Os Contra-exemplos - A Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para Produtos Or

3.16 Teorema. (M. Hertweck, 2001): Existe um grupo finito G com um automorfismo de grupo n˜ao-interno τ, tal que τ (g) = u−1_{gu com u ∈ U1(ZG), para todo g ∈ G. O grupo G tem}

ordem 225_{· 97}2_{, um 97-subgrupo de Sylow normal, e ´e metabeliano.}

3.17Teorema. (M. Hertweck, 2001): Existe um grupo sol´uvel X, que ´e o produto semi-direto de um subgrupo normal G e um subgrupo c´ıclico hci, tal que

(i) Existe um automorfismo n˜ao interno τ em G e uma unidade t ∈ U1(ZG) tal que τ (g) = gt _{para todo g ∈ G;}

(ii) EmZX, o elemento c inverte o elemento t;

(iii) O subgrupo Y = hG, tci de U1(ZX) tem a mesma ordem de X mas n˜ao ´e isomorfo

a X;

(iv) A ordem de X ´e 221_{· 97}28_{. O grupo X tem um 97-subgrupo de Sylow normal e o}

comprimento da s´eria derivada de X ´e 4.

E,ZX ≃ ZY mas X n˜ao ´e isomorfo a Y.

Observamos que o grupo G dado no teorema 3.16 é diferente do grupo G dado no teorema 3.17. O primeiro grupo é, de estrutura mais simples e propicia uma boa introdu¸cão para o grupo G usado no teorema 3.17. Está claro que o teorema 3.16 nos fornece um contra-exemplo para a propriedade do normalizador e o teorema 3.17 nos fornece um contra-exemplo para o problema do isomorfismo e devemos destacar que os principais elementos para o teorema 3.17, já aparecem na prova do teorema 3.16, com detalhes inteiramente semelhantes. Na verdade, este foi o processo utilizado por Hertweck para o resultado que realmente era objetivado, o contra-exemplo para o Problema do Isomorfismo.

Além do fato do Problema do Isomorfismo ser uma questão central na teoria dos anéis de grupos, como já citado, e da imensa importância que ele tem no desenvolvimento e norteamento das pesquisas na teoria dos anéis de grupos, há ainda uma outra caracter´ıstica fundamental e esta é a descoberta de Mazur em 1995 da existência de uma rela¸cão entre este problema e a questão do normalizador no que diz respeito a algumas extensões infinitas de grupos finitos; de fato, ele obteve o seguinte teorema.

3.18 Teorema. Se G ´e um grupo finito e C∞ representa um grupo c´ıclico infinito, ent˜ao o

problema do isomorfismo paraZ(G×C∞) tem resposta afirmativa se, e somente se, tem resposta

afirmativa para G e vale a conjectura do normalizador em G.

resultado substituindo C∞ por um grupo abeliano finitamente gerado e posteriomente por Hertweck, que obteve um caso de extens˜ao por um grupo finito, argumento fundamental para os contra-exemplos citados.

Resultados Propostos

Com o objetivo principal de investigar a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para extens˜oes orladas de um grupo abeliano por um nilpotente, n´os propomos e investigamos alguns resultados, que agora apresentaremos e desenvolveremos.

4.1 Uma solu¸c˜ao para a Propriedade do Normalizador

Nosso primeiro resultado é a investiga¸cão da Propriedade do Normalizador, para grupos dados pelo produto orlado de um grupo abeliano na base e um nilpotente no topo. Na sua demonstra¸cão, utilizaremos a formula¸cão dado por Jackowski e Marciniak para a Propriedade.

4.1 Teorema (A). Seja G um grupo finito dado pelo produto orlado de um grupo abeliano A e um nilpotente N, G = A wr N = A|N | _{⋊ N, com mdc(|A|, |N|) = 1, ent˜ao a propriedade do}

normalizador vale para G.

Demonstra¸c˜ao. Provaremos este teorema mostrando que o conjunto

IS = {ϕu ∈ AutU(G) : ϕ2u = i, ϕu|S = i}

de automorfismos de G est´a contido em Inn(G), utilizando o teorema 2.8 na p´agina 18.

