Cont i nui dade da temperatura
5.2 COORDENADAS GENERALIZADAS
5.2.1- Introdução
A solução numérica de equações diferenciais requer a discretização do domínio em pontos ou volumes elementares. As equações diferenciais são aproximadas por um conjunto de equações algébricas, relacionando as incógnitas em cada ponto, cuja solução produz valores discretos das variáveis em cada ponto da malha. Esses valores representam a solução aproximada da equação diferencial no domínio. Portanto, a forma da discretização do domínio, ou seja, a malha na qual a solução será calculada é de vital importância para a solução propriamente dita.
É fundamental diminuir os erros de discretização e interpolação junto às fronteiras, pois na maioria dos problemas, a solução é fortemente dependente das condições de contorno e é nessa região que aparecem os maiores gradientes. Qualquer erro próximo aos contornos é rapidamente propagado para o interior do domínio, comprometendo toda a solução. Por isso, é conveniente a utilização de malha coincidente com a fronteira, que é obtida por meio de um sistema coordenado natural para uma dada geometria.
Atualmente costuma-se trabalhar com sistemas de coordenadas generalizadas que resultam de geração de malhas coincidentes com as fronteiras do problema, permitindo maior generalidade da solução.
A seqüência de etapas para o tratamento de geometrias arbitrárias com coordenadas generalizadas é a seguinte. Inicialmente considera-se uma transformação de coordenadas do sistema cartesiano, por exemplo, para um sistema de coordenadas geral. Com as relações matemáticas de tal transformação, procede-se, a uma transformação das equações para o sistema coordenado generalizado. As equações assim transformadas se aplicam a qualquer sistema coordenado, desde que sejam conhecidas as métricas da transformação. As métricas são determinadas para cada geometria, pela geração de uma malha conveniente ao problema, certamente, coincidente com a fronteira. Existem diversos métodos para geração de malhas coincidentes com a fronteira. Este tema não será tratado neste trabalho, podendo ser encontrado em [110] e [115].
Deseja-se ressaltar que a obtenção da malha, ou seja, do próprio sistema coordenado utilizado na discretização do domínio é um processo independente da solução do problema físico. O programa computacional que
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resolve as equações de conservação transformadas em coordenadas generalizadas é geral, podendo ser aplicado a qualquer geometria de uma mesma família, desde que as métricas sejam conhecidas. O programa gerador da malha é responsável pelo cálculo das métricas as quais serão informadas ao programa de solução dos problemas físicos. O programa gerador de malhas também pode ser geral, apenas necessitando de dados a respeito da localização dos pontos na fronteira do domínio.
Nas seções a seguir, descreve-se o procedimento para utilização de coordenadas generalizadas no método de solução de problemas de mudança de fase. Os detalhes matemáticos serão evitados, por estarem amplamente documentados na literatura corrente. A fundamentação teórica aqui utilizada pode ser encontrada em Maliska [110],
5.2.2- Transformação Geral de Coordenadas Dependentes do Tempo
Faz-se uma transformação de coordenadas de um plano físico (x,y,t), escolhido cartesiano, para um plano transformado através de
É = S(x,y,t) Ti = ri(x,y,t)
X = t
(5.1)
Mediante esta transformação, uma grande classe de geometrias poderá ser representada no plano transformado por meio de uma geometria retangular. Este fato é ilustrado na Fig. 5.2.
Plano físico
Plano transformado
Por isso, quando se utiliza a formulação em coordenadas generalizadas, o domínio computacional é sempre retangular e fixo, independente da geometria do problema e de variações temporais no domínio físico.
A teoria matemática associada a transformações de coordenadas é apresentada em vários livros, não sendo do interesse deste trabalho fazer um estudo aprofundado neste tema. Em Maliska [110] o uso de coordenadas generalizadas em volumes finitos é apresentado em detalhes. Em Thompson et al [115] encontra-se uma dedução detalhada das relações matemáticas decorrentes de tal transformação de coordenadas.
