CONSTRUÇÃO COM RÉGUA E COMPASSO DA BASE

Para construirmos com régua e compasso esta base abaixo, que se refere à pavimentação da Figura 34, é necessário construir 3 bissetrizes da base eqüilátera.

Figura 29 Por D, um dos pontos médios dos lados,

construir semi-retas inclinadas a 45º, determinando nas outras duas bissetrizes os pontos E e F . Baixar perpendiculares aos dois lados mais próximos da base eqüilátera. Ficam formadas quatro regiões que poderão ser coloridas com até quatro cores (x,y,k,w). Esta base gera uma pavimentação com 2 tipos de nós, cada um com 3 cores. Ver Figura 35.

Todos os dodecágonos serão de cor w e todos os quadrados de cor k, enquanto os hexágonos terão cores x e y.

3.5 CONSTRUÇÃO DA BASE CALEIDOSCÓPICA DA PAVIMENTAÇÃO (4,6,12) NO SOFTWARE CABRI GÉOMÈTRE II

Apresentamos, a seguir, a construção da base que gera a pavimentação (4,6,12). Depois de construída a base, utilizaremos a função “macro” para obtermos fractal. A utilidade da “macro” surge quando há necessidade de se construir uma seqüência de construções interdependentes. A macro é útil para criar novas ferramentas que constroem objetos únicos ou executam tarefas repetitivas.

a) Construir um triângulo eqüilátero ABC.

-Criar um segmento no terceiro botão da caixa de ferramentas e nomear de AB, através do décimo botão (Rótulo).

-Criar duas circunferências; uma no ponto A e outra no ponto B, com raio do tamanho do segmento. Para o Cabri Géomètre II não existe o ponto de intersecção das duas circunferências, é preciso criá-lo. Há uma opção para isto no segundo botão da caixa de ferramenta (intersecção de dois objetos). Nomear este ponto de C.

-Clicar no décimo primeiro botão da caixa de ferramentas, selecionar a opção Esconder/Mostrar e, em seguida, clicar sobre os objetos, permanecendo somente os pontos A, B e C.

-Clicar no terceiro botão da caixa de ferramentas, selecionar a opção polígono e, em seguida, clicar sobre os pontos A, B e C.

Obs: Não utilizaremos a opção polígono regular, no terceiro botão, para a construção do triângulo eqüilátero. Se a utilizássemos, não poderíamos explorar os conceitos de Geometria implícitos na construção do triângulo eqüilátero.

b) Construir a bissetriz do ângulo BAC no quinto botão da caixa de ferramentas (ponto- bissetriz). Clicar em B, A e C; a bissetriz do ângulo ABC clicar em A,B e C, e a bissetriz do ângulo ACB clicar e A, C e B.

c) Construir as bissetrizes dos ângulos LDA e LDB, obtendo os pontos E e F ( os pontos E e F, para o Cabri, não existem, é preciso criá-los). Para isso, usar a opção no segundo botão.

Figura 29 d) Construir retas perpendiculares (no quinto

botão, reta perpendicular). Pelo ponto E traçar uma reta perpendicular ao lado AC, pelo ponto F traçar uma reta perpendicular ao lado BC, obtendo os pontos G e H, os quais devem ser criados através da opção no segundo botão (intersecção de dois objetos).

e) Construir retas perpendiculares (no quinto botão reta perpendicular) pelo ponto E traçar uma reta perpendicular ao lado AB; pelo ponto F traçar uma reta perpendicular ao lado AB obtendo os pontos I e J.

f) Construir os polígonos AIEG, IEFJ, BHFJ e CGEFH (no terceiro botão polígono). g) Selecionar uma cor na paleta de cores, (na caixa de ferramentas, último botão)

para preencher cada polígono construído. Após escolher e selecionar a cor, clicar no polígono para que ele seja colorido.

h) Agora, vamos definir uma “macro” para execução do fractal. Selecionar na caixa de ferramentas Macro, para que ela fique disponível para uso. Selecionar Objetos Iniciais na caixa de ferramentas (sétimo botão). Mover o + em direção da figura até aparecer a mensagem Este polígono clicar para selecionar o triângulo como o objeto inicial. O objeto aparentará um contorno marcado, indicando que está selecionado. Selecionar Objetos Finais na caixa de ferramentas Macro. Mover + em direção da figura até aparecer a mensagem Este polígono. Clicar para selecionar os polígonos AIEG, IEFJ, BHFJ e CGEFH como objetos finais.

Agora, podemos definir a macro. Selecionar a ferramenta Definir Macro na caixa de ferramenta Macro. Aparecerá uma caixa de diálogos, para que seja nomeada a macro. No nosso caso, nomeamos de base (4,6,12) essa macro.

i) Selecionar na caixa de ferramentas (sexto botão), Simetria Axial. Mover o + em direção da figura até aparecer a mensagem Este polígono. Clicar para selecionar o triângulo e obter o simétrico em relação aos lados AC, BC e AB. Dessa forma, aparecerão três novos triângulos (1ª,2ª e 3ª); ver Figura 38.

j) Selecionar a macro criada na caixa de ferramentas e clicar sobre os três novos triângulos.

Deste modo, suponhamos a medida do lado da base geradora igual a l, então a primeira base transformada conterá quatro bases geradoras cujos lados

medem 2 l

(Figura 38); a segunda base transformada terá

nove bases geradoras (Figura 39), as quais têm lado de

tamanho 3 l

; e assim, sucessivamente, até a n-ésima base

transformada, quando o lado das bases geradoras será de

tamanho n l . 2ª ª 3 1ª C B A Figura 29 9ª 8ª 7ª 6ª 5ª 4ª 3ª 2ª 1ª Figura 29

Repetir o processo de simetria axial e macro quantas vezes quiser (tender ao infinito). Conseqüentemente, obteremos o Fractal dividindo o “triângulo base” formador das bases transformadas, conforme o número de réplicas a serem colocadas em seu interior.

Vamos considerar a base (4,6,12) para fazermos iterações (bases transformadas), dando origem a um Fractal.

A construção dessas bases foi realizada através do software Cabri Géomètre II, como mostramos anteriormente. Notar que a imagem contida no retângulo branco são reduções da base geradora.

Base Geradora 1ª Transformada 2ª Transformada

Figura 29

Se continuarmos assim, progressivamente, construindo bases transformadas, obteremos um Fractal que é uma forma geométrica fragmentada que pode ser subdividida em partes, e cada parte será uma cópia reduzida da forma toda, que no nosso caso é a base geradora.

3º Transformada ... ... Figura 29 Todos os triângulos semelhantes a este, se ampliados por um fator constante M, serão auto- similares ao da base geradora

... Todos os triângulos semelhantes a este, se ampliados por um fator constante M, serão auto- similares ao da base geradora

Logo, para obtermos um Fractal da base (4,6,12) basta considerarmos a auto- similaridade. Assim, quando obtemos um número n de bases transformadas, qualquer que seja o triângulo retirado da base transformada será semelhante à base geradora. Portanto, conseguiremos obter Fractais através das bases transformadas de pavimentações que podem ser visualizadas em caleidoscópio. A base geradora seria o iniciador do Fractal; as subseqüentes são as bases transformadas que vão gerar os Fractais.

Mostraremos abaixo mais dois exemplos de Fractais obtidos de bases caleidoscópicas: