Conversão do Discreto para o Contínuo do modelo ARX

A conversão do modelo ARX para o tempo contínuo tem por objetivo a obtenção de um modelo de mais fácil manipulação e mais realista, visto que o mesmo permite encontrar o tempo de vida de baterias para diferentes pers de descarga. Para realizar a conversão do modelo, foram utilizados dois discretizadores, apresentados no Capítulo 4, o ZOH e o Tustin. Em ambos os casos, os resultados obtidos foram muito próximos.

A metodologia adotada para a obtenção do modelo ARX em tempo contínuo é des- crita a seguir. O processo de conversão consiste na substituição da variável z por um dos discretizadores mencionados acima, convertendo o modelo, representado no domínio complexo Z, para um modelo no domínio de Laplace, ou seja, faz-se a equivalência de

Z no tempo discreto, com Laplace no tempo contínuo. Isto é permitido, uma vez que, a

transformada Z no domínio de tempo discreto é equivalente a transformada de Laplace no domínio de tempo contínuo [17]. Após a realização desta conversão calcula-se, então, a transformada inversa de Laplace para a função de transferência obtida, e chega-se ao modelo o domínio do tempo para predição do tempo de vida de baterias de dispositivos móveis.

Observa-se que no processo de conversão para o tempo contínuo algumas informações podem ser perdidas tornando o modelo, muitas vezes, menos acurado que o modelo original em tempo discreto e vice-versa, uma vez que, em geral, os modelos em tempo discreto estão normalizados. Sendo assim, é importante ressaltar que o modelo necessita de um ajuste, denominado ganho.

A seguir será descrito o processo de conversão para tempo contínuo do modelo ARX utilizando o discretizador ZOH e o modelo de Tustin, bem como os resultados obtidos.

5.7.1 Conversão por ZOH

Utilizando-se o modelo ARX identicado, realizou-se a conversão com base no dis- cretizador ZOH. Este discretizador, substitui o sinal discreto, por um sinal contínuo de amplitude equivalente, e o mantém durante o intervalo entre uma amostragem e outra. Os modelos calculados estão representados com atraso de tempo, ou seja, para realizar a conversão é necessário escrevê-los como funções de transferência representadas no domínio

Z.

Partindo-se do modelo

A(q)y(k) = B(q)u(k) + v(k),

com A(q) e B(q), polinômios arbitrários, conforme já descrito no Capítulo 4, escrevendo-se este modelo como representação em função de transferência, obtém-se

y(k) = B(q)

A(q)u(k) +

1

A(q)v(k), (5.5)

onde os polinômios A(q) e B(q) são

A(q) = 1− 1, 297q−1+ 0, 36q−2

B(q) = −0, 0009268q−1.

Substituindo os polinômios na equação (5.5), tem-se

y(k) = −0, 0009268q

−1

1− 1, 297q−1+ 0, 36q−2u(k) +

1

1− 1, 297q−1+ 0, 36q−2v(k).

Segundo Ljung [17], o operador de atraso q pode ser substituído diretamente por z, para o cálculo da Transformada Z. Sendo assim a equação (5.6) transforma-se em

y(k) = −0, 0009268z

−1

1− 1, 297z−1+ 0, 36z−2u(k) +

1

1− 1, 297z−1+ 0, 36z−2v(k). (5.6)

Da equação (5.6) obtém-se a função de transferência que relaciona a entrada do sistema a sua saída, apresentada na equação (5.7); e a função de transferência do erro, apresentada na equação (5.8), ou seja, B(z) A(z) = −0, 0009268z−1 1− 1, 297z−1+ 0, 36z−2, (5.7) 1 A(z) = 1 1− 1, 297z−1+ 0, 36z−2. (5.8)

Inicialmente, torna-se necessário escrever as equações (5.7) e (5.8) como funções de transferências sem o atraso, o que é realizado, neste caso, fazendo-se a multiplicação de ambas por z2 z2, tornando-as B(z) A(z) = −0, 0009268z z2− 1, 297z + 0, 36 (5.9) 1 A(z) = 1 z2− 1, 297z + 0, 36. (5.10)

Feito isto, então realiza-se a conversão dos modelos do domínio Z para o domínio de Laplace. Para o discretizador ZOH, este processo é realizado fazendo-se a substituição de

z ← 1− e

−s.T s

s ,

onde T s = 100 é o intervalo de amostragem dos dados utilizados para estimação dos parâmetros de A(q) e B(q). Após obtém-se as seguintes funções de transferência no domínio de Laplace, primeiramente a relação entrada/saída do sistema dada por

B(s)

A(s) =

−0, 000006929s − 0, 000000165 s2_{+ 0, 0104s + 0, 000009812} ,

e, então o erro, dado por

C(s)

A(s) =

s2_{+ 0, 02233s + 0, 0001604}

s2_{+ 0, 0104s + 0, 000009812}.

