Convergˆ encia na Informa¸c˜ ao de Fisher

Agora, usando (2.26) obtemos

 Portanto, de (2.31), (2.32) e (2.33) obtemos

∞

e (2.30) est´a provado.

2.5 Convergˆ encia na Informa¸ c˜ ao de Fisher

O objetivo principal deste trabalho é demonstrar o Teorema 3.2.1 de Barron e Johnson [6], a ser apresentado no Cap´ıtulo 3, que estabelece condi¸cões necessárias e suficientes para que uma sequência de somas estabilizadas que converge em distribui¸cão para uma v.a. estávelZ convirja também na distância de Informa¸cão de Fisher (Defini¸cão 2.2.5) para a mesma v.a. Z.

As rela¸c˜oes (2.17) e (2.19), apresentadas na Se¸c˜ao 2.3, a saber kpk_{T V} ≤p

I(p) e sup

p(x)≤p I(p),

já nos dão indica¸cão da razão do interesse em teoremas de limites na distância de Informa¸cão de Fisher. Estas rela¸cões e as que apresentaremos na proposi¸cão a seguir, mostram que con-vergência na Informa¸cão de Fisher é um resultado mais forte e implica outras formas conhecidas de convergência. Maiores detalhes sobre estas e outras rela¸cões da Informa¸cão de Fisher e outras formas de convergência podem ser encontradas em [14] (Se¸cão 5.4 e Apêndice E).

Proposi¸cão 2.5.1. Se h é uma densidade log-côncava e simétrica em torno de zero, então, existe uma constante K =K(h) tal que para qualquer densidade p temos

(a)

∞

−∞

|p(x)−h(x)|dx≤2Kp

I(pkh).

(b) sup_x|p(x)−h(x)| ≤(1 +Kh(0))p

I(pkh).

Cap´ıtulo 3

Convergˆ encia em Informa¸ c˜ ao de Fisher Relativa e v.a.’s Est´ aveis

Sejam X₁, X₂, ...variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas com fun¸cão de distribui¸cão comum F, e suponhamos que existam sequências de constantes reais {a_n}_n≥1 e {b_n}_n≥1, com b_n >0, para as quais a sequência de somas estabilizadas

Zn= X₁+X₂+· · ·+X_n

b_n −an, n≥1 (3.1)

converge em distribui¸cão para uma v.a. Z com distribui¸cão estável não-degenerada.

Conforme já foi lembrado na Se¸cão 1.4, no Cap´ıtulo 1, o Teorema do Limite Central ga-rante que sob a condi¸cão EX₁² < +∞, com V arX₁ > 0, temos para a_n = E(X₁)

√nV arX₁ e b_n = √

nV arX₁ que Z_n −→^D Z, com Z tendo distribui¸cão Normal-padrão, que é uma dis-tribui¸cãoα−estável com α = 2.

Também apresentamos na mesma se¸cão um Teorema do Limite Central Generalizado (Teorema 1.3.11), que apresenta condi¸cões suficientes sobre F para que existam constantes {a_n} e {b_n}, apropriadamente escolhidas, para as quais Z_n −→^D Z, onde Z é uma v.a. α−estável, com 0< α≤2.

Devido às inúmeras aplica¸cões de teoremas de limites desta natureza, uma questão de grande interesse na literatura é saber se esta convergência fraca implica em convergência em um sentido mais forte para a mesma v.a. Z.

Neste trabalho, estamos interessados em estabelecer condi¸cões para que a convergência fraca produza a convergência na distância de Informa¸cão de Fisher, a qual já observamos no

Cap´ıtulo 2 é mais forte que outros tipos de convergência conhecidos como por exemplo, na norma da varia¸cão total (Se¸cão 2.5).

Assim, vamos assumir que a f.d. F, das v.a.’s i.i.d. X₁, X₂, ..., possui densidade p, que tamb´em ´e absolutamente cont´ınua com derivadap⁰. Vamos indicar por pn a densidade deZn e por ψ a densidade de Z.

Neste sentido, no caso cl´assico do Teorema do Limite Central, ondeZn

−→D Z comZ tendo distribui¸cão N(0,1), Barron e Jonhson [3] provaram que esta convergência fraca implica na convergência na Informa¸cão de Fisher Relativa

I(Z_nkZ) = I(p_nkψ) −→

n→∞0 se, e somente se, I(Z_n₀) ´e finito para algum n₀ ≥1.