Estamos supondo |G| par, pois o resultado é válido para todo grupo com ordem ´ımpar, ver teorema 2.7 na página 17.

Devido `a hip´otese mdc(|A|, |N |) = 1, obtemos duas possibilidades para as ordens dos grupos Am _{e N, sendo m a ordem de N. Analisemos o resultado em cada um dos casos:}

Caso 1) |Am_{| é par e |N | é ´ımpar: trivial pois neste caso G possui um 2 − subgrupo de} Sylow normal, ver teorema 2.9 na página 21.

Caso 2) |Am_{| ´e ´ımpar e |N | ´e par:}

Seja ϕu ∈ IS. Primeiramente, verifiquemos a a¸c˜ao de ϕu em Am_{. Seja α = (a}

1, ..., am) um elemento de Am _{, tomamos g = α em A}m_{, lembrando que ϕu(g) ∼ g em G, como visto na} demonstra¸c˜ao do teorema 2.17 na p´agina 25, temos que existem xα ∈ Am _{e yα} _{∈ N, ambos} dependendo de α, tais que

u−1αu = ϕu(α) = (xαyα)−1α(xαyα) = y_α−1x−1_α αxαyα = y−1_α αyα

pois x−1

α αxα ∈ Am, que ´e abeliano. Logo,

u−1αu = yα−1αyα com yα ∈ N dependendo de α.

Como A ´e abeliano, podemos escrevˆe-lo como produto direto de seus p-subgrupos de Sylow.

Analisemos o que ocorre em cada subgrupo:

Seja P um p-subgrupo de Sylow de Am_{, ent˜ao, pelo teorema 2.2 na p´agina 14, para} todo x ∈ P, existe gP = aPnP ∈ G, com aP ∈ Am _{e nP} _{∈ N tal que}

u−1xu = n−1P a−1P xaPnP = n−1P xnP,

sendo a ´ultima igualdade devido `a abelianidade de Am_.

Seja Q um q-subgrupo de Sylow de Am_{, com q 6= p, ent˜ao para todo y ∈ Q, existe} gQ = aQnQ ∈ G, com aQ ∈ Am _{e nQ} _{∈ N tal que}

u−1yu = n−1_Q a−1_Q yaQnQ= n−1_Q ynQ,

sendo a ´ultima igualdade devido `a abelianidade de Am_.

Considerando Am _{∋ a = xy ∈ P × Q, e sendo ϕu(a) ∼ a em G, temos que existe} aono ∈ G com ao ∈ Am_{e no} _{∈ N, ambos dependendo de xy tal que}

a ´ultima igualdade devido `a abelianidade de Am_.

Mas, n−1

o xnon−1o yno = n−1o xyno = u−1xyu = u−1xuu−1yu = n−1P xnPn −1

Q ynQ, ent˜ao n−1

o x−1non−1P xnP = n−1o ynon−1Q y−1nQ, sendo o primeiro membro da igualdade um elemento de P e o segundo, um elemento de Q, que s˜ao pi-subgrupos de Sylow distintos, ent˜ao

n−1o x−1non−1P xnP = 1 = n −1 o ynon−1Q y −1_nQ, o que implica em nPn−1o xnon−1P = x e nQn−1o ynon−1Q = y

com x ∈ P, y ∈ Q e non−1_Q , non−1_P ∈ N. Mas os pi-subgrupos de Sylow são extensos, logo, pelas propriedades do produto orlado, as igualdades acima só ocorrem se non−1_P = 1 e non−1_Q = 1 o que implica em nP = no = nQ. Então, para qualquer α ∈ Am _:

ϕu(α) = n−1_o αno com no ∈ N.

Sendo Am_✁_{G, temos n}−1

o αno ∈ Am e assim, ao conjugar por u a ´ultima igualdade obtemos u−2_αu2 _{= un}−1

o αnou = n−2o αn2o.

