Convergência Global do Algoritmo de Newton-Raphson

Para o método de Newton-Raphson convergir é necessário garantir uma boa aproximação inicial, bem como a diferenciabilidade do operador de contacto. Uma vez que existem três estatutos de contacto possíveis, o operador de contacto com atrito isotrópico F u

( )

,λ

introduzido é apenas localmente diferenciável. No caso de mudança de estatuto de contacto ele é não-diferenciável. Daí a sua frequente associação a algoritmos do tipo Uzawa. A região de convergência quadrática do método de Newton-Raphson está associada a uma região de diferenciabilidade do operador de contacto, ou seja, à estabilização de um estatuto de contacto para cada ponto do corpo deformável. Nas primeiras iterações da fase de Correcção, o algoritmo deve determinar os estatutos de contacto correctos para cada ponto, de modo a permitir uma estabilização da solução. A convergência quadrática só ocorre após a estabilização dos estatutos de contacto. Também, e ao contrário dos algoritmos do tipo Uzawa, o algoritmo descrito ao longo das secções anteriores trata em cada iteração o problema de contacto com atrito e o problema de equilíbrio simultaneamente.

O método iterativo de Newton-Raphson garante convergência quadrática, na condição de que o módulo elastoplástico seja consistente. O recurso a outros módulos mais simples não altera a precisão dos resultados obtidos, mas torna a convergência mais lenta. O programa DD3IMP prevê a possibilidade de proceder à fase de Correcção

utilizando três módulos: (i) o módulo elástico (equação (2.28)); (ii) o módulo tangente (equação (2.47)) e (iii) o módulo elastoplástico consistente (equação (3.76)) [Menezes 1995]. Uma das condições para garantir a convergência do método de Newton-Raphson é estar na vizinhança da solução. Apesar do recurso à estratégia r_min, a experiência mostra que o método falha frequentemente, devido à imposição de condições de equilíbrio e/ou de contacto incorrectas. Em regime elastoplástico, estas condições podem originar deformações plásticas irreais ou soluções instáveis, que resultam numa redução da velocidade de convergência ou mesmo na divergência do processo. Uma forma de minimizar este problema é recorrer ao módulo elástico em substituição do módulo elastoplástico consistente, até que se esteja na vizinhança da solução. Esta estratégia designada de "EPmod", baseia-se no acompanhamento da história de evolução de um conjunto de parâmetros, a partir dos quais se avalia a conveniência de introduzir, ou não, o módulo elastoplástico consistente [Alves 2003]. Os parâmetros envolvidos nesta análise são (i) a norma do vector das correcções dos deslocamentos e das forças de contacto incrementais, d , du λ ; (ii) o valor do critério de convergência, C^crit; (iii) a norma da razão entre a força efectiva e a força prescrita associada à ferramenta que actua a força imposta e (iv) a razão entre os valores máximos de deformação plástica equivalente da configuração corrente e da fase de Previsão.

A monitorização contínua dos parâmetros referidos anteriormente, permite introduzir o módulo elastoplástico consistente ou o módulo elástico, em função da estabilização das condições de equilíbrio e/ou de contacto. Apesar desta estratégia poder ser penalizadora da velocidade de convergência em alguns incrementos, permite garantir uma maior estabilidade do método de Newton-Raphson.

140 Capítulo 5 Regularização do Problema de Contacto com Atrito

O acompanhamento da história de evolução do incremento de deformação plástica equivalente permite ainda avaliar se uma sucessão de iterações pode ou não convergir. Assim, caso numa determinada iteração de equilíbrio j, o incremento de deformação plástica equivalente, normalizado com o incremento previsto na Previsão, ultrapasse um determinado valor, torna-se preferível determinar uma nova solução aproximada. No programa DD3IMP esta estratégia numérica é denominada "NTrialNST". Uma vez decidida a sua introdução, são calculadas sucessões iterativas diferentes, de modo a evitar a paragem do programa devido a soluções não-convergentes [Alves 2003]. Estas sucessões iterativas diferentes podem ser obtidas alterando: (i) a estratégia "EPmod" de modo a atrasar ou antecipar a introdução do módulo elastoplástico consistente; (ii) o tratamento do contacto na fase de Previsão ou (iii) o tamanho do incremento. Neste último caso, pode recorrer-se a valores de tamanho de incremento de ensaio fixos ou a percentagens do coeficiente de redução r_min calculado. A estratégia "NTrialNST" , inicialmente proposta por Alves [2003], avaliava igualmente o valor da força efectiva na iteração de equilíbrio j. Assim, se numa determinada iteração, o valor máximo da razão entre a força efectiva F^fer e a força imposta à ferramenta F_i, fosse superior a um valor prescrito, optava-se por procurar uma nova aproximação inicial. A introdução da nova estratégia para o controlo das ferramentas a força imposta, apresentada na secção 5.4.4.1, elimina a necessidade de avaliar a evolução da força efectiva ao longo da sucessão de iterações. Deste modo, o recurso à estratégia "NTrialNST" é actualmente ditado apenas pelo controlo do incremento de deformação plástica equivalente.