A partir da transformação de coordenadas apresentada na Eq. (5.1), as equações de conservação devem ser transformadas e escritas em termos das novas coordenadas Z,,r\,T. Em [110] apresenta-se o procedimento para a transformação das equações de conservação do sistema cartesiano para o sistema generalizado. Parte-se de uma forma genérica de se representar as equações de conservação, na forma conservativa ou divergente,
(5.2)
onde F é uma grandeza vetorial composta de termos convectivos e difusivos, que pode ser decomposta na base cartesiana como
F = E i + F j (5.3)
No sistema cartesiano 2-D, a Eq. (5.2) fica
õG ÔE ÕF 0
---- + — + — = S (5.4)
õt d x ôy
Mos tra-se em [110] que a Eq. (5.4) transformada fica
Ôt 0T| (5.5) com G = G / J (5.6) S = S / J (5.7) E = (xny T - x Ty n ) G + y n E - x tlF (5.8) F = (xtYç - xç y x ) G - y ç E + xç F (5.9)
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5.2.3- As Equações Transformadas
As equações de conservação podem ser apresentadas na forma genérica
õ_
dx(p<D)+v(pvo)=v(r° vo)+s° (5.10)
onde <|) representa uma variável dependente genérica, podendo ser velocidade, temperatura, etc, T* é o coeficiente de transporte associado a $ e S* o termo fonte da equação.
Comparando a Eq. (5.10) com a forma dada na Eq. (5.2) conclui-se que G = pO E = puO - r F = p v O - T o a o ôx <5 5 0 0y (5.11) S = So
E a Eq. (5.10) transformada para o sistema de coordenadas generalizado fica
d_ a ç d ri õ_ õZ, d£, õr\J 5r| r <t> , r <t> õ® ^3 h'-'2 \ + S®
com as velocidades relativas transformadas dadas por U = y i , ( « - X x ) - x T1( v - y T)
V = x^ ( v - y x) - y ç ( u - x T)
e os coeficientes de tr ansporte transformados são
C f =r ®J a C f = - r ® J 3 c f = r ® J y , (5.12) (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) (5.17) onde J é o jacobiano da transformação e a ,P ,y são as métricas, como mostrado em [110],
É importante ressaltar que a variável dependente <j>, permanece a mesma quer no sistema cartesiano, quer no generalizado.
A seguir, apresentam-se as equações de conservação transformadas para coordenadas generalizadas.
- Equação da conservação da massa
A partir da Eq.(5.12), fazendo (j)=l, r*=0 e S*=0, obtém-se a equação da conservação da massa
Como utilizou-se a aproximação de Boussinesq para trat ar a convecção natural, o fluido pode ser considerado incompressível: p = p ( Ç ,ii,T ) = c o n s t a n t e .
Neste caso, a Eq.(5.18a) fica
(5.18a)
(5.18b)
Equação da conservação da quantidade de movimento
Na direção x
Com <|>=u, T*=n e S ^ - d p / d x , na Eq.(5.12), obtém-se
(5.19) (5.20)
e os coeficientes de difusão são dados a seguir Cj1 = | x J a C ^ - n J p C ^ = M y (5.21) (5.22) (5.23)
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Na d i r e ç ã o v
Com <j)=v, r * = n e S*=-õp/dy + p gP0(T-To), na Eq.(5.12), obtém-se
ô ( pv d x v J onde +-
(puv) +^ ( pvv)=
c í — +c; ô v +- ôÇ dr\J ari dv dr\ C3 — + C2Va v d V + s v (5.24) § v = - y | ^ + y pg P o ( T - T„ ) = (Xçpn - x ^ ) + y pgP<,(T - T0) (5.25)e os coeficientes de difusão são iguais aos dados nas Eqs. (5.21-5.23) para a velocidade u.
- E q u a ç ã o de c o n s e rv a ç ã o da e ne rg ia
Parte-se da equação da energia com a temperatura como variável dependente, e o termo fonte dado em termos da fração de líquido, como apresentada no capítulo 2, e transcrita a seguir
(pcT) + V • (pVcT) - V ■ (kVT) = - X 1 (pf)
ot ct (2.18)
Comparando-a com a Eq. (5.10) tem-se <|>=T, T^k/Cp e S*=-(p^/cp) df/dt. Substituindo na Eq. (5.12) obtém-se a equação transformada
pT d x V J y ÔT +- õr\J ô ti T 5 T C3 --- Ci — V ô r | + ST com s T = _ p X _ õ _f f cp dxVJ (5.26) (5.27)
e os coeficientes de difusão ficam C f = — J a c p C j = ~ Jp c p c j = — Jy c p (5.28) (5.29) (5.30)