CONFIGURAÇÃO ESTÁTICA DE RISERS EM CATENÁRIA
3.2 A configuração estática de risers em catenária
3.2.2 Contato unilateral entre o riser e o fundo do mar
Em configurações de riser em catenária e também em alguns outros tipos como lazy-wave, existe uma porção do riser que se encontra apoiada sobre o solo. Os esforços presentes nessa região de interação entre superfícies do riser e do solo podem ser simplificados para duas componentes atuantes: normal e tangencial, para cada ponto de interação de contato entre as partes.
A componente normal não realiza trabalho se o solo for considerado como rígido, uma vez que a força atua somente quando há sua solicitação e, nessa situação, o desloca- mento de seu ponto de aplicação é nulo na direção normal. Dessa forma, quando a força atua e existe deslocamento, esse será ortogonal à mesma, não havendo trabalho realizado. No caso de se considerar a flexibilidade do solo, seu efeito pode ser simplificado ao de uma base elástica conservativa que acomoda o sistema. De modo mais geral, pode ocorrer algum efeito de amortecimento na direção normal das regiões de contato para movimen- tos cíclicos que envolvam alternância das forças de contato. Nesse caso, o esforço poderia ser considerado como não conservativo, mas possuiria um papel dissipativo, uma vez que haveria energia drenada do sistema.
Já o efeito tangencial dos esforços de contato, denominado “força de atrito” não realiza trabalho no caso de não haver deslizamento, uma vez que o ponto de aplicação da força não se move nessa situação. Quando há deslizamento, o trabalho do atrito é dissipativo, uma vez que a “força de atrito” se oporá ao movimento que induziu seu surgimento.
Assim, o efeito do carregamento de contato unilateral entre o riser em catenária e o solo do fundo do mar não acrescenta energia ao sistema e, de forma mais realista, pode-se considerar que essa interação pode drenar energia. Trata-se de um vínculo não linear, uma vez que os outros esforços presentes no riser podem alterar sua elastica e, consequentemente, sua região de contato, bem como os esforços que atuam nessa interação. O vínculo do contato unilateral pode ser escrito na forma de uma inequação que restringe o movimento dos pontos da estrutura a certa região do espaço. Seja um conjunto de pontos Picujas coordenadas são dadas por xP iforçados a permanecer em certa região
do espaço delimitada por uma superfície plana cuja normal é k e que passa pela origem do sistema de coordenadas (Figura 3.8). Se os pontos devem permanecer acima dessa superfície, cotas negativas da coordenada z não são permitidas. Assim, o vínculo é dado por:
Figura 3.8: Vínculo do contato unilateral presente em alguns tipo de configurações de risers
xP i· k ≥ 0 (3.17)
Goldstein (1980) discute os tipos de vínculos que podem ocorrer em problemas mecânicos. O caso do vínculo descrito pela inequação 3.17 é classificado como não- holônomo. Além disso, trata-se de um vínculo não dependente explicitamente do tempo. Obviamente as posições dos pontos xP i podem variar ao longo do tempo, ou mesmo
que se pense em um problema quase-estático, cada ponto do riser pode se mover e ini- ciar/finalizar o contato com o solo conforme a estrutura se assenta sobre o solo ou sofre outros carregamentos, como correntezas marítimas. No entanto, como o solo é considerado fixo ao longo do tempo, o mesmo não realiza excitação de suporte no riser, o que poderia representar uma injeção de energia no sistema. Assim, suas reações vinculares podem ser classificadas como “não realizadoras de trabalho” (por exemplo, a pressão normal e o atrito seco estático) ou “dissipativas” (realizam trabalho negativo, por exemplo o atrito seco cinético). Logo os esforços que atuam no contato unilateral não podem realizar tra- balho positivo, mas são carregamentos puramente dissipativos (um sistema conservativo com a adição de forças dissipativas).
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No entanto, o vínculo unilateral que representa o contato torna a solução do sis- tema mecânico não-suave. Esse tipo de situação ocorre quando se introduz um tipo de vínculo no sistema que pode levar à não-suavidade das funções que descrevem os desloca- mentos e velocidades (non-smooth mechanics). O questionamento que surge é quanto à validade dos teoremas de Lyapunov, bem como do Teorema de Lagrange-Dirichlet nesse tipo de situação. O desenvolvimento desse assunto é muito bem explorado por Leine e van de Wouw (2008). Os autores apontam esse tipo de estudo como uma área de pes- quisa iniciada duas décadas antes da publicação de seu livro e, portanto, algo muito mais novo do que datam os teoremas originais de estabilidade que foram citados anteriormente, desenvolvidos cerca de 100 anos antes. Para abordar tal assunto, é necessário uma base matemática que envolve análise convexa e relações que apontam para conjuntos (set-valued relations) compiladas nos Capítulos 2 e 3 de Leine e van de Wouw (2008).
Chareyron e Wieber (2004) afirmam que a teoria de estabilidade de Lyapunov é usualmente apresentada para sistemas dinâmicos cujos estados variam de forma contínua ao longo do tempo. Por isso, procuram propor uma extensão do teorema de estabilidade de Lyapunov para esse tipo de sistema. Os autores comentam que sua extensão é bastante próxima à forma que é apresentada para o caso contínuo. A única diferença seria na primeira condição do teorema que, no caso contínuo, exigiria que a Função de Lyapunov fosse positivo-definida somente na vizinhança do estado básico. No caso que considera sistemas dinâmicos não suaves, é exigido que a Função de Lyapunov seja positivo-definida em todo o espaço de estados, uma vez que as descontinuidades poderiam fazer o estado dar um salto brusco a qualquer momento para uma região muito longe do estado básico. Chareyron e Wieber (2004) ainda afirmam que é possível estender o Teorema de Lagrange- Dirichlet para sistemas dinâmicos não-suaves. O mesmo foi anteriormente apresentado por Brogliato (2004), que estendeu o teorema de Lagrange-Dirichlet para situações que envolvem não-linearidades do tipo contato unilateral sem atrito.
Leine e van de Wouw (2008) generalizam o Método Direto de Lyapunov (Segundo Método de Lyapunov), dentre outras técnicas e teoremas para problemas que envolvem restrições de contato unilateral. Apontam, inclusive, que a escolha natural de funções de Lyapunov para tratar tais problemas seria a energia mecânica total do sistema incluindo a função-suporte da restrição unilateral. Inclusive algumas aplicações são feitas para problemas que envolvem contato com atrito.