K.1 Tela principal do software desenvolvido
3.3 Controlador VS-MRAC
˙θ = −ea(L−1ω)
˙θ2n+1 = ea(L−1θT− θTL−1)ω
(3.14) O algoritmo do MRAC, para ser globalmente estável na presença de perturbações e dinâmica não modelada, necessita da introdução de normalização, o que pode levar os transitórios de adaptação a serem demasiadamente lentos [Ioannou & Tsakalis 1986, Ortega & Yu 1987, Rohrs et al. 1989]. Mesmo com a excitação rica em freqüências, a qualidade do transitório de adaptação (quando θ(t) está distante de θ∗) não é uniforme
e a convergência dos parâmetros adaptativos é muito lenta. Apesar do comportamento transitório não ser totalmente aceitável, em algumas situações, o sinal de controle é suave, tornando-o adequado para a condição de regime permanente.
A Tabela 3.1 resume o algoritmo de um controlador MRAC convencional u = θTω
ea = (y − ym) − ya= e0− ya
ya = ML[θ2n+1(L−1θT− θTL−1)ω + αea(L−1ω)T(L−1ω)], α > 0
˙θ = −ea(L−1ω)
˙θ2n+1 = ea(L−1θT− θTL−1)ω
Tabela 3.1: Algoritmo do controlador MRAC convencional
3.3
Controlador VS-MRAC
O controlador VS-MRAC foi desenvolvido por Hsu e Costa [1989] e Hsu [1988, 1990] utilizando uma estrutura semelhante ao MRAC, porém substituindo as leis integrais por um conjunto de leis chaveadas. O VS-MRAC teve como motivação o interesse em se criar um controlador que, fazendo apenas medições da entrada e saída da planta, tornasse o sistema, em malha fechada, robusto às incertezas paramétricas, distúrbios externos, dinâmica não-modelada, além de fazer com que ele apresentasse um bom desempenho transitório. O algoritmo para plantas de ordem superior a 1, assim como a prova de estabilidade, pode ser encontrado nos trabalhos de Araújo e Hsu [1993, 1994, 1990].
O algoritmo apresentado por Hsu [1990] foi modificado por Araújo e Hsu [1990], o que reduziu o número de relés e possibilitou a obtenção de um melhor desempenho transitório. Aqui será apresentada a versão compacta do VS-MRAC, proposta por Araújo e Hsu [1990] e denominada de VS-MRAC compacto.
Para o desenvolvimento do controlador VS-MRAC é necessário que se considere as equações (3.3-3.10) da planta, do modelo e dos sinais filtrados v1 e v2, as hipótese (1-
3) da página 23 e algumas definições auxiliares introduzidas durante a apresentação do controlador.
O controlador VS-MRAC será aplicado a uma planta com grau relativo 2 (n∗=2), des-
crita por
W(s) = kp
s2+ α1s+ α2 M(s) =
km
s2+ αm,1s+ αm,2 (3.15)
onde M(s) é o modelo de referência e W(s) é uma planta com característica semelhante à planta utilizada na tese. O diagrama de blocos do controlador VS-MRAC para uma planta como W(s) pode ser visualizado na Figura 3.5.
Modelo Planta Relé κnomML 1 L (.)eq Relé 1 L θT nomω f0 f1 r ym y e�0 u0 e0 ya ueq u1 e � 1 - + + - + - + - + -
Figura 3.5: Diagrama de blocos de um controlador VS-MRAC compacto (n∗=2)
Seja L(s) um polinômio com grau N=n∗-1, de forma que M(s)L(s) seja ERP e estrita-
mente própria, ou seja,
L(s) = s + α, α > 0 Em seguida, definem-se novos sinais filtrados
χ0 = L−1u
ξ0 = L−1ω (3.16)
3.3. CONTROLADOR VS-MRAC 27 Seja
u= −u1+ θTnomω
o novo sinal de controle, onde θnom∈ ℜ2nd é um vetor de parâmetros nominais obtidos do
modelo nominal da planta (idealmente, θnom = θ∗ para a condição de Matching). O erro
da equação 3.10 será redefinido como
e0= k∗M(u − θ∗Tω − θTnomω) (3.17)
onde o termo −θnomTω foi acrescido para facilitar a implementação das leis chaveadas e
k∗= 1/θ∗2n.
