Corpos Hilbertianos e Quase-Pitag´ oricos

Nesta se¸c˜ao faremos uma pequena classifica¸c˜ao de corpos segundo o Radi- cal de Kaplansky. Estudaremos algumas propriedades elementares de cada classe. A nomenclatura resumida na defini¸c˜ao abaixo est´a de acordo com os nomes habitual- mente utilizados na literatura, exceto os itens paq e peq, que s˜ao introduzidos neste trabalho.

Defini¸c˜ao 2.3 Seja F um corpo.

p1q Dizemos que o radical de F ´e trivial se RpF q  9F2 _{ou RpF q  9F .}

p2q Por defini¸c˜ao, o corpo F ´e:

paq fracamente hilbertiano, se RpF q  9F2_.

pbq pr´e-hilbertiano, se 2BrpF q ´e o grupo com dois elementos

p i.e. sobre F s´o existe uma ´unica ´algebra de quat´ernios n˜ao trivialq. pcq hilbertiano, se F ´e pr´e-hilbertiano e fracamente hilbertiano.

pdq quase-pitag´orico, se RpF q  DFx1, 1y.

peq “caso livre”, se RpF q  9F .

A seguir faremos um lema t´ecnico, que ser´a utilizado em exemplos deste cap´ıtulo. O lema fornece duas formas alternativas de verificar que um corpo ´e quase- pitag´orico.

Lema 2.4 Seja F um corpo e R : RpF q seu Radical de Kaplansky. paq R R € DFx1, 1y Y t0u.

pbq As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes: piq F ´e quase-pitag´orico.

piiq R ° 9F2_.

piiiq R R € R.

Demonstra¸c˜ao A afirma¸c˜ao inicial ´e trivial se
1 P R. De fato, neste caso o item piiq do Lema 2.2 diz que Dx1, 1y  9F . Suponha
1 R R. Sejam x, y P R e denotemos x y  yz, onde z  1 xy
1. Temos
xy
1  1
z P Dx1,
zy.

Tamb´em, xy
1 P R € Dx1,
zy. Como Dx1,
zy ´e subgrupo de 9F , segue que
1 
xy
1_pxy
1_q
1 _{P Dx1,
zy. Isto implica que z P Dx1, 1y. Portanto, x y P Dx1, 1y.}

piq ñ piiq Note que basta provar ° 9F2 _{€ R. Sejam x}

1, . . . , xn P F, com n ¥ 2.

Procedendo por indu¸c˜ao sobre n, vamos assumir que y : x2

1 . . . x2n
1 P R. Ent˜ao

y x2

nP R R € Dx1, 1y Y t0u  R Y t0u, pela afirma¸c˜ao inicial do lema e por pbq.

piiq ñ piiiq ´E trivial.

piiiq ñ piq Suponha R R € R. Ent˜ao x2 _y2 _{P R, para todos x, y P F}_{. Logo,}

Dx1, 1y € R. A inclus˜ao contr´aria ´e trivial.  O primeiro caso de trivialidade do radical ´e um corpo que denominamos anteriormente de fracamente hilbertiano. Dentre os in´umeros exemplos, destacare- mos duas classes (n˜ao disjuntas) de corpos fracamente hilbertianos:

p1q Corpos pitag´oricos. Lembre que F ´e pitag´orico se toda soma (finita) de quadra- dos ´e novamente um quadrado (ou seja,° 9F2 € 9F2). Sendo F pitag´orico, temos que F ´e fracamente hilbertiano, pois RpF q „ DFx1, 1y „

°

F2 „ 9F2.

p2q Corpos com um elemento bir´ıgido e com
1 n˜ao sendo um quadrado. Isto ´e, um corpo F , para o qual
1 R 9F2 _{e existe um elemento aP F}_{z  9F}2 _{tal que}

DFx1, ay  9F2Y a 9F2 e DFx1,
ay  9F2 Y
a 9F2.

Da Defini¸c˜ao 2.1, RpF q „ DFx1, ay X DFx1,
ay. Note que esta interse¸c˜ao ´e neces-

sariamente igual a 9F2_{. Portanto, F ´e fracamente hilbertiano. Um caso particular}

desta classe ´e uma extens˜ao finita do corpo dos n´umeros p-´adicos Qp. Em geral,

veremos que se pF, vAq ´e um corpo valorizado 2-henseliano para o qual o grupo de

valores ΓA n˜ao ´e 2-divis´ıvel, isto ´e, ΓA  2ΓA, ent˜ao F admite pelo menos um ele-

mento bir´ıgido. Portanto, se ocorrer que
1 R 9F2, ent˜ao F ´e fracamente hilbertiano. Caso
1 P 9F2, a situa¸c˜ao n˜ao ´e t˜ao simples e vamos posterg´a-la para o final da segunda se¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.5 Seja F um corpo. Uma ordem de F ´e um subconjunto P € F , tal que
1 R P , P P € P , P P € P e F  P Y
P .

Definindo x¤P y ô y
x P P temos uma rela¸c˜ao de ordem (total) em

F para a qual P  tx P F : 0 ¤P xu. Note que

° _9F2

„ P , para toda ordem P de F . O corpo F ´e chamado de formalmente real se
1 R ° 9F2_{. Se F admite uma}

ordem P , ent˜ao F ´e formalmente real, pois
1 R P . O Teorema de Artin-Schreier ([L1], Teorema 1.12, p.236) estabelece a validade da rec´ıproca.

