Controle de vibrações

A descrição do controle de vibrações é baseado no trabalho de Paola Gonzales (2013). Um resumo da estratégia de controle modal é apresentado. Este controle é aplicado ao modelo teórico

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proposto neste trabalho com o objetivo de atenuar as vibrações na extremidade de uma estrutura longa e flexível, deformada estaticamente e tensionada por um cabo. A estratégia de controle é baseada nas características modais da viga. O processo consiste em projetar as matrizes de massa e rigidez no sistema de coordenadas modais, e selecionar poucos modos para definir os parâmetros do ganho do controlador. O método possibilita também a alocação dos polos do sistema controlado para satisfazer os requisitos desejáveis da resposta dinâmica.

O diagrama de blocos do controle em realimentação de estados é apresentado na Figura 3.10. Um observador é implementado para estimar os estados do sistema para um dado instante. Neste trabalho, o observador são os deslocamentos vertical e horizontal da extremidade da estrutura, medidos indiretamente através da oscilação da força de tração do cabo que traciona a estrutura. Estas oscilações podem ser medidas através de extensômetros. A força de controle é aplicada à extremidade da estrutura por meio deste cabo, que por sua vez, faz parte de um mecanismo de carretel acoplado a um motor elétrico DC. Além do controle de vibrações, este mecanismo também fornece a tração estática necessária ao cabo para manter a estrutura deformada.

Figura 3.10: Diagrama de blocos do controle em realimentação de estados

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] [ ] (79)

onde é o amortecimento de torção do motor, é a constante da armadura, é a constante do motor, é o momento de inércia rotacional, 𝐿 , são a indutância e a resistência elétrica e é a tensão de entrada do controle. A variável de estado do motor é definida como:

[ ̇] (80)

onde a posição angular é definida como , a velocidade angular ̇ e a corrente de armadura .

A força de controle do atuador, proporcional a posição angular do rotor é dado por:

(81)

onde é o raio do carretel que enrola e traciona o cabo, é a rigidez do cabo. A dinâmica do modelo de EF é expressa por:

̈( ) ̇( ) ( ) (82)

(83)

onde ( ) é o vetor de deslocamentos no sistema global de coordenadas. O vetor contém a força de controle ( ) aplicado pelo cabo de tração, nas direções vertical e horizontal do GDL da extremidade da estrutura, projetada através do vetor [ ]. e são as matrizes de massa e rigidez, respectivamente. O vetor das forças de perturbação externa é representado por ( ). O modelo poderia também apresentar a matriz de amortecimento . A

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simulação apresentada neste trabalho não leva em conta a ação de forças de amortecimento. A matriz

[ ] define os GDLs onde a força de controle é aplicada.

A robustez da estratégia de controle depende da controlabilidade dos modos escolhidos para o controle modal, assim como da resposta dinâmica da força de controle. A escolha dos modos a serem controlados podem ser baseados no fator de participação modal, definido como:

(84)

onde é o autovetor do sistema representado pela equação (82) e é um vetor coluna com zeros a menos das posições correspondentes aos GDL da força de controle. Nestas posições, os valores dos elementos são 1. Os modos selecionados para o controle modal são aqueles com o maior MPF. A resposta dinâmica das forças de controle, por outro lado, é uma limitação no uso do modos com maior MPF. Caso a resposta dinâmica da forca de controle não seja capaz de controlar o sistema com frequências altas, escolhidas pelo maior MPF, então apenas os modos com frequências compatíveis com as forcas de controle serão utilizadas na estratégia de controle.

O projeto de controle que emprega a descrição modal da estrutura é chamado de controle modal. O controle modal apresenta bons resultados em sistemas onde apenas poucos modos da estrutura dominam a resposta (INMAN, 2006).

O modelo de espaço de estados da estrutura, cabo e motor é dado por:

̇ ( ) ( ) (85)

E a equação de saída:

[

50 onde : [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , (87) e [ ̇ ] . (88)

O vetor de estados é definido por . As matrizes de definição do sistema, de entrada, de distúrbios e de saída são definidas por , , e . Os elementos não nulos de correspondem aos GDL horizontal e vertical da extremidade da estrutura, e _𝑦 respectivamente, e que são as variáveis de observação do controle. O sinal de entrada do controle, que é a força exercida pelo cabo ligado ao motor elétrico, é representado por ( ).

O auto problema associado ao modelo de espaço de estado da planta é definido como:

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onde (diagonal) e são as matrizes contendo, respectivamente os autovalores e autovetores da matriz do sistema . O vetor de coordenadas modais está relacionado com o vetor de estados da seguinte forma : η . Substituindo esta expressão de na equação (85), e pré- multiplicando pela inversa da matriz de autovetores, chega-se a representação modal do sistema dado por:

̇ ( ) _{( ) ( ), (90)}

A saída em coordenadas modais é expressa por:

[

𝑦] ( ) (91)

Modos com os maiores fatores de participação modal, e que também satisfazem os requisitos de controlabilidade, são escolhidos para representar a dinâmica da viga, cabo e motor. Ao levar em conta a dinâmica relativa ao modelo do motor na matriz da planta do sistema A causa a introdução de um autovalor nulo e um autovetor associado. O modelo reduzido no espaço modal contem os modos selecionados com os maiores fatores de participação modal e o modo associado com o autovalor nulo.

O método de alocação de polos é utilizado para calcular o ganho modal do controle. Este método garante a estabilidade do sistema através da alocação dos polos de malha fechada, associada com os modos escolhidos, no lado esquerdo do plano complexo de autovalores. As localizações dos polos do sistema controlado são definidos, neste trabalho, através do critério de tempo de estabilização da resposta. O vetor de ganhos do controlador e a matriz de ganho do observador , , são calculados através da formulação de Akerman.

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̅ , (92)

onde ̅ a matriz dos autovetores reduzida.

A matriz de ganho do observado, expressa em coordenadas do espaço de estado é:

̅ (93)

A entrada ( ) para o controle de realimentação de estado é calculado por:

( ) ̂, (94)

onde ̂ é a variável de estado estimada.

O sistema de controle por realimentação é encontrado através da substituição da equação(94) na equação (85) e introduzindo o ganho do observador (93), assim como as variáveis de estado. A equação dinâmica do sistema controlado é dado por:

{ ̇ ̂̇} [

] { ̂} [ ] (95)

O sistema de controle descreve a situação onde a estrutura está inicialmente em repouso, em uma forma deformada particular. Então, devido a um distúrbio externo do estado inicial, as forças de controle agem no cabo de tração da estrutura para atenuar as vibrações da sua extremidade. Na próxima seção, os procedimentos experimentais são explicados.

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