Seja knom> 0 o valor nominal de k∗. Assim, pode-se redefinir o erro e0como
e0= knomML( k∗ knom L−1u− k ∗ knom θ∗TL−1ω − k ∗ knom θTnomL−1ω) (3.18)
Agora, serão definidos alguns novos parâmetros: ρ = k∗ knom > 0 κ > |κ| = � � � � k∗− knom knom � � � � → ρ = κ + 1 θ0J> ρ |θ∗J− θnom,J| (J = 1, . . . , 2n) θ1J> |θ∗J− θnom,J| (J = 1, . . . , 2n) (3.19)
e κ0, κ0+ 1, θ0como estimativas para κ, ρ e ρθ∗, respectivamente. O sinal de predição
pode ser apresentado como
ya = knomML((κ0+ 1)χ0− θ0Tξ0− (κ0+ 1)θTnomξ0)
ya = knomML(κ0(χ0− θTnomξ0) − θT0ξ0+ (χ0− θTnomξ0))
(3.20) ou, escrevendo de forma mais simples,
ya= knomML(u0− L−1u1) (3.21)
onde
χ0− θT
nomξ0 = L−1(u − θTnomω)
= L−1(−u1+ θTnomω − θTnomω)
= L−1(−u1)
e
u0= κ0(χ0− θTnomξ0) − θT0ξ0
Seja
onde e� 0= e0− yaé o erro de predição e f0= κ|χ0− θTnomξ0| + 2n
∑
j=1 θ0 j|ξ0 j| (3.22)é a função de modulação que deve ser escolhida de forma a garantir que e�
0→ 0 em tempo finito. Seja u1= f1sgn(e�1) onde e� 1= (u0)eq− L−1u1e f1= 2n
∑
j=1 θ1 j|ωj| (3.23)é escolhido de forma a garantir que e�
1→ 0 em tempo finito.
O algoritmo do controlador VS-MRAC compacto encontra-se resumido na Tabela 3.2.
u = −u1+ θTnomω ya = knomML[u0− L−1u1] e�0 = e0− ya e�1 = (u0)eq− L−1(u1) f0 = κ|χ0− θTnomξ0| + θ T 0|ξ0| f1 = θT1|ξ1| ui = fi· sgn(e�i), i= 0, 1
Tabela 3.2: Algoritmo do controlador VS-MRAC compacto
No desenvolvimento da estratégia de controle, introduziu-se uma cadeia de erros au- xiliares (e�
0, e�1), duas cadeias de parâmetros auxiliares (θ0, θ1) e (κ) para o rastreamento
do modelo.
As leis de adaptação a estrutura variável são escolhidas de forma que os erros auxilia- res e�
i(i = 0, 1) atinjam modos deslizantes em um tempo finito. O controlador equivalente
(u0)eq é obtido assintoticamente de (u0) por meio de um filtro passa baixa (1/F) com
freqüência de corte suficientemente elevada.
A malha de realimentação é constituída por um filtro em avanço a estrutura variável, cuja função consiste em obter (u)eq = (−u1+ unom)eq→ u∗= θ∗Tω (condição de Mat-
ching). Este filtro é necessário devido à introdução do sinal adicional ya, que é regido pelo operador ML.
3.4. COMENTÁRIOS FINAIS 29
• Robustez do controlador VS-MRAC
Nesta seção são apresentados os resultados obtidos por Costa e Hsu [1992] sobre a robustez do controlador VS-MRAC às perturbações e dinâmica não modelada.
Considere um distúrbio d uniformemente limitado na entrada da planta (ver Figura 3.6) e uma dinâmica não modelada ∆µ estável
∆µ = −µs + 1
µs+ 1 , (3.24)
ou seja, µ ∈ (0,µ] com µ > 0 suficientemente pequeno.
W(s) u + + d y
Figura 3.6: Planta com distúrbio de entrada e dinâmica não modelada
Se um distúrbio uniformemente limitado desconhecido d(t), |d(t)| ≤ d, atua na en- trada da planta e ∆µ = 0, todos os sinais no sistema permanecem uniformemente limita- dos e o erro de saída é ulteriormente limitado por kdd, kd≥ 0. Se, além disso, ||ξ|| > cid,
∀t ≥ ti, ti finito e ci uma constante positiva adequada, então o erro de saída converge
exponencialmente a zero.