Recentemente, Bobkov, Chistyakov e Gotze [7] estabeleceram, sob a hipótese de finitude de EX₁², condi¸cões equivalentes àI(Z_n₀)<+∞para algum n₀ ≥1, além de estudarem a validade do Teorema do Limite Central clássico por meio das propriedades da Informa¸cão de Fisher sobre convolu¸cão de densidades. Esse trabalho serviu de base para a obten¸cão de um resultado semelhante no caso não-normal, ou seja, quando Z_n −→^D Z e Z tem distribui¸cão α−estável, com 0< α <2 e −1< β <1, publicado recentemente pelos mesmos autores em [6], e que será apresentado neste cap´ıtulo .

Cabe ressaltar, que no livro [14], Oliver Johnson já apresentou a conjectura de um resultado, em certo sentido similar ao obtido por Barron e Johnson [3], (referente à convergência na Informa¸cão de Fisher relativa no caso normal), também seria poss´ıvel para o caso α−estável, com 0< α <2.

Assim, para a apresenta¸cão em detalhes do trabalho de Bobkov, Chistyakov e Gotze [6], apresentamos na Se¸cão 3.1 alguns lemas auxiliares, que serão necessários para a demonstra¸cão do Teorema principal (Teorema 3.2.2) o qual será apresentado e demonstrado na Se¸cão 3.2 finalizando o cap´ıtulo.

3.1 Resultados Auxiliares

Considere X₁, X₂, ...v.a.’s i.i.d. tendo fun¸cão de distribui¸cão comumF(x) com densidade p(x) e suponha que existem sequências de números reais {a_n}_n≥1 e {b_n}_n≥1, com b_n >0, tais que

Z_n −→^D Z,

onde {Z_n}_n≥1é a sequência de somas estabilizadas dada por (3.1) e Z uma v.a. α−estável com 0< α≤2.

Por todo este cap´ıtulo vamos utilizar a seguinte nota¸c˜ao:

pn(x): densidade de Zn. ψ(x): densidade deZ.

fn(t) =EeîtZⁿ : fun¸cão caracter´ıstica de Zn. g(t) =EeîtZ : fun¸cão caracter´ıstica de Z.

f(t) = Ee^itX¹ : fun¸c˜ao caracter´ıstica de X₁.

Note que, comoX₁, X₂, ...são v.a.’s i.i.d. com fun¸cão caracter´ıstica comumf(t), então f_n(t) = eîtaⁿ[f(t/b_n)]ⁿ. (3.2) Como Z é α−estável, pelo Teorema 1.3.8 temos que necessariamente

b_n=n^1/αh(n), (3.3)

onde h é uma fun¸cão de varia¸cão lenta no sentido de Karamata e pelo Teorema 1.3.2 a fun¸cão caracter´ıstica de Z é da forma

g(t) = exp{iµt−σ^α|t|^α[1 +iβsign(t)w(t, α)]}, onde 0< α≤2,−1≤β ≤1,µ∈R,σ > 0 e

w(t, α) =





 tan

πα 2

, seα6= 1 2

π log|t|, se α= 1.

Assim, denotamos Z =^D Sα(σ, β, µ).

Se a densidadep_né absolutamente cont´ınua com derivadap⁰_n(x), a Informa¸cão de Fisher de Zn é dada por

I(Zn) = I(pn) =

∞

−∞

[p⁰_n(x)]²

p_n(x) dx, (3.4)

e em qualquer outra situa¸c˜ao onde a integral n˜ao esteja bem definida, definimos I(Z_n) = +∞.

Notemos que, pela Observa¸c˜ao 2.2.2 (d), temos

I(Z_n) =I(Z_n+a_n).

Assim, por facilidade, vamos assumir que a_n = 0, pois, caso contr´ario, basta considerar Z_n⁰ =Z_n+a_n= X₁+· · ·+X_n

b_n .

