4 EQUAÇÃO DE ONDA EM UMA CASCA CILÍNDRICA FINA
4.3 Considerações sobre vibrações acústicas provocadas por jatos
Em alta pressão, um vazamento através de uma fratura na parede de um tubo gera vibrações na parede deste tubo com uma larga faixa de freqüências, Loth (2004).
Segundo Blake (1986), conforme é aumentada a velocidade do gás por um bocal na forma de fenda, a tendência para geração de tom de borda fica menos aparente, de forma que tons só podem ser gerados sob situações relativamente controladas. Conseqüentemente, as emissões acústicas são de natureza menos intensa e faixa larga. Quando a velocidade do gás no bocal fica sônica, ou seja, na pressão crítica ou acima, as características de ruído e a estrutura do jato mudam notadamente. Superimposto ao som de faixa larga está um tom acústico que é associado com a existência de um padrão celular estável com zonas de expansão e compressão ao longo do eixo do jato. Uma fotografia deste tipo de padrão induzido em um jato bidimensional é mostrada na FIG. 4.3.
FIGURA 4.3 – Fotografia Schlieren de jato blocado e propagação das ondas de som, Blake (1986).
No caso blocado, as fontes sonoras são estacionárias com referência à saída de jato, e a fonte de oscilação surge da passagem de estruturas regulares de vórtices pelas células. Conseqüentemente, os tons mais fortes são gerados quando as fases das pressões individuais emitidas de cada célula são tais que as contribuições reforçam-se umas às outras na saída do bocal. Estas realimentações de pressões impulsionam a camada de cisalhamento do jato produzindo as perturbações aerodinâmicas as quais "pulsam" as células de choque. As ondas de som emitidas são claramente visíveis como padrões
semicirculares de claro e escuro na fotografia da FIG. 4.3 para o jato de fenda, Blake (1986).
Próximo do bocal, a força da fonte será relativamente pequena, pois as instabilidades do jato ainda estão crescendo. Algumas células à frente a força diminuirá por causa da geração de desordem e perda de correlação induzida pela turbulência. As fontes acústicas mais dominantes encerram-se entre estes extremos.
Para a condição de jatos bidimensionais, gerados pela passagem do gás em uma fenda, a freqüência do som gerado é dada pela equação (4.10), sendo fs a freqüência do som em Hz, Rc é a relação de pressão crítica (Rc = 1,89 para o ar), dado pela equação (4.12), Fox & McDonald (1981) e Vennard & Street (1978), Rg é a relação entre a pressão de estagnação interna e
a pressão ambiente externa, co é a velocidade do som no meio, dada pela
equação (4.13), Sonntag (1998) e h é a altura da fenda.
(4.10)
A freqüência do som, para a condição de jatos gerados pela passagem do gás em um orifício, é dada pela equação (4.11), sendo D o diâmetro do furo.
, (4.11)
, (4.12)
sendo k a constante adiabática dada pelo quociente das capacidades caloríficas a pressão e a volume constantes.
, (4.13)
sendo R a constante do gás dada em KJ/(Kg °K) ou 103 m2/(s2 °K).
Uma vez estabelecido um vazamento, o jato supersônico do escape do gás gera energia acústica. Estas emissões acústicas são contínuas e têm um espectro de freqüência de faixa larga entre 1 kHz e 1 MkHz, a maioria do qual é
c g o s R R h c f − = .0,2 c g o s R R D c f − = .0,33 1 2 1 1 − + − = k k c k R kRT co =
confinado na porção de freqüência moderadamente alta entre 175 kHz e 750 kHz, Loth (2004).
Na FIG. 4.4 são apresentadas as curvas das freqüências dos tons gerados por um escape de gás blocado, em um orifício circular em função do diâmetro, para várias pressões acima da pressão crítica, considerando a pressão externa como sendo 1 atm. A velocidade do som no ar é adotada como sendo
c0 = 340 m/s.
FIGURA 4.4 – Freqüência em função do diâmetro para várias pressões.
Tomando a FIG. 4.4 conclui-se que:
• Para uma pressão constante, a freqüência diminui com o aumento do diâmetro do furo. Nesta condição, por exemplo 3 atm, observa-se que a freqüência varia rapidamente para a faixa de furos de pequenos diâmetros, variando mais lentamente para a faixa de furos de grandes diâmetros. Observa-se também que esta estabilidade na variação da freqüência torna-se mais rápida para pressões elevadas. • Para um diâmetro de furo constante, a freqüência diminui com o
acima da blocagem, caindo mais lentamente para pressões mais altas. Exemplo: considerando o diâmetro de 1 mm, observa-se que a variação da freqüência entre as pressões de 1,9 atm e 2 atm é muito mais acentuada que as variações de freqüências entre as pressões de 3 atm, 4 atm e 5 atm.
• Para as pressões e os diâmetros considerados na confecção deste gráfico, as freqüências variaram de valores acima do MHz até a faixa de 10 KHz.
A título de exemplo, na FIG. 4.5 são apresentadas as curvas de freqüência em função do diâmetro do furo para diferentes gases em diferentes pressões e temperaturas de trabalho.
FIGURA 4.5 – Freqüência em função do diâmetro para diferentes gases em diferentes pressões e temperaturas.
Para pressões abaixo da crítica, o jato é não blocado, neste caso segundo Blake (1986) a freqüência da onda no jato é dada pela relação:
, (4.14)
sendo, D o diâmetro do furo; SD o número de Strouhal; UJ a velocidade do jato
no bocal e f a freqüência no jato.
Segundo Blake (1986), o número de Strouhal para orifícios com bordas retangulares, varia geralmente entre 0,4 e 1,0.
Enquanto o fluxo possuir números de Reynolds com valores abaixo do valor crítico, o fluxo do jato é laminar. A geração de vórtices no jato ocorre somente para números de Reynolds acima do valor crítico. As perturbações que acontecem nos jatos são dependentes do tipo do bocal usado e da velocidade média da emanação no bocal. No caso de um furo com borda retangular, FIG. 4.6a o Reynolds crítico é 600 e para um furo com borda afiada tipo faca, FIG. 4.6b o Reynolds crítico é 500, Blake (1986).
a) b)
FIGURA 4.6 – Esboço de bordas: a) retangular; b) afiada, tipo faca.
A relação entre o número de Reynolds com a velocidade no jato, o diâmetro e a viscosidade do fluído é dada pela equação abaixo:
, (4.15)
sendo, ℜ o número de Reynolds; υ a viscosidade do fluído.
Na FIG. 4.7, é apresentada a título de exemplo, a variação da freqüência com a viscosidade para um furo constante de diâmetro D = 1 mm, supondo um SD = 0,7 e um Reynolds ℜ = 650. Nestas condições a velocidade UJ
variou de 0,065 m/s até 65 m/s, muito abaixo da velocidade co do caso blocado.
D U S f = D J υ D UJ = ℜ
FIGURA 4.7 – Variação da freqüência com a viscosidade para jato não blocado.
Nos capítulos seguintes serão apresentadas as soluções para as equações de movimento da casca cilíndrica em geometrias e condições de contornos tais, que permitam uma melhor compreensão do comportamento das ondas nas condições do problema proposto.
Co2 metano ar He H tetracloreto de carbono água querosene
5 SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO EM CILINDRO DE