Já no caso de ∆µ �= 0, se ||ω|| ≥ c1√µ+ c2d+ δ para algumas constantes positivas c1,
c2e δ arbitrariamente pequenas, ∀t ≥ t0, t0finito, então o erro de saída e0é da ordem de
µ.
3.4
Comentários finais
Neste capítulo foram apresentados os conceitos básicos para um bom entendimento do controlador VS-MRAC de grau relativo 2, o qual será o controlador utilizado ao longo deste trabalho. Ao final, foram apresentados os principais resultados de robustez do con- trolador VS-MRAC.
Capítulo 4
Modelagem do robô móvel
O modelo matemático de um robô móvel pode ser dividido em duas partes distintas: Cinemática e Dinâmica. A primeira é caracterizada pela representação do movimento e das suas restrições, não incluindo as forças dinâmicas que atuam sobre o robô. A segunda representa a resposta do robô à excitação externa no decorrer do tempo, levando em con- sideração as forças dinâmicas atuando sobre sua estrutura, sua massa e seu momento de inércia, o modelo dinâmico dos atuadores (motores c.c.) do sistema e as forças de atrito envolvidas. O modelo que será utilizado neste trabalho é o dinâmico, no qual, quando comparado ao modelo cinemático, é mais simples modelar as perturbações existentes permitindo impor maiores velocidades ao robô móvel.
Alguns artigos [Yang & Kim 1999, Pereira et al. 2000, Lages & Hemerly 2000, Oli- veira & Lages 2001, Tanner & Kyriakopoulos 2002, Lizarralde 1998] encontrados na literatura utilizam uma modelagem dinâmica do robô móvel para o desenvolvimento de suas técnicas de controle. Outros trabalhos apresentam abordagens baseadas apenas no modelo cinemático.
Este capítulo é dedicado a descrever como foi obtido o modelo do robô utilizado1.
Na seção 4.1 é apresentado o modelo cinemático do robô. A dinâmica dos motores c.c. utilizados pelo robô é descrita na seção 4.2. A seção 4.3 traz o modelo dinâmico do robô e, por fim, a seção 4.4 apresenta o modelo, em variáveis de estado, utilizado na tese, o qual associa a dinâmica dos motores c.c. à dinâmica e cinemática do robô.
4.1
Modelagem cinemática do robô móvel
Esta seção descreve o modelo matemático de um robô móvel de formato cúbico com aresta de 70mm, uma bateria (NiMh), dois motores c.c. independentes, um acoplado a cada roda, e uma placa de processamento embarcado, a qual controla o acionamento dos motores e a comunicação com a central de controle (computador).
A Figura 4.1(a) exibe a configuração do robô modelado em relação à sua posição no espaço cartesiano (xp e yp, são as coordenadas do ponto central do robô) e sua orien-
tação θp (ângulo entre o vetor de orientação do robô e o eixo x). As informações de
posicionamento e orientação são obtidas a partir de um sistema de visão.
1O robô deste trabalho está de acordo com as regras da MiroSot/Fira (Micro Robot World Cup Soccer
ωr, τr
vr, fr
yp
xp
θp
(a) Robô móvel com duas rodas tracionadas (b) Restrições não-holonômicas
Figura 4.1: Cinemática do robô Nomenclatura adotada para o robô da Figura 4.1(a):
ωr = velocidade angular do robô;
vr = velocidade linear do robô;
τr = torque resultante no robô;
fr = força resultante no robô;
De acordo com a Figura 4.1(a), os deslocamentos incrementais do robô são expressos
por ˙ xp= vr· cos(θp) ˙ yp= vr· sen(θp) ˙θp= ωr (4.1) um conjunto de equações que corresponde ao modelo cinemático do robô.
O robô modelado está sujeito a uma restrição não-holonômica (ver Figura 4.1(b)), a qual impede que as rodas deslizem lateralmente. Desta forma, o robô somente se desloca na direção em que está orientado.
A velocidade linear (vr) e a angular (ωr) do robô estão relacionadas com as velocida-
des angulares das rodas direita (ωd) e esquerda (ωe) através de
� ωd ωe � =ωTv � vr ωr � onde ωTv= � 1/rd d/2rd 1/re −d/2re � (4.2) onde d é a distância entre as rodas e rd,esão os raios das rodas direita e esquerda. A relação dada pela equação 4.2 servirá para interligar a cinemática do robô com a dinâmica dos motores.