No caso α = 2, ou seja, Z tem distribui¸c˜ao Normal e EX₁² = σ² < +∞, escolhemos b_n = √

nσ. Neste caso, se I(Z₁) < +∞, então segue da Proposi¸cão 2.2.4 (Desigualdade de Stam) e da Observa¸cão 2.2.2 (d) que para todo n >1,

I(Z_n) = b²_nI(X₁+· · ·+X_n)≤ b²_nI(X1)

n =σ²I(X₁) = σ²I(Z₁)<∞.

Ou seja, sup

n>1

I(Z_n)<+∞.

Nosso objetivo nesta se¸cão é provar que esta propriedade se estende para Z α−estável não extremal. Ou seja, vamos provar:

Lema 3.1.1. Suponhamos que Zn

−→D Z, onde Z segue uma lei estável não extremal. Se I(Z_n₀)<∞ para algum n₀, então sup

n>n0

I(Z_n)<∞.

Lembrando a Defini¸cão 1.3.5: dizemos queZéα−estável não-extremal seZ tem distribui¸cão Normal (α= 2) ou se 0< α <2 e −1< β <1.

Para provar o Lema 3.1.1, necessitamos de v´arios resultados auxiliares. Por facilidade de argumenta¸c˜ao vamos assumir quen₀ = 1. Ou seja, I(X₁) =I(p)<+∞.

Pelas observa¸c˜oes anteriores, basta analisarmos o caso 0 < α < 2. Para isto, para cada n ≥1, vamos decompor a densidade p(x), de X₁, da seguinte forma

p(x) = (1−δn) ˆpn(x) +δnqˆn(x), onde δ_n=

|x|>bn

p(x)dx e pˆ_n(x) e ˆq_n(x) s˜ao as densidades truncadas

p_n(x) = b_n

1−δ_np(b_nx)1{|x|≤1} e qˆ_n(x) = b_n

δ_np(b_nx)1{|x|>1}, (3.5)

com respectivas fun¸c˜oes caracter´ısticas fˆ_n(t) = 1

1−δ_n

−b_n

e^itx/bⁿp(x)dx e gˆ_n(t) = 1 δ_n

{|x|>bn}

e^itx/bⁿp(x)dx. (3.6)

Note que, pelo Corol´ario 1.3.13, segue de (1.21) que δn∼ c

n, quando n → ∞, (3.7)

para uma certa constante c >0, que depende somente de p.

Agora, como p_n(x) = p^n∗(x), ou seja, a n−ésima convolu¸cão de p, podemos obter da Pro-posi¸cão 1.2.3 e das propriedades de convolu¸cões de densidades a seguinte decomposi¸cão binomial

p_n= ((1−δ_n)ˆp_n+δ_nqˆ_n)^n∗ =

k=0

n k

(1−δ_n)^kδ^n−k_n pˆ^k∗_n ∗qˆ_n^(n−k)∗. (3.8) Assim, da propriedade de convexidade do funcional I, demonstrada na Observa¸c˜ao 2.2.2 (e) , segue que

I(Z_n) =I(p_n)≤

k=0

n k

(1−δ_n)^kδ_n^n−kI pˆ^k∗_n ∗qˆ_n^(n−k)∗

. (3.9)

Observe que cada convolu¸cão ˆp^k∗_n ∗qˆn^(n−k)∗, que aparece na soma, está representando uma den-sidade de probabilidade com fun¸cão caracter´ıstica ˆf_n^k(t) ˆg_n^(n−k)(t).

Por (3.9), para provar o Lema 3.1.1, basta obtermos cotas superiores paraI ˆ

p^k∗_n ∗qˆn^(n−k)∗

, para cada 0 ≤k ≤n, em termos de I(X₁) =I(p). Lembrando que, por facilidade de nota¸c˜ao, estamos assumindo que n₀ = 1, ou seja, I(X₁) =I(p)<+∞.

Faremos isto em v´arios passos, que ser˜ao apresentados por meio de lemas.

No primeiro lema, obtemos cotas superiores parak ≤n−3, com n ≥3.

Lema 3.1.2. Se k≤n−3, ent˜ao

I(ˆp^k∗_n ∗qˆ_n^(n−k)∗)≤C(nbn)²I(p), (3.10) onde a constante C depende unicamente de p.