Como u2 _{= id em IS, temos α = n}−2

o αn2o ⇒ n2o = 1 pois no centraliza Am.

u−1αu = n−1o αno com n2o = 1, ∀α ∈ A m

. (4.1)

Verifiquemos agora a a¸c˜ao de ϕu em N.

Como N ´e nilpotente, podemos escrevˆe-lo como produto direto dos seus p-subgrupos de Sylow.

Escolhamos P1 o 2-subgrupo de Sylow de G, fixado em IS que está inteiramente em N pois A tem ordem ´ımpar, então pelo teorema 2.2 na página 14 temos que para todo x ∈ P1, existe gP = aP₁nP₁ ∈ G, com aP₁ ∈ Am _{e nP}

1 ∈ N tal que

u−1xu = n−1_P₁a−1_P₁xaP₁nP₁ = x,

esta ´ultima igualdade devido ao fato de u|P₁ = id em IS.

Seja Q1 um q-subgrupo com q 6= 2, ent˜ao para todo y ∈ Q1, existe gQ1 = aQ1nQ1 ∈ G,

com aQ₁ ∈ Am _{e nQ}

u−1yu = n−1_Q₁a−1_Q₁yaQ₁nQ₁. (4.2)

Sendo Am_✁_{G, podemos tomar o quociente G = G/A}m _{= (A}m_{⋊ N)/A}m_{≃ N.}

A propriedade é válida para grupos nilpotentes, então, em G, temos que existe n∗ ∈ N tal que:

u−1t¯u = n−1∗ tn∗, ∀ t ∈ N com ¯u ∈ NU( ¯G).

Conjugando novamente por u, obtemos:

t = ¯u−2t¯u2 = n−2_∗ tn2_∗ ⇒ n2_∗ ∈ ζ(N ).

Os elementos n∗ e n2

∗ s˜ao da forma n∗ = n1n2 e n2∗ = n21n22 com n∗ ∈ N, n1 ∈ P1, n2 ∈ Q, sendo Q o produto de subgrupos de Sylow n˜ao par, n2

∗ ∈ ζ(N ), n21 ∈ ζ(P1) e n2

2 ∈ ζ(Q).

Como n2

2 ∈ ζ(Q) e Q tem ordem ´ımpar, n2 comuta com os elementos de Q, por outro lado n2 tamb´em comuta com os elementos de P1 por causa do produto direto. Da´ı, n−1

∗ tn∗ = n−12 n−11 tn1n2 = n−11 tn1

Temos, ent˜ao para qualquer N ∋ t = t1t2, t1 ∈ P1, t2 ∈ Q :

u−1t¯u = n−1_∗ t1n∗n−1_∗ t2n∗ = n−1₁ t1n1n−1₁ t2n1 = t1t2 = t,

a pen´ultima igualdade devido ao fato de P1 ser fixado por ¯u e n1 comutar com t2.

Obtemos assim, para qualquer y ∈ Q1, u¯−1_y¯_{u = y em G , isso implica que, em G,} u−1_{yu = α}−1

Q1yαQ1 com αQ1 ∈ A

m_.

Conjugando 4.2 por u, temos

y = u−2yu2 = n−1o α−1Q1noα −1 Q1yαQ1n −1 o αQ1no ∀y ∈ Q1 Sendo n2

o = 1, no ∈ P1 e assim y comuta com no, e da´ı y = noyn−1 o = non−1o α−1Q1noα −1 Q1yαQ1n −1 o αQ1non −1 o = α−1Q1noα −1 Q1yαQ1n −1 o αQ1 o que implica em y comutar com αQ₁n−1 o αQ1.

Conjugando por u a igualdade yαQ₁n−1

o αQ1 = αQ1n

−1

α−1_Q₁yαQ₁n−1 o αQ1non −1 o noαQ1no= n −1 o αQ1non −1 o n−1o αQ1noαQ1noα −1 Q1yαQ1 α−1_Q₁yαQ₁n−1 o αQ1noαQ1no = n −1 o αQ1n −1 o αQ1noα −1 Q1yαQ1 α−1_Q₁αQ₁n−1 o αQ1ynoαQ1no = n −1 o αQ1ynoαQ1no = n −1 o αQ1n −1 o αQ1noα −1 Q1yαQ1 noyαQ₁noα−1 Q1 = n −1 o αQ1noα −1 Q1y

yαQ₁noα_Q−1₁ = αQ₁noα−1_Q₁y.

