Considera¸c˜oes Finais - Metodos de construção de codigos quanticos CSS e conexões entre codigo

Foram constru´ıdas novas fam´ılias de códigos CSS q-ários, onde q é uma potência de primo. Essas fam´ılias generalizam as constru¸cões de códigos CSS binários apresentadas em [3] e possuem taxa de codifica¸cão tendendo ao valor 1. Além disso, na Tabela 2.2, exibimos alguns novos códigos quânticos constru´ıdos pelo métodos propostos neste cap´ıtulo, que estendem uma fam´ılia de códigos apresentados em [19].

Cap´ıtulo

3

Constru¸c˜oes de C´odigos

CSS Derivados de

C´odigos C´ıclicos

Em rela¸cão à constru¸cão de códigos quânticos, grande parte dos trabalhos dispon´ıveis na literatura são baseados na constru¸cão do código CSS a partir de um único código clássico auto-ortogonal C, [3, 5–11, 13–15, 17–20, 26–31].

Por outro lado, poucos trabalhos dispon´ıveis na literatura utilizam dois códigos clássi- cos (não necessariamente auto-ortogonais) para a obten¸cão de códigos CSS. Exemplos de trabalhos neste contexto são [4, 16, 25].

Em [25] foram constru´ıdos códigos CSS a partir de dois códigos clássicos LDPC e em [4,16] foram estabelecidas as condi¸cões de existência para códigos quânticos BCH.

O objetivo principal do cap´ıtulo é propor seis novos métodos de constru¸cão de fam´ılias de bons códigos CSS q-ários (q é potência de primo), onde cada código CSS é derivado de dois códigos clássicos c´ıclicos distintos, não necessariamente auto-ortogonais. Para explicarmos um pouco mais detalhadamente tais constru¸cões faremos um breve resumo.

O primeiro método de constru¸cão sendo proposto é baseado na constru¸cão de códigos c´ı- clicos (clássicos) binários com comprimento n = 2t+3_{− 1, para garantir que o código quântico}

CSS resultante seja capaz de corrigir erros quˆanticos arbitr´arios em t qubits. Mais espe- cificamente, utilizaremos essencialmente o Teorema 3.1.10 encontrado em [33]: para q = 2 e n = 2m_{− 1, as classes laterais C}

1,C3,C5,· · · , Ci s˜ao todas distintas e cada uma cont´em

exatamente m elementos, desde que i < 2⌈m/2⌉_{+ 1, onde}_{⌈x⌉ denota o menor inteiro maior ou}

igual a x, para garantir a existência de um número suficientemente grande de classes laterais distintas, cada uma possuindo cardinalidade igual a t + 3, permitindo a gera¸cão de códigos c´ıclicos (clássicos) C1, C2 e C2⊥ de tal modo que C1 e C2⊥ corrijam t erros e que também

seja verdadeira a inclus˜ao C2 $ C1. Depois destes procedimentos, aplicaremos a constru¸c˜ao

CSS. Além disso, demonstramos que as taxas de codifica¸cão destas novas fam´ılias de códigos

CSS tendem para o valor 1.

O segundo método de constru¸cão é baseado na constru¸cão de códigos c´ıclicos (clássicos) q- ários com comprimentos n = qt+1_{− 1, para garantir que o código quântico CSS seja capaz de}

corrigir erros quânticos arbitrários em t qudits. Utilizaremos dois lemas contidos em [16] para garantir a existência de um número suficientemente grande de classes laterais ciclotômicas distintas, todas estas com cardinalidade t + 1, para que seja poss´ıvel a constru¸cão de códigos c´ıclicos (clássicos) C1, C2 e C2⊥ de tal forma que C1 e C2⊥ corrijam t erros e que também seja

verdadeira a inclus˜ao C2 $ C1. Depois disso, aplicaremos a constru¸c˜ao CSS. Analogamente

ao primeiro método de constru¸cão sendo proposto, as taxas das novas fam´ılias de códigos CSS derivadas do segundo método de constru¸cão proposto também tendem ao valor 1.