Demonstra¸c˜ao. Por (2.11) segue que

I(ˆp^k∗_n ∗qˆ_n^(n−k)∗)≤I( ˆq_n^(n−k)∗). (3.11)

Por outro lado, da Proposi¸cão 2.3.3 se n − k ≥ 3, como as densidades ˆq_n são de varia¸cão Mas, das propriedades de varia¸cão total temos que

kqˆ_n^s∗k_{T V} ≤ kqˆ_nk_{T V} para s = 1,2,3,4, ...

C, obtemos o resultado.ˆ

Para as outras parcelas de (3.9), quandon−k <3, vamos novamente utilizar ( 2.11) para obter

I(ˆp^k∗_n ∗qˆ^(n−k)∗_n )≤I( ˆp_n^k∗). (3.14) Assim, basta encontrarmos uma cota para I( ˆp_n^k∗).

Por facilidade, consideremos a densidade centrada

r_n(x) = ˆp_n(x+d_n), (3.15)

para alguma constante C dependendo somente da densidadep.

Provaremos (3.17) utilizando cotas superiores para a fun¸c˜ao caracter´ıstica associada arn(x) e de suas derivadas.

Assim, denotemos ϕn(t) a fun¸cão caracter´ıstica associada àrn(x), ou seja,ϕn(t) =Eeît(Y^−dⁿ⁾, onde Y tem densidade ˆp_n(x). Então,

ϕ_n(t) = e^−itdⁿfˆ_n(t), (3.18) onde ˆf_n ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica associada a ˆp_n(x).

No lema a seguir, obtemos uma cota paraϕ⁰_n(t) dependendo somente de p.

Lema 3.1.3. Para todo t ∈R,

|ϕ⁰_n(t)| ≤ C

n|t|, (3.19)

para alguma constante C >0 dependendo unicamente de p.

Demonstra¸c˜ao.

Por (3.18) segue que ϕ⁰_n(t) = e^−itdⁿ( ˆfn

0(t)−idnfˆn(t)) e como ϕ⁰_n(0) = E(Y −dn) = 0, podemos escrever

ϕ⁰_n(t) = ϕ⁰_n(t)−ϕ⁰_n(0) =

∞

−∞

i(x−d_n) e^it(x−dⁿ⁾−1 ˆ p_n(x)dx

= ibn

1−δ_n

−1

(x−dn) e^it(x−dⁿ⁾−1

p(bnx)dx.

onde a ´ultima igualdade segue da defini¸c˜ao de ˆp_n em (3.5).

Agora, fazendo uma mudan¸ca de vari´aveis obtemos

ϕ⁰_n(t) = 1 1−δn

−bn

x bn

−d_n

e^it(x/bⁿ^−dⁿ⁾−1

dF(x).

onde F é a fun¸cão de distribui¸cão de X₁, que tem densidade p(x).

Usando a conhecida desigualdade |e^is −1| ≤ |s|, ∀s ∈ R e em seguida a desigualdade (a−b)² ≤2a²+ 2b², obtemos

|ϕ⁰_n(t)| ≤ 1 Ent˜ao, usando (3.16), podemos escrever

|ϕ⁰_n(t)| ≤ 2|t|

Por outro lado, integrando tamb´em por partes, tomando u=x, dv=dF(x),

n, com c dependendo somente de p, temos que 1

1−δ_n −→

n→∞ 1 e assim ´e limitada por uma constante que depende somente de p. Ent˜ao de (3.20), (3.21) e (3.22) segue

|ϕ⁰_n(t)| ≤C|t|

para alguma constante C > 0 dependendo unicamente de p.

Assim, para obter o resultado desejado devemos limitar as duas integrais em (3.23). Para isto, lembremos que pelo Corol´ario 1.3.13 temos|f(t)|= exp{−c|t|^αh(1/|t|)}ondec >0 eh(x)

e uma fun¸c˜ao de varia¸c˜ao lenta quando x→ ∞e pelo Teorema 1.3.10, F(x) = (c₀+o(1))

(−x)^α h(−x)x <0 e F(x) = 1−(c₁+o(1))

x^α h(x) x >0. (3.24) Por um lado, considerando a primeira integral em (3.23), vamos provar que para alguma cons-tante C₁ >0,

De fato, podemos escrever para a fun¸c˜aoh(x)

bn da´ı, pelo Teorema 1.1.3, temos h(b_ns)

h(b_n) −→

n→∞1 uniformemente para todo s∈[0,1]. Logo

1 Assim, existe M >0 tal que

Agora, usando (3.24) e fazendo a mudan¸ca de vari´aveis x=sb_n, obtemos 1

n (pelo Teorema 1.3.12) e obtemos (3.25) como quer´ıamos.