Logo, y tamb´em comuta com αQ₁noα−1_Q₁, da´ı, y comuta com o produto de αQ₁noα−1_Q₁ por αQ₁n−1

o αQ1 que ´e igual a α

2 Q1.

Sejam αQ₁ = (a1, ...am), α2

Q1 = (a

1, ...a2m) e u−2yu2 = α−2Q1yα

2 Q1 = y.

O fato de y comutar com α2

Q1 implica em αQ1 pertencer ao 2-subgrupo de Sylow de

Am _{que neste caso ´e a identidade, logo u}−1_{yu = α}−1

Q1yαQ1 = y. E assim :

u−1_{nu = n,} _{∀n ∈ N.} _(4.3)

Podemos ver que neste caso, no ∈ ζ(N ) :

Para qualquer m ∈ N e qualquer α ∈ Am_{, temos}

g = mα = βm logo α = m−1βm, com β ∈ Am_,

seu inverso ´e g−1 _{= α}−1_m−1 _{= m}−1_β−1_{, conjugando por u, obtemos}

u−1mαu = mn−1o αno

u−1m−1β−1u = m−1n−1o β−1no o que implica em mn−1o αnom−1n−1o β−1no = 1.

Da´ı, n−1

o αno= m−1n−1o βnom = m−1n−1o mm−1βmm−1nom , o que implica α = nom−1_n−1

o mαm−1nomn−1o , logo, pelas propriedades do produto orlado,

m−1nomn−1_o = 1 logo mno = nom e assim, no ∈ ζ(N ),

como afirmamos; logo a express˜ao 4.3 pode ser escrita como u−1_{nu = n}−1 o nno.

Assim, temos por 4.1 e 4.3, que

u−1gu = nogno , ∀g ∈ G

Conclu´ımos ent˜ao que ϕu ´e um automorfismo interno de G, como quer´ıamos. ¥

4.2 Uma solu¸c˜ao para o Problema do Isomorfismo

A seguir, apresentaremos nosso segundo resultado principal, neste, investigamos o Pro- blema do Isomorfismo para produtos orlados de um grupo abeliano na base por um nilpotente no topo.

4.2 Teorema (B). Seja G um grupo finito dado pelo produto orlado de um grupo abeliano A e um nilpotente N, G = A wr N = A|N |_{⋊ N, com mdc (|A|, |N|) = 1 e seja H um grupo. Se} ZG ≃ ZH, ent˜ao G ≃ H.

Demonstra¸cão. Seja m a ordem de N, temos pela proposi¸cão 3.9 na página 35, que, para ZG = Z(Am_{⋊ N) ≃ ZH e A}m_✁_{G, existe um subgrupo B normal em H com |B| = |A}m_| e B abeliano, tal queZ(G/Am_{) ≃}_{ZN ≃ Z(H/B).}

Como N ´e nilpotente e temos a validade de (Iso) para a classe destes grupos, ent˜ao N ≃ H/B.

Sendo mdc(|B|, |N |) = 1 e N ≃ H/B, então podemos utilizar o resultado de Schur- Zassenhaus,( ver proposi¸cão 1.34 na página 11) e concluir que H = B⋊ N .

Devemos agora verificar se Am _{≃ B e se as a¸c˜oes de N sobre B e de N sobre A}m _s˜ao as mesmas.

Tomaremos as somas de classes de conjuga¸cão em G, bCg com g ∈ Am_{, pela proposi¸cão} 1.16 na página 8 temos que, para cada g ∈ Am _{existe h ∈ H tal que ψ( ˆ}_{Cg) = ˆ}_Ch _{com o(g) =} o(h), para ψ :ZG → ZH, a isomorfia entre os anéis de grupo integral.

