concluindo a demonstra¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 3.11. Note que se whn fosse justamente ∆ ˆdnh ter´ıamos diretamente que Demonstra¸c˜ao do lema 3.5. A limita¸c˜ao (3.82) segue diretamente do lema 3.6 e de (3.78).
Para obter (3.83), basta mostrar que k
e juntar com (3.82). Para mostrar tal desigualdade, podemos proceder como na demonstra¸c˜ao no lema 3.6, mas definindo ˜dh como solu¸c˜ao de
Assim, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do lema 3.5.
3.4 Convergˆ encia do Esquema Totalmente Discreto
Seguindo as ideias das se¸c˜oes 4 e 6 do cap´ıtulo 3 do livro de Temam [25], a fim de estudar a convergˆencia do esquema (3.70)-(3.71) podemos associar `as fun¸c˜oesunh,dnh ewnh, solu¸c˜oes de
dhk(t) [t
n−1,tn]
= (t−tn−1) k dnh+
1−(t−tn−1) k
dn−1h . (3.87)
Analogamente, defina as fun¸c˜oes cont´ınuas ˆdhk e ˜dhk. Considere tamb´em as fun¸c˜oes constantes em cada intervalo (tn−1, tn),urhk,ulhk,drhk edlhk, definidas como
(urhk(t), drhk(t)) [t
n−1,tn)= (unh, dnh) (3.88) (ulhk(t), dlhk(t))
[t
n−1,tn)
= (un−1h , dn−1h ). (3.89) Definimos assim, tamb´em, as fun¸c˜oes constantes por parteswrhk, ˆdrhk, ˜drhk, ˆdlhke ˜dlhk. Com essas fun¸c˜oes, podemos reescrever (3.70)-(3.71) como
d
dt(uhk, µdˆhk), (vh, eh)
+a
(urhk, whkr ),(vh, eh) + +c
(ulhk, dlhk),(urhk, drhk),(vh, eh)
= (3.90)
=−µ
γf˜ε(dlhk) + d dt
d˜hk , eh
, ∀(vh, eh)∈Vh×Wh, b(urhk, qh) +µ
∇dˆrhk , ∇gh
−(whkr , gh ) = 0, ∀(qh, gh)∈Mh. (3.91) Decorre do lema 3.4 que
uhk, urhk eulhk s˜ao limitadas emL∞(0, T;L2(Ω)), (3.92) dˆhk,dˆrhk e ˆdlhk s˜ao limitadas emL∞(0, T;H1(Ω)), (3.93) urhk ´e limitada emL2(0, T;H01(Ω)), (3.94) whkr ´e limitada emL2(0, T;L2(Ω)) (3.95) e, de acordo com a observa¸c˜ao 3.10,
dhk, drhk edlhk s˜ao limitadas emL∞(0, T;H1(Ω)). (3.96) Ainda decorre do lema 3.4 que
(urhk−ulhk,dˆrhk−dˆlhk)
L2(0,T;L2
(Ω)×H1(Ω))≤Ck1/2 (3.97)
(urhk−uhk,dˆrhk−dˆhk)
L2(0,T;L2
(Ω)×H1(Ω))≤Ck1/2. (3.98)
E do lema 3.6 decorre que
dˆrhk edrhk s˜ao limitadas emL2(0, T;W1,3(Ω)). (3.99) As limita¸c˜oes obtidas acima s˜ao uniformes em h e k, isto ´e, n˜ao dependem de h e k, mas dependem de 1
ε2. Dessas limita¸c˜oes independentes deheke das proposi¸c˜oes 1.9 e 1.10 temos que existe
uma subsequˆencia de (h, k), ainda denotada por (h, k), e existem (ur,dˆr), (ul,dˆl) e (u,d) eˆ wtais que, quando (h, k)→(0,0),
(urhk,dˆrhk)−→(ur,dˆr) fraco* em L∞(0, T;L2(Ω)×H1(Ω)), (3.100)
(ulhk,dˆlhk)−→(ul,dˆl) fraco* em L∞(0, T;L2(Ω)×H1(Ω)), (3.101) (uhk,dˆhk)−→(u,d) fraco* emˆ L∞(0, T;L2(Ω)×H1(Ω)), (3.102) (urhk,wˆrhk)−→(ur, w) fraco emL2(0, T;H1(Ω)×L2(Ω)). (3.103) As estimativas (3.97) e (3.98) implicam que
ur=ul=u e dˆr= ˆdl= ˆd.
