Convergˆencia Absoluta e Condicional

2.4 S ´ ERIES ALTERNADAS

2.4.2 Convergˆencia Absoluta e Condicional

Definição 2.7 Dizemos que uma série

∞

∑

n=1

an´eabsolutamente convergente se a s´erie de valores

absolutos correspondente,

∞

∑

n=1

|a_n|, ´e convergente.

Exemplo 2.15 (Convergˆencia Absoluta) A s´erie

∞

∑

n=1

(−1)n−1

n2_{+ 2n + 1} ´e absolutamente convergente.

Solução: Utilizando o Teste de Comparação, temos que a série de valores absolutos

∞

∑

n=1

1 n2_{+ 2n + 1}

´e menor que

∞

∑

n=1

n2 (que ´e convergente).

Logo,

∞

∑

n=1

n2_{+ 2n + 1} converge, o que implica na convergˆencia absoluta da s´erie alternada

dada no exemplo.

Definição 2.8 Uma série que é convergente, mas não absolutamente convergente, é denomi- nadacondicionalmente convergente.

Exemplo 2.16 (Convergˆencia Condicional) A s´erie

∞

∑

n=1 (−1)n+11 + n n2 converge condicional- mente.

Solução: Pelo Teste da Série Alternada, vemos que a série dada é convergente, pois

lim n→∞ 1 n2+ 1 n = 0

Porém, usando a série de valores absolutos e o Teste de Comparação de séries,

∞

∑

n=1 1 n2+ 1 n > 1 n Como ∞

∑

n=1 1

n ´e divergente, ent˜ao

∞

∑

n=1 1 n2+ 1 n

também é. Logo, a série converge, mas não absolutamente.

3 S ´ERIES DE POT ˆENCIAS

A principal razão para o desenvolvimento da teoria da seção anterior é a representação de funções como séries de potências, isto é, séries cujos termos contêm potências de uma variável.

Definição 3.1 Uma série de potências é uma série de termos variáveis da forma

∞

∑

n=0

a_nxn= a₀+ a₁x+ a₂x2+ · · · + a_nxn+ · · · (1)

na qual x é variável e os termos ansão constantes chamadascoeficientes da série.

Para cada x fixado, a série (1) é uma série de constantes que podemos testar para a con- vergência ou divergência. Uma série de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros.

Por exemplo, considerando an= 1 para todo n, a série de potências se torna a série geométrica: ∞

∑

n=0

xn= 1 + x + x2+ · · · + xn+ · · ·

que converge quando −1 < x < 1 e diverge quando |x| ≥ 1 (conforme o Exemplo 2.2).

A express˜ao

∞

∑

n=0

a_nxn é comparada a um polinômio, pois trata-se de uma soma de coefici- entes multiplicados por potências de x, mas polinômios têm graus finitos e não divergem para nenhum valor de x. De acordo com Thomas (2003, p. 53), assim como uma série de constantes não é uma mera soma, também uma série de potências de x não é um mero polinômio.

Definição 3.2 De maneira geral, uma expressão da forma

∞

∑

n=0

a_n(x − a)n= a0+ a1(x − a) + a2(x − a)2+ · · · + an(x − a)n+ · · · (2)

é umasérie de potências centrada em x = a. O termo an(x − a)n é on-ésimo termo e o número

Quando estabelecemos que x = 0 na express˜ao

∞

∑

n=0

anxn= a0+ a1x+ a2x2+ · · · + anxn+ · · ·

obtemos a0 à direita mas a0· 00 à esquerda. Como 00 representa uma indeterminação, ocorre

uma falha na notação, a qual será desconsiderada.

O mesmo ocorre em

∞

∑

n=0

a_n(x − a)n quando estabelecemos que x = a. Em ambos os casos todos os termos são 0 para n ≥ 1, assim a série de potências sempre converge para a0 quando

x= a. Mas precisamos determinar, de maneira geral, as condições de convergência para esse tipo de série. Para isso, os teoremas a seguir são indispensáveis.

Teorema 3.1 Se uma s´erie de potˆencias

_∑

a_nxn for convergente para x= x1 (com x16= 0),

ent˜ao ela ser´a absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais |x| < |x1|.

Demonstrac¸˜ao: Se

_∑

anxn1 for convergente, ent˜ao limn→∞anxn₁ = 0. De acordo com a

Definic¸˜ao 2.2, tomando ε = 1, existe um inteiro positivo N tal que

se n > N ent˜ao |anxn1| < 1

Assim, para n > N e se |x| < |x1|,temos

|anxn| = anxn1 xn xn₁ = |anxn1| x x₁ n < x x₁ n (3) A s´erie ∞

∑

n=N x x1 n

é uma série geométrica convergente, com r = |x/x1| < 1. Logo, por (3)

e pelo Teste de Comparação, a série ∑∞

n=N|anxn| tamb´em converge. Assim, a s´erie

∑

anxn ´e

absolutamente convergente para todos os valores de x tais que |x| < |x1|.

Teorema 3.2 Se uma s´erie de potˆencias

_∑

anxn for divergente para x= x2 (x26= 0), ela ser´a

divergente para todos os valores de x para os quais|x| > |x₂|.