Por outro lado, para obtermos uma cota superior para a segunda integral em (3.23), vamos considerar trˆes casos separadamente.

Caso 0< α <1. Utilizando (3.24), temos

Agora, usando os mesmos argumentos utilizados anteriormente para a prova de (3.25), obtemos que

4, existe uma constante C₁ > 0, dependendo somente = 1

4, tal que

Agora como 1−F(x) +F(−x)≤1, usando (3.24) e (3.28), obtemos

onde ˜C₁ depende unicamente de p.

Por outro lado, como b_n = nh(n) (pois α = 1), temos que b^3/2n = n^3/2˜h(n), onde ˜h(n) = onde C₃ ´e uma constante que depende somente de p.

Caso 1< α <2. Neste situa¸c˜ao, temos Corol´ario 1.1.5, pois 2

α −1>0. Ent˜ao segue

com C uma constante dependendo somente de p.

Portanto, em todos os trˆes casos considerados, podemos concluir que 1

b²_n





[1−F(x) +F(−x)]dx





≤ C

n, (3.29)

para alguma constante C que depende somente de p.

Finalmente, usando (3.25) e (3.29) em (3.23) obtemos (3.19).

No lema a seguir vamos obter uma cota superior para a fun¸cão [ϕ_n(t)]^k análoga à cota (1.28) obtida para a derivada da fun¸cão caracter´ıstica de Z_n.

Lema 3.1.4. Sejam δ ∈ (0, α) e η ∈ (0,1) fixos. Ent˜ao, existem constantes positivas , c, C que dependem de p, δ, η com a seguinte propriedade: se k > ηn, ent˜ao

|ϕ_n(t)|^k =|fˆ_n(t)|^k ≤Ce^−c|t|^δ sempre que |t| ≤b_n, (3.30) onde fˆ_n(t)é a fun¸cão caracter´ıstica associada à pˆ_n(x), dada em (3.6).

Demonstra¸c˜ao. Por conveniˆencia, vamos assumir |t| ≥ 1. Primeiramente notemos que para todo t∈R,

fˆn(t) = 1

1−δ_n(f1(t/bn)−δnˆgn(t)), (3.31) onde ˆg_n(t) é a fun¸cão caracter´ıstica associada à ˆq_n(t), dada em (3.6).

Por outro lado, do Corol´ario 1.3.13 temos

|f(t)|= exp{−c|t|^αh(1/|t|)}, (3.32) com c >0 e h(x) é uma fun¸cão de varia¸cão lenta quando x→ ∞. Sendo assim, pelo Teorema de Representa¸cão de Karamata (Teorema 1.1.4), podemos representar h(x) como

h(x) =c(x) exp







w(y) y dy







, (3.33)

onde x₀ >0, c(x)→c >0 e w(x)→0 quandox→ ∞.

Como c(bn/|t|)

c(b_n) →1 quando n→ ∞, existe c₀ >0 tal que c(bn/|t|) c(b_n) ≥c₀.

Agora, para ∈(0,1] fixo, para x₀ = minn≤1{b_n : 1≤ |t| ≤b_n}, de (3.33) segue

Da´ı, usando limn→∞

nh(n)

b^α_n = 1 e (3.34) e (3.32) obtemos

|f(t)| ≤exp

−c₁|t|^α−γ/n ,

para alguma constante c₁ >0.

Agora, vamos escolher >0 de modo queγ < α−δ. Ent˜ao usando a desigualdade anterior em (3.31), para 1≤ |t| ≤b_n, temos

Mas como b_n = n^1/αh(n), ent˜ao b^α−γ_n

n = n^−α/γ˜h(n) −→

n→∞ 0, pelo Corol´ario 1.1.5, pois

˜h= (h(n))^α−γ ´e de varia¸c˜ao lenta e γ α >0.