Como as sequˆencias ˜drhk, ˜dlhk e ˜dhktamb´em s˜ao limitadas emL∞(0, T;H1(Ω)) as convergˆencias (3.100), (3.101) e (3.102) valem para as sequˆenciasdrhk,dlhk edhk.
Finalmente, segue das convergˆencias mencionadas e de (3.99) que
dˆrhk−→dˆfraco emL2(0, T;W1,3(Ω)). (3.104) Assim como foi feito para as equa¸c˜oes de Navier-Stokes na se¸c˜ao 6 do cap´ıtulo 3 do livro de Temam [25], podemos escrever (3.90)-(3.91) como
Z T 0
d
dt(uhk, µdˆhk), (vh, eh)
ψ(t)dt+ Z T
0
a
(urhk, wrhk),(vh, eh)
ψ(t)dt+
+ Z T
0
c
(ulhk, dlhk),(urhk, drhk),(vh, eh)
ψ(t)dt=
=−µ Z T
0
γf˜ε(dlhk) + d dt
d˜hk , eh
ψ(t)dt, ∀(vh, eh)∈Vh×Wh, ∀ψ∈Cc∞((0, T)),
e as convergˆencias fracas (3.100)-(3.104) s˜ao suficientes para se passar ao limite nos termos bilineares de (3.90)-(3.91). De fato, considere o termo
Z T 0
a
(urhk, wrhk),(vh, eh) ψ(t)dt, por exemplo. Dado (v, e)∈V ×L2(Ω), temos que (Ihv, Khe)∈Vh×Wh e
(Ihv, Khe)−→(v, e) forte emH1(Ω)×L2(Ω), de onde segue que
(Ihv, Khe)ψ−→(v, e)ψforte emL2(0, T;H1(Ω)×L2(Ω)).
Temos que
Da convergˆencia fraca (3.103) decorre que o segundo termo da ´ultima desigualdade tende para zero quando (h, k)−→(0,0). E da convergˆencia forte de (Ihv, Khe)ψpara (v, e)ψsegue que o primeiro termo tamb´em tem limite igual a zero, uma vez que a sequˆencia (urhk, wrhk) ´e limitada em L2(0, T;H1(Ω)× L2(Ω)), pois converge fracamente. Analogamente para os outros termos bilineares, com destaque para a passagem ao limite em (3.91) que nos d´a
b(u, q) +µ
∇d ,ˆ ∇g
−(w , g ) = 0, ∀(q, g)∈M, isto ´e, (u,d, w) satisfaz (3.65).ˆ
Para os termos trilineares, relacionados aos termos n˜ao lineares da EDP, precisamos de resul-tados de compacidade no tempo deunh ednh.
Proposi¸c˜ao 3.11. Existe uma constante C >0, independente de h e de k mas dependente de 1 ε2 tal teste. De (3.71) temos que
µ
∇( ˆdm+lh −dˆmh), ∇g
= whm+l−whm, g
, b(um+lh −umh, q) = 0,
logo, substituindo as fun¸c˜oes teste convenientes,
Obtemos, ent˜ao, O resultado ´e obtido ao estimar os termos do lado direito da igualdade.
Multiplique a equa¸c˜ao acima pork e some emm de 1 aN0−l. Vamos inverter a ordem do que envolvem a forma bilineara1temos
k2
Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz nos somat´orios encontramos a rela¸c˜ao entre a soma dos quadrados e o quadrado da soma, da´ı,
k2
Ent˜ao, de (3.78) ek(N0−1)≤kN0=T0 temos que
A estimativa para os termos que envolvem a forma bilineara2´e an´aloga. Basicamente, trocamos ∇uih porwhi e obtemos
Para o termo que envolve a forma trilinear ˜c1, usando a desigualdade de H¨older, imers˜oes de Sobolev, a desigualdade de Young e o lema 3.4 obtemos
k2
Para o termo que envolve a forma trilinearc1 o racioc´ınio ´e an´alogo,
k2
Dessa vez foram utilizados os lemas 3.4 e 3.5 para obter a constante independente dek eh. E assim fazemos para obter
Para o termo que envolve ˜fε utilizamos (2.33), bilineara. Com algumas contas obtemos
µk2
Ent˜ao, juntando as estimativas obtidas para cada termo obtemos o resultado enunciado.