Escolhendo um corpo pitag´orico formalmente real F , com n 2 ordens epF : 9F2_{q  2}n 1_{, Berman ([Be], Teorema 2.3) mostrou que Fp}?
_{1q ´e um corpo}

pr´e-hilbertiano, que n˜ao ´e hilbertiano, e tem 2n _{classes de quadrados. Para o caso}

formalmente real temos:

Teorema 2.6 S˜ao equivalentes:

piq F ´e um corpo pr´e-hilbertiano formalmente real. piiq p 9F : RpF qq  2.

piiiq F ´e formalmente real e RpF q ° 9F2 _{´e a ´unica ordem de F .}

Demonstra¸c˜ao piq ñ piiq Como F ´e formalmente real,
1 R Dx1, 1y e portanto, pF,
1,
1q ´e a ´unica ´algebra de quat´ernios n˜ao trivial. Vamos verificar que Dx1, 1y € RpF q. Suponha por contradi¸c˜ao, que x P Dx1, 1yzRpF q. Ent˜ao existe y P F tal que pF, x, yq  pF,
1,
1q. Do Lema 1.11, temos x1,
x,
y, xyy  x1, 1, 1, 1y. Segue que
x P ° 9F2_{. Como} ° 9F2 _{´e subgrupo de 9F , temos
1 
xx}
1 _P ° 9F2_,

contradizendo o fato de F ser formalmente real. Portanto, Dx1, 1y € RpF q. Lembre que RpF q est´a sempre contido em Dx1, 1y e assim, RpF q  Dx1, 1y. Agora podemos verificar que p 9F : RpF qq  2. Se a R RpF q  Dx1, 1y, ent˜ao pF, a, aq  pF,
1,
1q. Segue que x
a,
ay  x1, 1y. Logo,
a P Dx1, 1y, o que conclui a demonstra¸c˜ao. piiq ñ piq Verificaremos que RpF q  Dx1, 1y. Pela Defini¸c˜ao 2.1, temos RpF q € Dx1, 1y. A condi¸c˜ao p 9F : RpF qq  2 implica Dx1, 1y  RpF q ou Dx1, 1y  9F . Supondo que ocorre a ´ultima igualdade, chegaremos numa contradi¸c˜ao. Pelo item piiq do Lema 2.2, temos
1 P RpF q. Seja a P 9F zRpF q. Novamente, RpF q € Dx1, ay implica Dx1, ay  RpF q ou Dx1, ay  9F . Contudo, nenhum destes casos pode ocorrer. De fato, se Dx1, ay  RpF q, ent˜ao a P RpF q, contradizendo a escolha de a. Por outro lado, se Dx1, ay  9F , ent˜ao
a P RpF q e como
1 P RpF q e RpF q ´e grupo, temos novamente que a P RpF q. Temos portanto RpF q  Dx1, 1y. Segue do Lema 2.4 que RpF q  ° 9F2_{. Verificamos acima que
1 R RpF q. Segue}

que F ´e formalmente real. Observe que a ´unica ´algebra de quat´ernios n˜ao trivial ´e pF,
1,
1q.

piiq ñ piiiq Segue dos argumentos utilizados em p2q ñ p1q.

Defini¸c˜ao 2.7 Um corpo F satisfazendo umas das condi¸c˜oes equivalentes do item pbq do Lema 2.4 ´e denominado um corpo quase-pitag´orico.

O nome vem do fato evidente que F ´e pitag´orico se, e somente se, ´e quase-pitag´orico e fracamente hilbertiano.

Al´em dos corpos pr´e-hilbertianos formalmente reais, exemplos de quase- pitag´oricos s˜ao os corpos SAP, como veremos nas se¸c˜oes 2 e 3 do cap´ıtulo 4.

O resultado b´asico sobre corpos quase-pitag´oricos ´e o teorema seguinte. Assumiremos que uma forma quadr´atica de tor¸c˜ao ´e um elemento de tor¸c˜ao de WpF q, o anel de Witt do corpo F . Por ([L1], Teorema 4.2, p. 388), a forma quadr´atica

q°x1,
aiyx1,
biy ´e de tor¸c˜ao se, e somente se, bi P

° _9F2

.

Teorema 2.8 Dado o corpo F , as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

piq RpF q  DFx1, 1y p

° _9F2

, pelo Lema 2.4q. piiq I2_{F ´e livre de tor¸c˜ao.}

piiiq Toda 2-forma de Pfister de tor¸c˜ao ´e universal.

Demonstra¸c˜ao piq ñ piiq Lembre que I2_{F ´e gerado pelas 2-formas de Pfister. Seja}

q°x1,
aiyx1,
biy P I2F de tor¸c˜ao. Pelo teorema citado acima, temos bi P

° _9F2

. Por hip´otese, bi P RpF q. Portanto, q  0.

piiq ñ piiiq ´E claro.

piiiq ñ piq Seja x P DFx1, 1y e a P F. Do teorema citado acima, f  x1,
ayx1,
xy

´e de tor¸c˜ao. Segue da hip´otese piiiq que f ´e universal. Como isto vale para todo

aP F, temos que xP RpF q. _

Note que se F ´e quase-pitag´orico n˜ao formalmente real, ent˜ao RpF q  9F , que ´e o exemplo da pr´oxima se¸c˜ao.