Pelo resultado de Dietzman,( ver proposi¸cão 1.32 na página 10 ) Cg ⊆ G implica em < Cg > ✁ G. Pelas proposi¸cões 1.16 e 3.9, nas páginas 8 e 35 respectivamente, temos o correspondente Ch ⊆ H e um subgrupo normal em H, mas pelo resultado de Petit Lobão e Sehgal, ( ver proposi¸cão 1.33 na página 11) temos que este subgrupo é < Ch > ✁ H. Sendo g ∈ Am_{, temos Cg} _{⊆ A}m _{e < Cg} _{> ✁ A}m _{pois A}m _{é abeliano e como B é o subgrupo normal de} H correspondente a Am_{, pelo reticulado de subgrupos normais temos < Ch} _{> ✁ B, logo h ∈ B.}

Como A ´e abeliano, podemos escrevˆe-lo como produto direto de seus subgrupos c´ıclicos:

A = C1× ... × Cr com Ci =< ai >, i = 1, ..., r,

e ent˜ao, podemos escrever Am _{da seguinte forma:}

Am _{= A × ... × A = C1}m

× ... × Crm

com Cm

i =< (ai, 1, ..., 1), (1, ai, 1, ..., 1), ..., (1, ..., 1, ai) >

Chamando αi1 = (ai, 1, ..., 1), αi2 = (1, ai, 1, ..., 1), ..., αim = (1, ..., 1, ai) podemos per- ceber que cada uma das m-uplas αij, 1 6 i, j 6 r, m pertence à classe de conjugados de αi1 em G, que são obtidos pela a¸cão dada pelo produto orlado, os quais geram Cim_{, isto é,}

< Cα_i1 >=< αi1, αi2, ..., αim>= Cim, com |Cim| = |aim_|.

Sendo Cα_i1 ⊂ G, novamente pela proposi¸c˜ao 1.33, existe < Cβ_i1 > ✁ H, mas < Cα_i1 > ✁Am_{, ent˜ao < Cβ}

i1 > ✁ B com βi1 ∈ B associado a αi1 ∈ A

m _{pela correspondência de classes} de conjuga¸cão. Determinamos então os βij a partir de βi1 pela a¸cão do mesmo elemento de N que conjuga αi1 determinando αij. Ademais, temos βij independentes, devido à independência dos αij e à proposi¸cão 1.16 na página 8 , item (iii).

Temos ent˜ao para cada Cim _{=< Cα}

i1 > em A

m _{um subgrupo correspondente < Cβ}

i1 >

em B, com o(αi1) = o(βi1) para cada i = 1, ..., r.

Cim _{=< αi1, αi2, ..., αim}_{> e < Cβ}

i1 >=< βi1, βi2, ..., βim >.

Sendo A ≃ C1× ... × Cr escrevemos,

Am = A × A × ... × A ≃ A1× A2× ... × Am

Desta forma, temos

A1 ≃ C1× ... × Cr =< α11, α21, ..., αr1 > onde αi1 = (ai, 1, ..., 1), i = 1, ..., r ...

Am ≃ C1× ... × Cr =< α1m, α2m, ..., αrm > onde αim= (1, 1, ..., 1, ai), i = 1, ..., r.

Tomando então os elementos β11, β21, ..., βr1, podemos gerar, devido às suas ordens e à inde- pendência dos βi1 um grupo isomorfo a A1 :

< β11, β21, ..., βr1 >≃ B1 ≃ A1.

Tomando agora os conjugados dos βi1, por um determinado elemento de N, iremos gerar um outro subgrupo isomorfo a B1 :

< β12, β22, ..., βr2 >≃ B2 ≃ A2.

E sucessivamente, tomando os conjugados dos βi1, por todos os elementos de N, obteremos m subgrupos isomorfos a B1, da seguinte forma:

< β13, β23, ..., βr3 >≃ B3 ≃ A3 ...

