Considere as retas do IR 3 dadas por: r :

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

5. Considere as retas do IR 3 dadas por: r :

x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Reversas n˜ao ortogonais.

(B) Reversas ortogonais.

(D) Paralelas.

(E) Concorrentes ortogonais.

(F) Coincidentes.

6.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entrer es. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

7.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marque d². (0.750, -0.750)

8.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro√

3d.(1.000, -1.000)

Tipo da prova: 33 Powered byMIXnFIX P´agina: 0

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F G

A B C D E F

8 V-F

A B C D E F G H

1.

Seja v= (1,2,−2); qual dever´a ser o valor det >0 para que o vetortvtenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)

2.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marqued². (0.750, -0.750)

3.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q ∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entreres. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

4.

Considere as esferas de equa¸cões: (x−1)²+(y+1)²+ (z−2)²= 4ex²+ (y−1)²+ (z−1)²= 1. Considere o plano que contém a circunferência que é interse¸cão das duas esferas. Sedé a distância desse plano para a origem, então marque o inteiro1/d². (1.000, -1.000)

5.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro √

3d.(1.000, -1.000)

6.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9 e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Seja r a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A reta r intersectaπ num ponto exterior `a

cir-cunferˆenciaC e n˜ao intersecta a esfera.

(B) A retarn˜ao intersectaπmas intersecta a esfera.

(D) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCmas ainda intersecta a esfera.

(E) A retarn˜ao intersecta nem o plano nem a esfera.

(F) A retarintersectaπnum ponto interior à circun-ferênciaC mas não passa pelo centro da esfera.

(G) A reta r intersecta π num ponto interior `a cir-cunferˆenciaCe passa pelo centro da esfera.

7.

Considere as retas do IR³ dadas por: r : x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Reversas n˜ao ortogonais.

(B) Reversas ortogonais.

(D) Concorrentes ortogonais.

(E) Coincidentes.

(F) Concorrentes n˜ao ortogonais.

8.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(A) Se somarmos as equa¸cões paramétricas de duas retas do espa¸co, de forma que o lado direito da coordenada x de uma reta é somado ao lado direito da coordenada x da outra, e de forma análoga parayez, então encontraremos a forma paramétrica do plano que as contém.

(B) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

(D) Podemos dizer que(u×v)×w=−w×(u×v), e que tamb´em(u×v)×w=u×(v×w).

(E) Se ue v são vetores unitários, entãohu, vié o cosseno do menor ângulo entreuev.

(F) ´E f´acil mostrar que||u×v||=||u||||v||.

(G) Considere duas retas reversas r e s. Considere também dois planos não paralelos entre si, tais que cada um contém uma reta. Então pelo menos uma das retas r ou s, deverá concorrer com a reta que é interse¸cão dos dois planos.

(H) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo ponto P, cujos vetores diretores são: u, v ew. Se acontecer dew=k₁u+k₂v, então as três retas são coplanares.

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Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

A B C D E F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 V-F

A B C D E F G H

A B C D E F G

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.

Considere as retas do IR³ dadas por: r : x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Reversas n˜ao ortogonais.

(B) Paralelas.

(D) Concorrentes n˜ao ortogonais.

(E) Reversas ortogonais.

(F) Concorrentes ortogonais.

2.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marqued². (0.750, -0.750)

3.

Seja v= (1,2,−2); qual dever´a ser o valor det >0 para que o vetortvtenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)

4.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q ∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entreres. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

5.

6.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(A) Podemos dizer que(u×v)×w=−w×(u×v), e que tamb´em(u×v)×w=u×(v×w).

(B) ´E f´acil mostrar que ||u×v||=||u||||v||.

(D) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

(E) Considere duas retas reversas r e s. Considere também dois planos não paralelos entre si, tais que cada um contém uma reta. Então pelo menos uma das retas r ou s, deverá concorrer com a reta que é interse¸cão dos dois planos.

(F) Se somarmos as equa¸cões paramétricas de duas retas do espa¸co, de forma que o lado direito da coordenada x de uma reta é somado ao lado direito da coordenada x da outra, e de forma análoga parayez, então encontraremos a forma paramétrica do plano que as contém.

(G) O valor absoluto do produto misto entreu,vew equivale ao produto entre||u×v||e||proj_u×v^w ||.

(H) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo ponto P, cujos vetores diretores são: u, v ew. Se acontecer dew=k1u+k2v, então as três retas são coplanares.

7.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Sejar a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A retarintersectaπnum ponto interior à circun-ferênciaC mas não passa pelo centro da esfera.

(B) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCe ainda tangencia a esfera.

(D) A retarn˜ao intersectaπmas intersecta a esfera.