Demonstração: Suponhamos que a série de potências seja convergente para algum número x para o qual |x| > |x2|. Então, pelo Teorema 3.1, a série deve convergir para x = x2, o que

contradiz a hipótese. Logo, a série de potências dada é divergente para todos os valores de x tais que |x| > |x2|.

Teorema 3.3 (Estudo da Convergência para Séries de Potências) Existem apenas três possibilidades para uma série de potências

∞

∑

n=0

a_nxn, com relação à convergência.

1. A s´erie converge apenas quando x =0.

2. A s´erie converge para todo x.

3. Existe um n´umero positivo R tal que a s´erie converge se |x| < R e diverge se |x| > R.

Demonstração: Se fizermos x = 0 na série de potências dada, teremos a0+ 0 + 0 + · · · ,

que claramente ´e convergente. Assim, como visto anteriormente, toda s´erie da forma

∞

∑

n=0

anxn

converge quando x = 0. Se esse for o único valor de x para o qual a série converge, então a afirmação 1 é válida.

Suponhamos que a s´erie dada seja convergente para x = x1(x16= 0). Segue do Teorema 3.1

que a s´erie ´e absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais |x| < |x1|. Se

não existir nenhum valor de x para o qual a série dada seja divergente, então a afirmação 2 é válida.

Mas se a s´erie dada for convergente para x = x1, com x16= 0 e, divergente para x = x2, tal

que |x2| > |x1|, do Teorema 3.2 segue que a s´erie ´e divergente para todos os valores de x tais que

|x| > |x2|. Logo, |x2| ´e um limitante superior para o conjunto dos valores de |x| para os quais a

série é absolutamente convergente. Então, pelo Axioma do Completamento (2.1) esse conjunto de números tem um limitante superior m´ınimo, que é o número R da afirmação 3. Isso completa a demonstração de que apenas uma das afirmações é válida.

Assim, de forma geral, podemos determinar as condições de convergência para a série de potências centrada em x = a.

Teorema 3.4 (Estudo da Convergência para Séries de Potências centradas em x = a) Para uma série de potências

∞

∑

n=0

a_n(x − a)n, existem apenas três possibilidades com relação à convergência.

1. A s´erie converge apenas quando x = a.

3. Existe um n´umero positivo R tal que a s´erie converge se |x −a| < R e diverge se |x −a| > R.

Demonstração: Fazendo a mudança de variável u = x − a, a série de potências se torna

∞

∑

n=0

a_nun, e nesse caso, podemos aplicar o teorema anterior.

No caso 1, quando u = 0, temos x = a. No caso 2, todos os valores de u implicam em todos os valores de x, já que u e a são reais. Por fim, no caso 3, a convergência para |u| < R acarreta a convergência para |x − a| < R enquanto a divergência para |u| > R implica a divergência para |x − a| > R.

O número R é o raio de convergência e o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge é chamado de intervalo de convergência da série de potências.

Considerando o Teorema 3.4, no caso 1, R = 0 e portanto o intervalo de convergência consiste apenas no ponto a. No caso 2, R = ∞, o que nos fornece o intervalo (−∞, +∞) para a convergência da série. Se 0 < R < ∞, a desigualdade |x − a| < R, no caso 3, pode ser reescrita como a − R < x < a + R. Em cada extremo do intervalo de convergência, isto é, quando x = a± R, a série pode ou não convergir. Por isso, a convergência deve ser testada separadamente em cada um desse pontos.

Em geral, o Teste da Razão (e algumas vezes o Teste da Raiz) é usado para determinar o raio de convergência. Para testar a convergência nos extremos do intervalo os testes da Razão e da Raiz não permitem tirar nenhuma conclusão, nesse caso, deve-se usar outros tipos de testes como o de Comparação, o da Integral ou da Série Alternada, por exemplo.

Exemplo 3.1 (Raio e Intervalo de convergˆencia) Vamos determinar todos os valores de x para os quais a s´erie ∞

∑

n=1 xn √ n ´e convergente.

Solução: Utilizando o Teste da Razão para convergência absoluta, temos

lim n→∞ an+1 a_n = lim n→∞ xn+1 √ n+ 1· √ n xn = |x| lim n→∞ r n n+ 1 = |x|

Para que a série convirja, é necessário que |x| < 1. Assim, temos uma série de potências centrada em x = 0 com raio de convergência R = 1.

Para os valores extremos do intervalo (x = ±1), a convergência deve ser testada separadamente, e com outro tipo de teste, já que o Teste da razão é inconcludente neste caso.

Se x = −1, a s´erie se torna ∞

∑

n=1 (−1)n √ n = −1 + 1 √ 2− 1 √ 3 que converge, pelo Teste da S´erie Alternada.

Se x = 1, obtemos a s´erie ∞

∑

n=1 1 √ n = ∞

∑

n=1 1 n1/2

que é uma p-série com p = 1/2 < 1 e, portanto, é divergente (Exemplo 2.9).

Logo,o intervalo de convergência da série dada é [−1, 1).

No documento Séries de potências: aspectos teóricos e aplicações (páginas 37-43)