O terceiro método de constru¸cão é baseado na constru¸cão de códigos c´ıclicos q-ários com comprimentos q2_{−1, onde q é uma potência de primo maior ou igual a 5. A principal diferen¸ca}

entre esse método e os anteriores é que são demonstradas condi¸cões especiais, para este caso, que produzem um aumento do número de classes laterais distintas, aprimorando-se, então, os parâmetros das fam´ılias de códigos quânticos CSS geradas por tal método. Em outras palavras, os resultados demonstrados em [16] restringem a quantidade de classes laterais ciclotômicas distintas. Tendo com base tais considera¸cões, é claro que tais códigos também possuem taxa de codifica¸cão tendendo ao valor 1.

No quarto método de constru¸cão, são geradas novas fam´ılias de códigos quânticos com parâmetros [[3m_{− 1, k ≥ 3}m_{− 8m − 3, ≥ 8]]}

3, [[n, k ≥ n − 2m − 2, d ≥ 3]]3,

[[n, k _{≥ n − 4m, ≥ 4]]}₃, [[n, k_{≥ n − 4m − 2, ≥ 5]]}₃e [[n, k _{≥ n − 6m − 2, d ≥ 6]]}₃, respectiva- mente. Este método de constru¸cão é um tipo especial de constru¸cão que também gera bons códigos quânticos, devido à propriedades convenientes que algumas classes laterais possuem. Tais fam´ılias de códigos 3-ários também possuem taxa de codifica¸cão tendendo ao valor 1.

O quinto método de constru¸cão gera novas fam´ılias de bons códigos quânticos p-ários (p primo) com parâmetros [[p3_{− 1, p}3_{− 21, ≥ 5]]}

Finalmente, o sexto método de constru¸cão consiste na constru¸cão de códigos CSS a partir de códigos c´ıclicos (clássicos) não primitivos. Tal método de constru¸cão também gera códigos quânticos q-ários cujos comprimentos das palavras-código também são próximos ao limitante de Singleton.

O cap´ıtulo está organizado como segue. Na Se¸cão 3.1, apresentamos os conceitos preliminares sobre corpos, classes ciclotômicas e códigos c´ıclicos. Na Se¸cão 3.2, apresentamos nossas contribui¸cões: estabelecemos novos métodos de constru¸cão de códigos CSS derivados de códigos c´ıclicos clássicos, ou seja, os seis métodos de constru¸cão aqui citados. Na Se- ¸cão 3.3, exibimos tabelas contendo parâmetros de alguns bons códigos CSS gerados pelos métodos propostos. Na Se¸cão 3.4 comparamos esses parâmetros com parâmetros dos códigos dispon´ıveis na literatura e, na Se¸cão 3.5, relatamos as considera¸cões finais do cap´ıtulo.

3.1 Conceitos Preliminares

Esta se¸cão tem por objetivo apresentar uma revisão dos conceitos sobre códigos c´ıclicos, necessários para o desenvolvimento deste trabalho. Para maiores detalhes sobre esses conceitos, sugerimos as referências [33, 35, 36]. Todos os resultados apresentados nesta se¸cão são encontrados em [33].

Seja Fq[x] o anel de polinˆomios com coeficientes num corpo Fq. Considere o anel quociente

Rn= Fq[x]/(xn− 1), consistindo das classes de res´ıduos do anel Fq[x] m´odulo (xn− 1). Cada

polinˆomio de grau menor ou igual a (n− 1) pertence a classes residuais diferentes, donde s˜ao considerados representantes das mesmas.

Considere β _{∈ F}q. Pelo Teorema de Fermat, podemos afirmar que cada β ∈ Fq satisfaz a

equa¸c˜ao

xq_{− x = 0.}

Esse polinômio é mônico, ou seja, possui coeficiente l´ıder igual a 1, e possui coeficientes no corpo Fp. Mas β pode ser raiz de uma equa¸cão polinomial de menor grau. Isso origina a

seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 3.1.1 [33] Seja q = pm_{, onde p é um n´}_{umero primo. O polinômio minimal sobre}

Fp de β é o polinômio mônico de menor grau, M (x), com coeficientes em Fp tal que M(β) =

Evidentemente, o polinômio minimal é sempre irredut´ıvel. Podemos calcular polinômios irredut´ıveis utilizando o Teorema 3.1.1, dado a seguir:

Teorema 3.1.1 [33] xpm

− x = produto de todos polinˆomios mˆonicos e irredut´ıveis sobre Fp, cujo grau divide m.