< β1m, β2m, ..., βrm >≃ Bm ≃ Am.

Como os Bj, j = 1, ..., m s˜ao gerados por elementos βij independentes e B ´e abeliano, teremos B1× ... × Bm ≃ B Logo, Am _{≃ A × ... × A ≃ B}

1× ... × Bm ≃ B.

E assim, conclu´ımos que Am _{´e isomorfo a B.}

Percebemos ainda que a a¸cão da conjuga¸cão dos elementos de Bj é a realizada pelo mesmo elemento de N que conjuga os respectivos elementos de Aj, dada pelo produto orlado, sendo assim a a¸cão de N sobre B a mesma de N sobre Am_{, ou seja, a a¸cão orlada,}

G = A wr N ≃ B wr N = H.

Neste trabalho, fizemos uma investiga¸cão de duas questões de destaque na teoria dos anéis de grupo integral, a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo.

Primeiramente, apresentamos ambas as quest˜oes e analisamos os resultados mais rele- vantes desenvolvidos sobre tais.

Nosso intuito inicial era investigar a Propriedade do Normalizador para produtos orlados de grupos Nilpotentes, mas, no percurso para tal, percebemos a importância e validade dos outros resultados que estávamos desenvolvendo como preliminares e imaginávamos óbvios. Tra¸camos então um novo roteiro e este, que cumprimos integralmente, foi: propusemos e demonstramos a Propriedade do Normalizador para o produto orlado de um grupo abeliano na base por um nilpotente no topo. Devemos observar que acreditamos ser este processo, com os mesmos argumentos, que nos levarão à verifica¸cão da questão para o produto orlado entre nipotentes, depois de uma devida investiga¸cão pormenorizada em seus elementos.

Devido à rela¸cão existente entre a questão do Normalizador e o Problema do Iso- morfismo, objetivamos fazer um estudo paralelo. Desta forma, propusemos e demonstramos o Problema do Isomorfismo para produtos orlados de um grupo abeliano por um nilpotente. Também no caso do Isomorfismo, observamos que o resultado que desenvolvemos poderá ser estendido para o produto orlado entre grupos nilpotentes, justificando assim sua apresenta¸cão mesmo já se tendo o resultado desenvolvido por RoggenKamp e Scott verificando esta questão para a mesma classe de grupos e sem a hipótese adicional sobre as ordens.

Desta forma, vemos então neste trabalho o desenvolvimento de uma pesquisa em rela¸cão à Propriedade do Normalizador e do Problema do Isomorfismo, que nos apresenta um caminho tra¸cado para a verifica¸cão das duas questões para produtos orlados de grupos nilpotentes, que

certamente engrandece a lista da classe de grupos que são determinados por seus anéis de grupo e nos quais a Propriedade do Normalizador é válida.

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[15] Sehgal, S. K., Units in integral Group Rings; Longman Scientific and Technical, Essex, 1993.

Anel de grupo, 4 Aplica¸c˜ao aumento, 5

Contra-exemplos, 37

Grupo das unidades, 6 Grupo de Frobenius, 23 Grupo hamiltoniano, 9 Grupo metabeliano, 9 Grupo nilpotente, 10 Grupos de Blackburn, 22 Isomorfismo normalizado, 8 Normalizador, 9 Problema do Isomorfismo, 33 2-grupo hamiltoniano, 33 grupo abeliano, 33 grupo metabeliano, 36 grupo nilpotente, 36 grupo simples, 37 Produto orlado, 10 Propriedade do Normalizador, 12 grupo de ordem ´ımpar, 17 grupos de Blackburn, 23 grupos de Frobenius, 24 grupos nilpotentes, 15

grupos possuindo um 2-subgrupo de Sylow normal, 21

p-subgrupo, 14

para subgrupo IS contido em Inn(G), 18

Rela¸c˜ao entre a Propriedade e o Problema, 38

Subgrupo de Hall, 9

Subgrupo dos comutadores, 9

No documento A Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para Produtos Orlados de um Grupo Abeliano por um Nilpotente (páginas 46-61)