Apesar de premissas já corroboradas por estudos empíricos, e.g., Ball & Roma (1994), o modelo de Black-Scholes é o mais utilizado pelos traders de opções devido a sua rapidez e simplicidade. No entanto, para contornar a premissa de volatilidade constante, é normal observar uma matriz de volatilidades implícitas como forma de lidar com as imperfeições do modelo. Em uma dimensão, temos os preços de exercício das opções, e na outra as respectivas maturidades. Essas dimensões normalmente são construídas com base nos vencimentos autorizados à negociação na BM&FBOVESPA e com preços de exercício compreendidos entre os deltas 10% e 90%. O resultado é uma matriz com valores de volatilidade para cada opção.
Contudo, uma superfície de volatilidade só pode ser preenchida se houver prêmios de mercado observados para cada opção, o que não ocorre em mercados pouco líquidos. A grande vantagem de se utilizar o modelo de Heston para construir uma superfície de volatilidade é que, uma vez calibrado com os próprios dados de mercado, ele estima qual seria a volatilidade implícita das demais opções, mantendo a relação de não arbitragem.
Dessa forma, alguns cuidados devem ser tomados ao se estimar os prêmios das opções endogenamente pelo modelo. Dependendo da quantidade de dados de mercado utilizada para calibrá-lo, o modelo passa a ser mais sensível ao precificar opções muito fora ou muito dentro do dinheiro. Também foram observados erros relativos maiores nos vencimentos mais curtos se comparados com os preços de mercado. Essa particularidade também foi notada para as demais datas do período analisado.
O erro relativo médio da volatilidade implícita do modelo em relação aos dados originais ficou em 0,52%. Os valores das diferenças de cada opção podem ser observados na Tabela 3 para o dia 17 de Abril de 2009. Vale ressaltar que também foram consideradas as volatilidades implícitas das médias das ofertas. Dessa forma, o erro do modelo se encontra dentro dos valores de tolerância de acordo com a fórmula 4.2.
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Tabela 3 - Diferença entre volatilidades do modelo de Heston e implícitas para 17 de Abril de 2009
Strike Moneyness Maturidade
9 29 50 73 94 115 136 156 178 2.050 0,9376 - -0,59% - - - - 2.100 0,9605 0,21% -0,28% -1,12% -1,79% -0,49% 0,02% 0,00% 0,74% 0,81% 2.150 0,9834 0,09% - - - - 2.200 1,0062 -1,12% -1,71% - - - - 2.225 1,0177 - - -0,32% - - - - 2.250 1,0291 0,06% - - -0,67% -0,36% 0,26% - - - 2.300 1,0520 0,58% - - - 0,04% 0,27% 0,44% 2.375 1,0863 - - 0,32% - - - - 2.450 1,1206 - -1,29% - - - - 2.500 1,1434 - - - - -0,34% - - - - 2.600 1,1892 - - - -0,11% 0,06% - 2.650 1,2120 - - - 0,26%
Nesta data, construiu-se a superfície de volatilidade endogenamente pelo modelo, minimizando o erro quadrático médio (MSE) entre as volatilidades implícitas do modelo e de mercado, como pode ser observado no representa a gráfico abaixo.
Figura 4 - Superfície de Volatilidade do modelo de Heston para 17 de Abril de 2009
A métrica de mínimos quadrados médio foi aqui utilizada por apresentar o menor erro em comparação com as demais métricas aqui abordadas, além de suas vantagens apontadas anteriormente. No entanto, não se pode generalizar para os demais mercados, uma vez que cada um tem a sua particularidade. Alem disso, as condiçoes de mercado também podem influenciar na eficiencia da métrica.
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6 CONCLUSÃO
O trabalho teve como objetivo calibrar o modelo de volatilidade estocástica proposto por Heston (1993) nas opções de Dólar negociadas na BM&FBOVESPA, utilizando a técnica de Transformada Rápida de Fourier (FFT) proposta por Carr & Madan (1999). Em seguida, construir uma superfície de volatilidade implícita com base nos parâmetros ótimos do modelo, como forma de contornar a falta de liquidez.
Em primeiro lugar observou-se que a técnica de FFT na resolução da equação diferencial do modelo diminuiu o tempo de processamento de cálculo do preço da opção e do custo computacional para a calibração periódica (diária) do modelo, em comparação com a técnica de Transformada Discreta de Fourier (TDF). Dessa forma, a desvantagem do modelo de Heston apontada em Costa (2000) foi, em parte, suprimida.
Em seguida, consegui-se estudar a eficiência das diferentes métricas de calibração dos parâmetros, tanto calibrando os prêmios, quanto as volatilidades implícitas. A métrica que minimiza o erro quadrático médio (MSE) baseado na calibração das volatilidades implícitas se mostrou mais estável a pequenas perturbações dos dados de mercado e com o menor erro. Conseqüentemente, os parâmetros do modelo se mostraram estáveis, mesmo em períodos de alta volatilidade. Esse resultado garantiu que a superfície de volatilidade construída com base nessa calibração se ajustasse satisfatoriamente aos dados de mercado.
Apesar de suas vantagens em incorporar volatilidade estocástica, o modelo de Heston não se ajustou tão bem para as opções com vencimentos mais curtos. Os erros relativos comparado com os valores de mercado foram maiores nessas opções. Ademais, quando a amostra de dados de mercado é pequena, o erro relativo do modelo é maior, superestimando os valores dos vencimentos mais longos.
O trabalho buscou apresentar uma ferramenta eficiente e de rápida aplicação na construção de uma superfície de volatilidade implícita. No entanto, como estudos posteriores, a aplicação de algoritmos de otimização global ao invés de otimizadores locais pode buscar melhores resultados na minimização, porém prejudicando o
40 desempenho computacional. Como proposta para futuros trabalhos, a metodologia pode ser expandida para aplicação em outros mercados de opções com baixa liquidez.
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