Segue a defini¸c˜ao de classes laterais ciclotˆomicas:

Defini¸cão 3.1.2 [33] A opera¸cão de multiplica¸cão por p divide os inteiros módulo (pm_{− 1)}

em conjuntos denominados classes laterais ciclotˆomicas mod (pm _{− 1). As classes laterais}

ciclotˆomicas contendo um elemento s s˜ao definidas por {s, ps, p2s, p3s,_{· · · , p}ms−1_s_},

onde ms ´e o menor inteiro positivo tal que

Se s é o menor número na classe lateral, a classe lateral é denotada por Cs.

Podemos pensar também que um código C é c´ıclico se é um código linear e se qualquer deslocamento c´ıclico de uma palavra-código é também uma palavra código, isto é, se (c0, c1,· · · , cn−1) ∈ C então (cn−1, c0,· · · , cn−2) ∈ C. Geralmente identifica-se cada palavra-

c´odigo (c0, c1,· · · , cn−1) ∈ Fqn, com o polinˆomio de coeficientes ci ∈ Fq, a saber, c(x) =

c0+ c1x +· · · + cn−1xn−1.

O Teorema 3.1.2 enumera algumas propriedades dos c´odigos c´ıclicos:

Teorema 3.1.2 [33] Seja C um ideal n˜ao nulo em Rn, ou seja, um c´odigo c´ıclico de com-

primento n. Ent˜ao

(a) Existe um único polinômio mônico g(x) com grau minimal em C. (b) C =hg(x)i, isto é, g(x) é um polinômio gerador de C.

(d) Qualquer c(x) _{∈ C pode ser escrito unicamente como c(x) = f(x)g(x) em F [x], onde} f (x)_{∈ F [x] tem grau menor que n − r, r = ∂g(x). A dimensão do código C é igual a n − r.} Assim, a mensagem f (x) se torna a palavra-código f (x)g(x).

(e) Se g(x) = g0+ g1x +· · · + grxr, ent˜ao C ´e gerado como subespa¸co de Fn, pelas linhas da

matriz geradora T =        g0 g1 g2 · · · gr 0 0 0 · · 0 0 _g₀ _g₁ _g₂ _· _· _· _· _· _g_r 0 0 _{· ·} 0 0 0 _g₀ _g₁ _g₂ _· _· _· _· _· _g_r 0 _{· ·} 0 · · · · · · 0 0 _· _· _· 0 _g0 g1 g2 · · · gr        .

Pelo Teorema 2.1.3, sabemos que o código que possui polinômio gerador h(x) é equivalente ao código dual C⊥_{. Esse fato será utilizado exaustivamente neste cap´ıtulo, onde considerare-}

mos o código c´ıclico C2⊥ como sendo o código gerado pelo polinômio h(x) = (xn− 1)/g(x).

Suponha agora que C seja um c´odigo BCH, sobre o corpo Fq, de comprimento n = qm− 1

e distˆancia de projeto δ. Com essa nota¸c˜ao, temos:

Teorema 3.1.3 [33] Para q = 2 e n = 2m _{− 1, as classes laterais C}

1,C3,C5,· · · , Ci s˜ao

todas distintas e cada uma cont´em exatamente m elementos, desde que i < 2⌈m/2⌉+ 1,

onde ⌈x⌉ denota o menor inteiro maior ou igual a x.

O Teorema 3.1.3 será uma ferramenta fundamental para a realiza¸cão do primeiro método de constru¸cão proposto neste cap´ıtulo.

No documento Metodos de construção de codigos quanticos CSS e conexões entre codigos quanticos e matroides (páginas 59-64)