Ent˜ao, existeK >0 constante tal que:

c₁|t|^α−γ

com c₃ constante positiva independente de n. Sendo assim, de (3.35) obtemos

|fˆ_n(t)| ≤exp 1

n c₂ −c₃|t|^α−γ

Como esta desigualdade é também válida para qualquer potência k, temos

|fˆn(t)|^k ≤exp Portanto, para k > ηn segue

|fˆ_n(t)|^k ≤Cexp

−ηc₃|t|^δ e (3.30) est´a provada com c=ηc₃.

Notemos que nas demostra¸cões dos lemas anteriores não usamos o fato que I(p) é finito.

Sendo assim, os resultados são válidos para quaisquer distribui¸cões que estão no dom´ınio de atra¸cão dessas leis estáveis.

A seguir, vamos apresentar uma aplica¸cão dos dois lemas anteriores, onde inclu´ımos a hipótese I(p)<+∞que é de nosso interesse para provarmos (3.17) no próximo lema.

Primeiramente lembremos que se I(p) é finito, a densidade p tem varia¸cão limitada e se anula no infinito. Assim, da Proposi¸cão 2.3.1 temos kpk_{T V} ≤p

I(p) e da´ı podemos obter kr_nk_{T V} =kpˆnk_{T V} = b_n

1−δ_n

p1{|x|≤bn}

T V ≤ b_n

1−δ_n kpk_{T V} ≤ b_n 1−δ_n

pI(p). (3.36)

Por outro lado, de (2.18) temos |f(t)| ≤ kpk_{T V}

|t| ,(t 6= 0) onde f é a fun¸cão caracter´ıstica de p. Então, usando esta desigualdade para as fun¸cões caracter´ısticas ˆf_n e ϕ_n, associadas às densidades de ˆpn ern respectivamente, obtemos de (3.36)

|ϕn(t)|=|fnˆ(t)| ≤ kpkˆ _{T V}

|t| ≤ 1 1−δ_n

pI(p)

|t| , (t6= 0), e como δ_n

n ∼c, com cdependendo somente de p, segue que

|ϕ_n(t)| ≤Cb_n

|t|, (t6= 0) (3.37)

para alguma constante C dependendo somente dep.

Corol´ario 3.1.5. Suponhamos que I(p)<∞. Sejam δ ∈ (0,1) e η ∈(0,1) fixos. Ent˜ao para k ≥4 existe uma constante C dependendo de p, δ e η tal que

∞

−∞

t²|(ϕ^k_n)⁰(t)|dt≤C. (3.38)

∞

−∞

(1 +|t|)|ϕ_n(t)|^kdt ≤C. (3.39)

Demonstra¸c˜ao. Como (ϕ^k_n)⁰(t) = kϕ^k−1_n ϕ⁰(t), temos de (3.19), no Lema 3.1.3, que

∞

−∞

t²|(ϕ^k_n)⁰(t)|²dt=k²

∞

−∞

t²|(ϕ_n)⁰(t)|²|ϕ_n(t)|^2(k−1)dt ≤ C² n²

∞

−∞

t⁴|ϕ_n(t)|^2(k−1)dt. (3.40)

Basta limitar a ´ultima integral por alguma constante ¯C. Para isso, se |t| ≤ b_n, de (3.30), no

Agora, usando cotas de separa¸c˜ao gerais para fun¸c˜oes caracter´ısticas discutidas em [4], podemos obter Assim, usando (3.41) e (3.43) em (3.40) obtemos

∞

Usando o mesmo racioc´ınio, podemos provar (3.39).

Agora, usando as cotas obtidas no Corol´ario 3.1.5, vamos obter cotas para as parcelas

Para isso, vamos fazer alguns cálculos preliminares que simplificarão a prova do lema a seguir. Recordemos que rn(x) = ˆpn(x+dn) é uma densidade com fun¸cão caracter´ıstica ϕn e que [ϕ_n]^k é fun¸cão caracter´ıstica da densidade r^k∗_n . Sendo assim, podemos usar as fórmulas de inversão para k ≥ 4, pois as cotas obtidas no Corolário 3.1.5 garantem as condi¸cões de integrabilidade que precisamos.

