Caso contr ´arion ´e chamado uma lacuna deP.
Note que, da proposic¸ ˜ao (2.2.6) segue quen ´e a ordem de um p ´oloP se, e somente se,
ℓ((n − 1)P ) < ℓ(nP ). E tamb ´em podemos ver que o conjunto das ordens dos p ´olos deP ´e um sub-semigrupo do semigrupo aditivo deN. Para ver isso basta observar que se(x1)∞= n1P
e(x2)∞= n2Pent ˜aox1x2tem p ´olo divisor(x1x2)∞= (n1+ n2)P.
O teorema a seguir nos diz exatamente quantas lacunas possui um lugar de grau 1.
Teorema 2.2.8 (Teorema das Lacunas de Weierstrass). Suponha queF/Ktem g ˆenerog > 0
eP ´e um lugar de grau 1. Ent ˜ao existem exatamenteglacunasi1< · · · < igde P. E ainda
37 2.2. Consequ ˆencias do Teorema de Riemann-Roch
Demonstrac¸ ˜ao. Cada lacuna ´e menor que2g−1pela proposic¸ ˜ao (2.2.6). E note que sex ∈ K
ent ˜ao(x)∞= 0 = 0P para qualquerP ∈ PF. Logo0 ´e ordem do p ´oloP para todoP ∈ PF.
Sabemos quen ´e ordem de um p ´oloP se e somente seℓ((n − 1)P ) < ℓ(nP ), logoi ´e lacuna deP se e s ´o seL((i − 1)P ) = L(iP ).
Agora considere a sequ ˆencia de espac¸oS vetoriais e a sequ ˆencia formada por suas res- pectivas dimens ˜oes:
K = L(0) = L(P ) = L(2P ) = · · · = L((2g − 1)P )
↓ ↓ ↓ ↓
1 j1 j2 · · · g
(lembrando queℓ(0) = 1e que, pelo teorema (2.1.19),ℓ((2g−1)P ) = deg((2g−1)P )+1−g = g
poisdeg(P ) = 1). Observe que
dim L(iP ) ≤ dim L((i − 1)P ) + 1 ∀i = 1, · · · , 2g − 1
pois dim(ℓ(iP/(i − 1)P )) ≤ deg(iP ) − deg((i − 1)P ), pelo lema (1.3.8). Isto significa que a cada vez que as dimens ˜oesji, ji+1 n ˜ao s ˜ao iguais damos um salto de uma unidade de uma
dimens ˜ao para outra. Mas como nossa sequ ˆencia tem dimens ˜ao m ´axima igual ag, significa que s ´o podem haverg−1saltos. Como os saltos ocorrem quandoL(iP ) 6= L((i−1)P )e temos
2g − 1espac¸os na sequ ˆencia, segue que, em exatamentegdeles, temosL(iP ) = L((i − 1)P )
e portanto,glacunas de P.
E note tamb ´em que, como o conjunto das ordens dos p ´olos ´e um semigrupo aditivo, se1
fosse ordem de algum p ´olo, ent ˜aoNestaria contido nesse conjunto, logo todo natural seria ordem de p ´olo, isto ´e, n ˜ao haveriam lacunas, o que ´e um absurdo poisg > 0e vimos acima que existem exatamenteglacunas deP.
Observac¸ ˜ao 2.2.9. Suponha queK ´e algebricamente fechado. Ent ˜ao pode-se mostrar que quase todos os lugares deF/Ktem a mesma sequ ˆencia de lacunas (os quais s ˜ao chamadas de lacunas do corpo de func¸ ˜oes F/K). Tais lugares s ˜ao ditos ordin ´arios. Todo lugar n ˜ao ordin ´ario ´e chamado de Ponto de Weierstrass deF/K. Sabe-se tamb ´em que se o g ˆenero de
F/K´e maior ou igual a2ent ˜ao existe pelo menos um ponto de Weierstrass.
Para divisores comdeg(A) < 0vimos queL(A) = 0no corol ´ario (1.3.12). Por outro lado, sedeg(A) > 2g − 2ent ˜aoℓ(A) = deg(A) + 1 − g pelo teorema 2.1.19. E, na maior parte dos casos que vamos utilizar, os divisores ter ˜ao grau maior ou igual a2g − 1. Contudo, cabe a
pergunta do que podemos afirmar quando0 ≤ deg(A) ≤ 2g −2. Para responder essa quest ˜ao, segue o teorema de Clifford.
Teorema 2.2.10 (Teorema de Clifford). Para todos os divisoresA ∈DivF com0 ≤ deg(A) ≤ 2g − 2vale
ℓ(A) ≤ 1 + 1
2· deg(A)
O principal passo para a demonstrac¸ ˜ao desse resultado ´e o lema a seguir
Lema 2.2.11. Suponha queAeB s ˜ao divisores tais queℓ(A) > 0, ℓ(B) > 0. Ent ˜ao
ℓ(A) + ℓ(B) ≥ 1 + ℓ(A + B)
A demonstrac¸ ˜ao ´e direta paraℓ(A) = 0e paraℓ(W −A) = 0(apenas usando quedeg(A) = 1/2 deg(A) + 1/2 deg(A)). Para ℓ(A) > 0 e ℓ(W − A) > 0, usando o lema 2.2.11 temos
ℓ(A) + ℓ(W − A) ≥ 1 + ℓ(A + W − A) = 1 + ℓ(W ) = 1 + g. E somando com a equac¸ ˜ao que obtemos pelo Teorema de Riemann-Roch segue o resultado.