Realizando as operações para o cálculo da transformada inversa de Laplace das funções de transferência obtidas, chega-se ao modelo algébrico no domínio do tempo apresentado na equação (5.11) dado por

y(k) = G[6195, 34935e−0,001049337402k− 170, 8518542e−0,0093506626k]. (5.11) Além estas etapas, é necessário calcular o ganho do modelo (i.e., G), o qual, geralmente é constante. Entretanto, com base nos resultados obtidos, vericou-se que o ganho não era constante, sofrendo uma pequena variação a medida que as descargas eram maiores. Foram realizadas algumas regressões, dentre elas, a linear, a exponencial e a de potência, sendo escolhida a de potência por melhor ajustar os dados, logo o modelo apresentado na equação (5.11) torna-se

y(k) = [6195, 34935e−0,001049337402k− 170, 8518542e−0,0093506626k]k−0,6688, (5.12)

de uma bateria em função da corrente de descarga, onde y(k) é o tempo de vida da bateria e k é o perl de descarga.

A seguir será apresentado o processo de conversão do modelo ARX do domínio de tempo discreto para contínuo, utilizando-se o método de Tustin.

5.7.2 Conversão por Tustin

Assim como no discretizador ZOH, o discretizador Tustin faz a substituição da variável

z do domínio complexo Z para a variável s de no domínio de Laplace. Partindo-se do

modelo apresentado na equação (5.6)

y(k) = −0, 0009268z

−1

1− 1, 297z−1+ 0, 36z−2u(k) +

1

1− 1, 297z−1+ 0, 36z−2v(k),

o procedimento é semelhante ao realizado com o discretizador ZOH, neste caso z nas funções de transferência da relação entrada/saída do sistema, equação (5.9) e do erro do modelo, equação (5.10), é realizada a substituição

z ← 1 + (

T s

2 )s

1− (T s₂ )s,

onde T s = 100 é o intervalo de amostragem dos dados utilizados na estimação dos parâ- metros do modelo. Após obtém-se as funções de transferência no domínio de Laplace da relação entrada/saída do modelo dada por

B(s)

A(s) =

0, 000386s2− 0, 0000001544

s2_{+ 0, 009565s + 0, 000009184},

e do erro do modelo dada por

C(s)

A(s) =

s2_{+ 0, 04s + 0, 0004}

s2_{+ 0, 009565s + 0, 000009184}.

Em seguida é necessário realizar a transformada inversa de Laplace, onde estas funções são calculadas como sendo a resposta ao impulso unitário, e assim foi obtido o modelo no tempo contínuo dado por

y(k) = G[6732, 847685e−0,001082728892k− 2504, 223392e−0,008482271112k]. (5.13) Conforme já mencionado na seção anterior o ganho normalmente é constante, entre- tanto, foram analisados os valores do ganho e vericou-se que o mesmo não era constante, o qual foi calculado por uma regressão de potência e acrescido ao modelo. A regressão de potência foi escolhida após uma análise entre as regressões linear, exponencial e de

potência, logo o modelo apresentado na equação (5.13) torna-se

y(k) = [6732, 847685e−0,001082728892k− 2504, 223392e−0,008482271112k]k−0,6783, (5.14)

que representa em tempo contínuo o modelo matemático que descreve do tempo de vida de uma bateria em função da corrente de descarga, onde y(k) é o tempo de vida da bateria e k é o perl de descarga.

Após as conversões, na próxima seção será feita uma breve análise dos modelos em tempo contínuo obtidos para escolha do que melhor representa o modelo ARX em tempo discreto para o cálculo do tempo de baterias utilizadas em dispositivos móveis

5.8 Análise Comparativa dos Modelos em Tempo Con-