Parax∈R podemos escrever,

r_n^k∗(x) = 1 logo, as igualdades (3.44) e (3.45) est˜ao bem definidas.

Por outro lado, podemos escrever r^k∗_n (x) +x r_n^k∗0

Note que, pelo Corol´ario 3.1.5, (3.47) est´a bem definida.

Logo, segue de (3.47) e de (3.44) que x r^k∗_n 0

(x) = − 1 2π

∞

−∞

e^−itx ϕ_n(t)^k+tkϕ_n(t)^k−1ϕ⁰_n(t) dt.

Isto mostra que a fun¸c˜aox r^k∗_n 0

(x)∈L²_R, pois ´e a Transformada de Fourier da fun¸c˜aoϕ_n(t)^k+ tkϕ_n(t)^k−1ψ⁰_n(t)∈L²

R∩L¹

R. Portanto, podemos escrever

| r_n^k∗0

(x)| ≤ u_nk(x)

|x|

onde u_nk(x)∈L²

R, comku_n_kk²₂ =

∞

−∞

(u_n_k)²dx≤C.

Al´em disso, por (3.46) temos para uma constante C > 0, independente de k e n, que (−it)(ψ_n(t)^k)

1 ≤C e de (3.44) temos sup

|(r_n^k∗)(x)| ≤C para todo n.

Logo, ap´os algumas manipula¸c˜oes podemos concluir que

| r_n^k∗⁰

(x)| ≤ vnk(x)

1 +|x|, para alguma fun¸c˜ao v_nk(x)∈L². (3.48) Assim, estamos prontos para provar o seguinte resultado.

Lema 3.1.6. Se 15≤ηn≤k ≤n, ent˜ao

I(ˆp^k∗_n ∗qˆ_n^(n−k)∗)≤C, (3.49)

onde C depende unicamente dep e η.

Demonstra¸c˜ao. Lembrando (3.14), temos

I(ˆp^k∗_n ∗qˆ^(n−k)∗_n )≤I( ˆp_n^k∗),

e pela defini¸c˜ao de rn em (3.15), ´e suficiente provar (3.17), ou seja, I( ˆp_n^k∗) =I(r_n^k∗)≤C.

Assumamos primeiramente que η₀n ≤k ≤n, onde η₀ ≤ η. Notemos que, usando (3.36) como δ_n ∼ c

n, ent˜ao para alguma constante C >0, kr_nk_{T V} ≤Cb_np

I(p)<+∞,

ou seja, a varia¸c˜ao total de r_n ´e finita. Logo, usando os mesmos argumentos para obter (3.12) na prova do Lema 3.1.2, podemos concluir para k ≥3,

I(r_n^k∗)≤ 3

2kr_nk²_{T V} <+∞.

Por outro lado, de (3.48), usando a Desigualdade de Cauchy-Schwartz, obtemos

r^k∗_n

Agora, novamente aplicando a Proposi¸cão 2.3.3 para convolu¸cões de quaisquer três densi-dades r_n^k∗, isto é, se η₀n ≤k_j ≤n ek_j ≥5, j = 1,2,3 obtemos que,

Finalmente, podemos agora provar o Lema 3.1.1.

Prova do Lema 3.1.1. Seja 0 < η < 1. No caso, 15 ≤ ηn ≤ n−3, ent˜ao podemos por (3.9)

obtemos

I(p_n) ≤ X

0≤k<ηn

n k

(1−δ_n)^kδ_n^n−kCI(p)(nb¯ _n)² + X

ηn≤k≤n

n k

(1−δ_n)^kδ_n^n−kC

= ˜C(nb_n)² X

0≤k<ηn

n k

(1−δ_n)^kδ^n−k_n +C X

ηn≤k≤n

n k

(1−δ_n)^kδ_n^n−k

≤C(nb˜ _n)²2ⁿδ^(1−η)nn +C.

Mas, como δn ∼ c

n, podemos escolher 0< η <1 (por exemplo η= 1

2) tal que

n→∞lim(nb_n)²2ⁿδ^(1−η)n_n = 0.

Logo, segue I(pn)≤C, para alguma constante C >0 e o lema est´a provado.

No documento Convergência em Informação de Fisher Relativa de Somas Parciais para Variáveis Aleatórias Estáveis (páginas 52-73)