O processo iterativo de Newton-Raphson termina, tal como se indica na Tabela 3.3, quando a norma das forças não-equilibradas for inferior a um limite prescrito, ou seja, desde que o valor do critério de convergência na iteração j seja inferior ao valor da precisão definida pelo utilizador. Para que o algoritmo de resolução seja eficiente é fundamental um critério de paragem apropriado. Nos problemas de contacto com atrito, as restrições impostas são avaliadas pelo multiplicador aumentado pelo que, a forma mais expedita de definir um critério de convergência é baseá-lo nesse parâmetro [Laursen e Oancea 1994, Esche et al. 1997]. O critério de convergência adoptado no programa DD3IMP é definido por

( )

1 crit 1 d , d ^j , ^j j j C − − + ∆ ∆ = ^{u λ u λ} λ R , (5.86) em que d , du λ é a norma do vector das correcções às incógnitas do sistema linearizado

e λ é a norma das forças de contacto envolvidas no processo. Estas duas normas são calculadas na iteração de equilíbrio j−1. R

(

∆ ∆u, λ

)

corresponde à norma das forças não-equilibradas, na iteração de equilíbrio j. A norma λ ^j−1 é utilizada para normalizar o erro cometido relativamente às solicitações envolvidas no processo em causa. À partida a equação (5.86) não se apresenta como dimensionalmente correcta. No entanto, quando o método converge a norma d , du λ ^j−1 é muito próxima da norma dλ ^j−1 e o resíduo

(

∆ ∆u, λ

)

^j

R é essencialmente controlado pela norma das forças. Deste modo o critério de convergência proposto é, efectivamente, controlado pela norma das forças não-equilibradas. A configuração do sistema é avaliada globalmente uma vez que o critério de convergência é baseado nas normas. Ao optar-se por um critério global podem validar-se soluções em que as forças não-equilibradas estejam todas concentradas numa zona localizada do corpo deformável. O critério de convergência adoptado não garante também a estabilização dos estatutos de contacto de todos os nós susceptíveis de

5.4 Método do Lagrangeano Aumentado 141

estabelecer contacto. Ou seja, este critério de convergência permite validar soluções que violem as condições de contacto com atrito. Porém, os incrementos subsequentes corrigem estas situações.

O parâmetro de precisão definido pelo utilizador

(

TOLEQ

)

influencia a velocidade e a precisão da simulação. Para valores elevados deste parâmetro, podem validar-se soluções não-equilibradas que no final do processo incremental pode corresponder a soluções incorrectas. Por outro lado, valores muito pequenos podem conduzir a um número elevado de iterações de convergência e, consequentemente, a um aumento do tempo de computação. O valor de TOLEQ deve ter em conta quer as características do processo a simular quer a precisão exigida.

Em termos globais, a convergência do método de Newton-Raphson depende de inúmeros parâmetros tais como:

ƒ A geometria dos obstáculos, em particular a curvatura;

ƒ As condições do processo, em particular o coeficiente de atrito;

ƒ A lei de comportamento do corpo deformável;

ƒ A discretização do corpo deformável;

ƒ A solução de inicialização do processo iterativo e

ƒ O parâmetro de penalidade.

Os três primeiros parâmetros são incontornáveis, uma vez que definem o processo a simular. A discretização do problema está fortemente relacionada com a geometria das ferramentas, nomeadamente o seu raio de curvatura [Heege 1992, Menezes 1995]. As estratégias numéricas r_min e "NTrialNST", descritas anteriormente, procuram actuar ao nível da solução de inicialização e a estratégia "EPmod" procura controlar a sucessão de iterações. O recurso a estas estratégias minimiza a importância do parâmetro de penalidade como factor de controlo de divergência do método de Newton-Raphson. No entanto, quando as outras estratégias falham, a alteração deste parâmetro pode ser uma alternativa para garantir a convergência no incremento. O intervalo de valores admissíveis para o parâmetro de penalidade é muito amplo [Heege 1992]. Uma escolha simples deste parâmetro pode forçar a convergência mas também pode condicionar fortemente a velocidade de convergência.

Capítulo 6

No documento Algoritmos e Estratégias de Gestão do Problema de Contacto com Atrito em Grandes Deformações (páginas 141-145)