(E) A reta r intersecta π num ponto interior `a cir-cunferˆenciaCe passa pelo centro da esfera.

(F) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCmas ainda intersecta a esfera.

(G) A retarn˜ao intersecta nem o plano nem a esfera.

8.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro√

3d.(1.000, -1.000)

Tipo da prova: 35 Powered byMIXnFIX P´agina: 0

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F

5 V-F

A B C D E F G H

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F G

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.

Seja v= (1,2,−2); qual dever´a ser o valor det >0 para que o vetortvtenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)

2.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q ∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entreres. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

3.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marqued². (0.750, -0.750)

4.

Considere as retas do IR³ dadas por: r : x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Paralelas.

(B) Coincidentes.

(D) Reversas n˜ao ortogonais.

(E) Reversas ortogonais.

(F) Concorrentes n˜ao ortogonais.

5.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(A) Podemos dizer que(u×v)×w=−w×(u×v), e que tamb´em(u×v)×w=u×(v×w).

(B) O valor absoluto do produto misto entreu,vew equivale ao produto entre||u×v||e||proj_u×v^w ||.

(C) Se somarmos as equa¸cões paramétricas de duas retas do espa¸co, de forma que o lado direito da coordenada x de uma reta é somado ao lado direito da coordenada x da outra, e de forma análoga parayez, então encontraremos a forma paramétrica do plano que as contém.

(D) Se uev são vetores unitários, então hu, vié o cosseno do menor ângulo entreuev.

(E) ´E f´acil mostrar que||u×v||=||u||||v||.

(F) Considere duas retas reversas r e s. Considere também dois planos não paralelos entre si, tais que cada um contém uma reta. Então pelo menos uma das retas r ou s, deverá concorrer com a reta que é interse¸cão dos dois planos.

(G) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo ponto P, cujos vetores diretores são: u, v ew. Se acontecer dew=k1u+k2v, então as três retas são coplanares.

(H) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

6.

7.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Sejar a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A retarintersectaπnum ponto interior à circun-ferênciaC mas não passa pelo centro da esfera.

(B) A retarn˜ao intersecta nem o plano nem a esfera.

(D) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCe ainda tangencia a esfera.

(E) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCmas ainda intersecta a esfera.

(F) A reta r intersecta π num ponto interior `a cir-cunferˆenciaCe passa pelo centro da esfera.

(G) A reta r intersecta π num ponto exterior à cir-cunferênciaCe não intersecta a esfera.

8.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro√

3d.(1.000, -1.000)

Tipo da prova: 36 Powered byMIXnFIX P´agina: 0

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

A B C D E F G

2 V-F

A B C D E F G H

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9 e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Seja r a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A reta r intersectaπ num ponto exterior `a

cir-cunferˆenciaC e n˜ao intersecta a esfera.

(B) A retarn˜ao intersectaπmas intersecta a esfera.

(D) A retarintersectaπnum ponto interior à circun-ferênciaC mas não passa pelo centro da esfera.

(E) A retar intersecta π num ponto interior `a cir-cunferˆenciaC e passa pelo centro da esfera.

(F) A reta r intersectaπ num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaC mas ainda intersecta a esfera.

(G) A retarn˜ao intersecta nem o plano nem a esfera.

2.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(A) Se uev são vetores unitários, então hu, vié o cosseno do menor ângulo entreuev.

(B) ´E f´acil mostrar que ||u×v||=||u||||v||.

(D) Considere duas retas reversas r e s. Considere também dois planos não paralelos entre si, tais que cada um contém uma reta. Então pelo menos uma das retas r ou s, deverá concorrer com a reta que é interse¸cão dos dois planos.

(E) O valor absoluto do produto misto entreu,vew equivale ao produto entre||u×v||e||proj_u×v^w ||.

(F) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

(G) Se somarmos as equa¸cões paramétricas de duas retas do espa¸co, de forma que o lado direito da coordenada x de uma reta é somado ao lado direito da coordenada x da outra, e de forma análoga parayez, então encontraremos a forma paramétrica do plano que as contém.

(H) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo pontoP, cujos vetores diretores são: u, vew. Se acontecer dew=k1u+k2v, então as três retas são coplanares.

3.

4.

Sejav = (1,2,−2); qual dever´a ser o valor de t >0 para que o vetortv tenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)

5.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marque d². (0.750, -0.750)

6.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entrer es. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

7.

^Considere ^as ^retas ^do ^IR³ ^dadas ^por: ^r ^:

x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Reversas n˜ao ortogonais.

(B) Paralelas.

(D) Concorrentes ortogonais.

(E) Coincidentes.

(F) Concorrentes n˜ao ortogonais.

