sistemas oscilantes M
X/G/1/(n,a,b)
F´atima Ferreira
Universidade de Tr´as-os-Montes e Alto Douro, UTAD, Departa- mento de Matem´atica, CMAT e CEMAT, mmferrei@utad.pt
Ant´onio Pacheco
Instituto Superior T´ecnico, Universidade de Lisboa, Departamento de Matem´atica e CEMAT, apacheco@math.tecnico.ulisboa.pt
Helena Ribeiro
Escola Superior de Tecnologia e Gest˜ao do Instituto Polit´ecnico de Leiria e CEMAT, helena.ribeiro@ipleiria.pt
Palavras–chave: Sistemas oscilantes, per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ı- nua, cadeias de Markov, probabilidade de bloqueio
Resumo: Neste trabalho, analisam-se caracter´ısticas dos per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ınua de sistemas oscilantes MX/G/1/(n,a,b). Em
particular, estendem-se os resultados de Pacheco e Ribeiro [6] a siste- mas oscilantes n˜ao preemptivos, propondo um m´etodo para calcular a dura¸c˜ao m´edia de per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ınua. Estes resultados s˜ao combinados com os obtidos em Ferreira et al. [3] de forma a ava- liar, para diferentes distribui¸c˜oes de servi¸co e de tamanho do grupo, a taxa de perdas de clientes em ciclos de ocupa¸c˜ao e a probabilidade de bloqueio a longo prazo destes sistemas.
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Introdu¸c˜ao
Os sistemas oscilantes MX/G/1/(n,a,b) s˜ao filas de espera de ca-
aleat´orio segundo um processo de Poisson composto e s˜ao servidos, por ordem de chegada, por um ´unico servidor. Os tamanhos dos grupos s˜ao vari´aveis independentes e identicamente distribu´ıdas `a vari´avel X, com fun¸c˜ao de probabilidade (fl= P (X = l))l∈N+ e m´e-
dia finita ¯f . A sucess˜ao dos tamanhos dos grupos e dos tempos entre chegadas s˜ao independentes. Contudo, contrariamente ao usual nos sistemas de filas de espera cl´assicos, nestes sistemas os tempos de servi¸co dos clientes n˜ao s˜ao independentes entre si, oscilando entre duas fases, 1 e 2, reagindo de uma forma dinˆamica `a congest˜ao do sistema. Especificamente, a fase em que o sistema se encontra em cada instante ´e determinada pela evolu¸c˜ao do n´umero de clientes no sistema, de acordo com duas barreiras: a e b, 0 ≤ a < b ≤ n. O sistema encontra-se na fase 1 quando est´a vazio e continua nesta fase at´e que o n´umero de clientes no sistema atinja ou ultrapasse a barreira superior b. Ap´os esse instante, o sistema muda para a fase 2, permanecendo nesta fase at´e ao instante subsequente em que o n´umero de clientes no sistema passe a ser menor ou igual `a barreira inferior a. Nesse instante o sistema passa de novo para a fase 1, e assim sucessivamente.
A dura¸c˜ao de cada servi¸co ´e determinada pela fase em que o sis- tema se encontra no instante em que se inicia o servi¸co (sistema n˜ao preemptivo).
Os tempos de servi¸co iniciados com o sistema a operar na fase 1 tˆem dura¸c˜ao aleat´oria S1 com distribui¸c˜ao A1 e m´edia µ−11 , e os tempos
de servi¸co iniciados com o sistema a operar na fase 2 tˆem dura¸c˜ao aleat´oria S2 com distribui¸c˜ao A2 e m´edia µ−12 , geralmente menor
que µ−11 .
Assim, o estado do sistema em cada instante caracteriza-se a partir do processo em tempo cont´ınuo, Y (t) = (Y1(t),Y2(t)), onde Y1(t)
denota o n´umero de clientes no sistema no instante t e Y2(t) a fase
em que o sistema est´a a operar nesse mesmo instante. O processo (Y (t))t≥0 tem espa¸co de estados
E(n,a,b)= {(i,1) : 0 ≤ i ≤ b − 1} ∪ {(i,2) : a + 1 ≤ i ≤ n}
sucess˜ao dos instantes de sa´ıda de clientes do sistema.
Dada a relevˆancia dos sistemas oscilantes no controlo da qualidade de servi¸co prestado com custos reduzidos, estes sistemas tˆem sido objeto de estudo nos ´ultimos anos [1, 2, 3, 5]. Em particular, usando o m´etodo potencial, Chydzinski [1, 2] caracterizou a distribui¸c˜ao limite da ocupa¸c˜ao de sistemas oscilantes com chegadas simples de Poisson e servi¸cos com distribui¸c˜ao geral, de capacidade finita e infinita. A an´alise destes sistemas em per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ınua, i.e., em per´ıodos cont´ınuos de utiliza¸c˜ao efetiva do servidor, ´e relevante do ponto de vista do operador, e fornece informa¸c˜ao crucial para a sua gest˜ao. Nesse ˆambito, e no tocante a per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ınua de sistemas oscilantes MX/G/1/(n,a,b), tirando partido da estrutura
regenerativa markoviana destes sistemas, Pacheco e Ribeiro [5] cal- cularam a distribui¸c˜ao do n´umero de perdas consecutivas de clientes e Ferreira et al. [3] calcularam os momentos do n´umero de perdas de clientes. Constatou-se que, em situa¸c˜oes com elevada intensidade de tr´afego, os sistemas com servi¸cos de cauda pesada e distribui¸c˜oes do tamanho dos grupos de maior variabilidade apresentam menores n´umero m´edios de perdas de clientes durante os per´ıodos de ocupa- ¸
c˜ao cont´ınua. Contudo, dependendo das distribui¸c˜oes de servi¸co e de tamanho do grupo consideradas, a dura¸c˜ao m´edia dos per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ınua pode variar consideravelmente, influenciando fortemente a taxa de perdas a longo prazo e a probabilidade de blo- queio destes sistemas, i.e., a fra¸c˜ao a longo prazo de clientes que s˜ao rejeitados por n˜ao encontrarem lugar na fila quando da sua chegada. Com vista a avaliar a taxa de perdas a longo prazo e a probabilidade de bloqueio de sistemas oscilantes MX/G/1/(n,a,b), prop˜oe-se, na
Sec¸c˜ao 2, um m´etodo recursivo para o c´alculo da dura¸c˜ao m´edia dos per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ınua dos sistemas em estudo. Estes resultados s˜ao combinados, na Sec¸c˜ao 3, com os obtidos em Ferreira et al. [3] para o n´umero m´edio de perdas em per´ıodos de ocupa¸c˜ao cont´ınua, de forma a calcular a taxa de perdas de clientes em ciclos de ocupa¸c˜ao e a probabilidade de bloqueio a longo prazo. Finalizamos este trabalho apresentando, na Sec¸c˜ao 4, a aplica¸c˜ao dos resultados derivados a filas de espera com diferentes distribui¸c˜oes de servi¸co e
de tamanhos dos grupos, e, na Sec¸c˜ao 5, algumas conclus˜oes.