Teorema 3.1. A sequˆencia de solu¸c˜oes (urhk,dˆrhk)´e um conjunto pr´e-compacto em L2(0, T;L2(Ω)× L2(Ω)), isto ´e, possui uma subsequˆencia convergente na topologia forte de L2(0, T;L2(Ω)×L2(Ω)), se existe uma constanteC >0independente de he dek tal que
Z T−δ
Demonstra¸c˜ao. O resultado segue da caracteriza¸c˜ao de conjuntos compactos emLp(0, T;B), ondeB
´e um espa¸co de Banach, dada pelo teorema 1 do artigo de Simon [24]. Tal resultado nos diz que um subconjuntoF deLp(0, T;B) ´e pr´e-compacto se, e somente se, o conjunto
Corol´ario 3.1. Segue da proposi¸c˜ao 3.11 que a sequˆencia de solu¸c˜oes(urhk,dˆrhk)´e um pr´e-compacto em L2(0, T;L2(Ω)×L2(Ω)).
Demonstra¸c˜ao. Mostraremos que vale (3.106) para todo δ∈ (0, T) e, ent˜ao, o resultado decorre do teorema 3.1. Basta fazer as contas para ˆdrhk, pois as contas s˜ao as mesmas paraurhk e ˆdrhk. Segue de (3.77) que
Z T0−δ
Ent˜ao, de (3.105) obtemos Z T0−lk
e, aplicando (3.105) aos dois somat´orios, obtemos Z T0−(l+α)k
Mas, comoα∈(0,1) el ´e um inteiro positivo, Segue da convergˆencia fraco estrela (3.100) que
lim
Como j´a foi observado, pela passagem ao limite nos termos lineares temos que as fun¸c˜oes limiteu, ˆde wsatisfazem (3.65), ou seja,
Z T
Logo,
Portanto, passando a uma subsequˆencia, se necess´ario, lim Para o primeiro termo do lado direito da desigualdade temos que
de onde segue que
Z tn
e que ˜dnh´e solu¸c˜ao de
Vamos separar a diferen¸ca
Decorre do teorema de tra¸co que
Utilizando uma adapta¸c˜ao do lema deCea, demonstrado depois desta proposi¸c˜ao, podemos afirmar que
Em particular, temos queSZhdnh∈Dh e Portanto, de (3.107) e (3.108) temos que
N0
Para concluir, ´e apresentada a adapta¸c˜ao do lema deCea, mencionada na proposi¸c˜ao anterior.
Lema 3.7. Considere dnh e d˜nh como na proposi¸c˜ao anterior, isto ´e, solu¸c˜oes de
Se
H1(Ω)= 0 ent˜ao o resultado est´a demonstrado. Caso contr´ario, basta dividir a desigualdade por
Basta utilizar os resultados de convergˆencia forte para passar ao limite nos termos trilineares.
Obtemos assim que as fun¸c˜oes limite u, d e w resolvem o problema 3 com fun¸c˜oes teste v ∈ V e o seguinte resultado.
Teorema 3.2. Toda subfam´ılia da fam´ılia {(urhk, drhk, wrhk)}(h,k) tem uma subsequˆencia que converge para uma solu¸c˜ao do problema 3 com fun¸c˜oes testev∈V `a medida que(h, k)→(0,0).
Observa¸c˜ao 3.12. Pela equivalˆencia dos problemas 3 e 1 temos que toda subfam´ılia da fam´ılia {(urhk, drhk)}(h,k) tem uma subsequˆencia que converge para uma solu¸c˜ao semi-forte de (2.7)-(2.11) `a