8.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro√

3d.(1.000, -1.000)

Tipo da prova: 37 Powered byMIXnFIX P´agina: 0

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

A B C D E F G

2 V-F

A B C D E F G H

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F

1.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9 e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Seja r a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A retar intersecta π num ponto interior `a

cir-cunferˆenciaC e passa pelo centro da esfera.

(B) A retarintersectaπnum ponto interior à circun-ferênciaC mas não passa pelo centro da esfera.

(D) A reta r intersectaπ num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaC e ainda tangencia a esfera.

(E) A retarn˜ao intersectaπmas intersecta a esfera.

(F) A reta r intersectaπ num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaC mas ainda intersecta a esfera.

(G) A retarn˜ao intersecta nem o plano nem a esfera.

2.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(A) ´E f´acil mostrar que ||u×v||=||u||||v||.

(B) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

(D) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo pontoP, cujos vetores diretores são: u, vew. Se acontecer dew=k₁u+k₂v, então as três retas são coplanares.

(E) O valor absoluto do produto misto entreu,vew equivale ao produto entre||u×v||e||proj_u×v^w ||.

(H) Podemos dizer que(u×v)×w=−w×(u×v), e que tamb´em(u×v)×w=u×(v×w).

3.

4.

Sejav = (1,2,−2); qual dever´a ser o valor de t >0 para que o vetortv tenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)

5.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marque d². (0.750, -0.750)

6.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entrer es. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

7.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro√

3d.(1.000, -1.000)

8.

Considere as retas do IR³ dadas por: r : x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Coincidentes.

(B) Reversas n˜ao ortogonais.

(D) Concorrentes n˜ao ortogonais.

(E) Reversas ortogonais.

(F) Concorrentes ortogonais.

Tipo da prova: 38 Powered byMIXnFIX P´agina: 0

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

A B C D E F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 V-F

A B C D E F G H

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F G

1.

Considere as retas do IR³ dadas por: r : x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Concorrentes ortogonais.

(B) Reversas ortogonais.

(D) Concorrentes n˜ao ortogonais.

(E) Reversas n˜ao ortogonais.

(F) Paralelas.

2.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marqued². (0.750, -0.750)

3.

Seja v= (1,2,−2); qual dever´a ser o valor det >0 para que o vetortvtenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)

4.

5.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(A) O valor absoluto do produto misto entreu,vew equivale ao produto entre||u×v||e||proj_u×v^w ||.

(B) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

(C) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo pontoP, cujos vetores diretores são: u, vew. Se acontecer dew=k₁u+k₂v, então as três retas são coplanares.

(E) Podemos dizer que(u×v)×w=−w×(u×v), e que tamb´em(u×v)×w=u×(v×w).

(G) Se ue v são vetores unitários, entãohu, vié o cosseno do menor ângulo entreuev.

(H) ´E f´acil mostrar que||u×v||=||u||||v||.

6.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entrer es. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

7.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro√

3d.(1.000, -1.000)

8.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Sejar a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A reta r intersecta π num ponto interior `a

cir-cunferˆenciaCe passa pelo centro da esfera.

(B) A reta r intersecta π num ponto exterior à cir-cunferênciaCe não intersecta a esfera.

(D) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCmas ainda intersecta a esfera.

(E) A retarintersectaπnum ponto interior à circun-ferênciaC mas não passa pelo centro da esfera.

(F) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCe ainda tangencia a esfera.

(G) A retarn˜ao intersectaπmas intersecta a esfera.

Tipo da prova: 39 Powered byMIXnFIX P´agina: 0

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 V-F

A B C D E F G H

A B C D E F G

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.

Seja v= (1,2,−2); qual dever´a ser o valor det >0 para que o vetortvtenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)

2.

Considere as retas do IR³ dadas por: r : x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Concorrentes ortogonais.

(B) Concorrentes n˜ao ortogonais.

(D) Reversas ortogonais.

(E) Coincidentes.

(F) Reversas n˜ao ortogonais.

3.

4.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marqued². (0.750, -0.750)

5.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(B) Podemos dizer que(u×v)×w=−w×(u×v), e que tamb´em(u×v)×w=u×(v×w).

(D) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo pontoP, cujos vetores diretores são: u, vew. Se acontecer dew=k₁u+k₂v, então as três retas são coplanares.

(E) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

(G) O valor absoluto do produto misto entreu,vew equivale ao produto entre||u×v||e||proj_u×v^w ||.

(H) Se ue v são vetores unitários, entãohu, vié o cosseno do menor ângulo entreuev.

6.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Sejar a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A retarn˜ao intersectaπmas intersecta a esfera.

(B) A reta r intersecta π num ponto exterior à cir-cunferênciaCe não intersecta a esfera.

(D) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCe ainda tangencia a esfera.

(E) A reta r intersecta π num ponto interior `a cir-cunferˆenciaCe passa pelo centro da esfera.

(F) A retarn˜ao intersecta nem o plano nem a esfera.

(G) A reta r intersecta π num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaCmas ainda intersecta a esfera.

7.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro√

3d.(1.000, -1.000)

8.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entrer es. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

Tipo da prova: 40 Powered byMIXnFIX P´agina: 0

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Inform´atica

Algebra Vetorial e Linear Para Computa¸c˜´ ao-2010.1 Primeiro Exerc´ıcio Escolar - 13/04/2010

Nome: Identifica¸c˜ao:

CONTROLE MIXNFIX

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IDENTIFICAÇÃO ALUNO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F G

3 V-F

A B C D E F G H

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.

Dadas as duas retas do espa¸co: r:







x= 1 + 2t y= 1−t z=−1 +t

x+y−z= 2

2x−y+ 2z= 1 , encontred, a distˆancia entre as duas. Ent˜ao marque o inteiro √

3d.(1.000, -1.000)

2.

Considere a esfera de equa¸cãox²+y²+z² = 9 e o planoπde equa¸cão: 2x+y−3z−3 = 0. Chame de C a circunferência que é interse¸cão da esfera com o plano. Seja r a reta dada por:







x= 2−2t y= 4−3t z=−1 +t

com t∈IR. Podemos afirmar que: (1.250, -1.250) (A) A retarn˜ao intersecta nem o plano nem a esfera.

(B) A retarintersectaπnum ponto interior à circun-ferênciaC mas não passa pelo centro da esfera.

(D) A retar intersecta π num ponto interior `a cir-cunferˆenciaC e passa pelo centro da esfera.

(E) A reta r intersectaπ num ponto exterior à cir-cunferênciaC e não intersecta a esfera.

(F) A reta r intersectaπ num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaC mas ainda intersecta a esfera.

(G) A reta r intersectaπ num ponto exterior `a cir-cunferˆenciaC e ainda tangencia a esfera.

3.

Responda V ou F: (3.000, -3.000)

(A) ´E f´acil mostrar que ||u×v||=||u||||v||.

(B) Considere três retas do espa¸co concorrentes no mesmo pontoP, cujos vetores diretores são: u, vew. Se acontecer dew=k₁u+k₂v, então as três retas são coplanares.

(C) Considere duas retas reversas r e s. Considere também dois planos não paralelos entre si, tais que cada um contém uma reta. Então pelo menos uma das retas r ou s, deverá concorrer com a reta que é interse¸cão dos dois planos.

(D) Se uev são vetores unitários, então hu, vié o cosseno do menor ângulo entreuev.

(E) Podemos dizer que(u×v)×w=−w×(u×v), e que tamb´em(u×v)×w=u×(v×w).

(F) O valor absoluto do produto misto entreu,vew equivale ao produto entre||u×v||e||proj_u×v^w ||.

(G) Na forma paramétrica de um plano, os dois ve-tores utilizados para gerarem as dire¸cões do plano têm que ser ortogonais entre si.

(H) Se somarmos as equa¸cões paramétricas de duas retas do espa¸co, de forma que o lado direito da coordenada x de uma reta é somado ao lado direito da coordenada x da outra, e de forma análoga parayez, então encontraremos a forma paramétrica do plano que as contém.

4.

5.

Considere as retas do IR³ dadas por: r : x+ 2y−z= 3

3x−y+z= 1 e s :

x+y−z= 3 3x+y−2z= 7 . Podemos afirmar que estas duas retas s˜ao: (1.250, -1.250)

(A) Concorrentes n˜ao ortogonais.

(B) Paralelas.

(D) Coincidentes.

(E) Reversas ortogonais.

(F) Reversas n˜ao ortogonais.

6.

Considere a reta s :







x=−1−2t y= 1−t z=−1 + 2t

. Se d é a distância desà origem, então marque d². (0.750, -0.750)

7.

Considere as retas do IR²: r :

x= 1 + 3t y= 2 + 4t e s:

x= 2 + 4q

y= 2 + 3q , onde t, q∈IR. Considere a reta pque ´e a bissetriz do menor ˆangulo entrer es. Esta reta passa por um ponto de abscissa 17

7 , e cuja

orde-nada ´e: (1.000,

-1.000)

8.

^Seja^v ^{= (1,}^2,−2); qual dever´a ser o valor de t >0 para que o vetortv tenha o triplo do tamanho do ve-toru= (2,−1,3)? Assinalet². (0.750, -0.750)