Para fins de interesse prático, correlações numéricas são propostas para ̅̅̅̅̅ e ̇ em função das variáveis investigadas , , e , considerando todos os 216 casos onde o meio heterogêneo esteve presente ( ). O ajuste das curvas é feito com o método dos Mínimos Quadrados. Um primeiro experimento foi realizado assumindo uma função exponencial para ̅̅̅̅̅ e ̇ da seguinte forma:
(5.11)
onde deve representar os resultados numéricos obtidos organizados nos vetores
̅̅̅̅̅ e ̇ , dependendo dos valores assumidos pelos expoentes. O método dos Mínimos Quadrados requer a combinação dos expoentes que minimiza o erro quadrado , dado por:
(5.12) onde o vetor pode representar ̅̅̅̅̅ ou ̇ .
Os coeficientes obtidos para a correlação da Equação 5.11 são exibidos na Tabela 5.5. O erro relativo é definido, tanto para ̅̅̅̅̅ como para ̇, por:
| |
(5.13) O erro relativo médio é calculado através de uma média aritimética entre os itens do vetor :
̅ ∑
(5.14) O erro relativo máximo nos casos sem interferência de camada limite ( ),
i.e., os quais não obedecem às desigualdades das Equações 5.2 e 5.3, também é
exibido na Tabela 5.5. Tanto os coeficientes de determinação ( ) quanto os erros relativos obtidos com a correlação da Equação 5.11 não são satisfatórios.
Tabela 5.5. Expoentes e resultados da correlação da Equação 5.11.
̅
̅̅̅̅̅ 0,011 0,436 0,598 -0,554 -0,206 0,6720 46% 137%
̇ 1,997.10-5 0,836 0,869 -0,203 -0,507 0,7409 68% 121%
Correlações mais condizentes podem ser obtidas observando os aspectos físicos discutidos neste capítulo, onde viu-se que as variáveis investigadas influenciam de forma diferente os números de Nusselt convectivo e radiativo. Considerando a definição ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅, e também que o número de Rayleigh é a variável que mais impacto tem nos resultados, propõe-se uma correlação separada para cada modo de transferência de calor:
̅̅̅̅̅ (5.15)
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (5.16)
onde os coeficientes de correlação são todos função de . A Equação 5.16 é a própria Equação 5.10 desenvolvida na seção 5.2.2 e os coeficientes de queda radiativa ( ) podem ser encontrados na Tabela 5.4. O termo representa um decréscimo em ̅̅̅̅̅ com a consideração da radiação, ou seja, trata-se da queda
convectiva. O coeficiente de queda convectiva ( ) é obtido pela seguinte média aritimética:
∑ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (5.17)
onde é o número de casos com um mesmo número de Rayleigh e emissividade (19). Como adota-se para uso na Equação 5.15. A Tabela 5.6 apresenta os valores de obtidos neste trabalho.
Tabela 5.6. Coeficientes de queda convectiva para aplicação na Equação 5.15.
0,902
1,758
3,069
4,801
Para a vazão de entrada no canal, a seguinte correlação é proposta, observando também a não linearidade de ̇ com a altura do bloco:
̇ (5.18)
Tabela 5.7. Expoentes e resultados da correlação para ̅̅̅̅̅ obtido pelas Equações 5.15 e 5.16.
̅
10,991 1,989 -6,256 2,860 0,480 -0,166 0,9420 17% 32%
3,318 -34,309 35,147 -9,989 5,516 -0,114 0,9275 21% 24%
5,665 -39,503 47,780 -16,206 6,439 -0,060 0,9090 9% 34%
4,756 -15,002 18,749 -6,537 11,233 -0,018 0,9762 2% 22%
Tabela 5.8. Expoentes e resultados da correlação para ̇ obtido pela Equação 5.18.
̅
5.370 -3.248 3.776 0.180 -0.511 0.9192 22% 35%
103.776 0.663 0.232 0.601 -0.443 0.9310 13% 31%
213.628 0.824 0.128 1.003 -0.324 0.7825 19% 51%
O ajuste das curvas pelas Equações 5.15, 5.16 e 5.18 mostrou-se muito melhor. Os erros relativos diminuíram substancialmente e os coeficientes de determinação indicam acomodações mais satisfatórias. A Figura 5.31 apresenta um gráfico de erro para as correlações de ̅̅̅̅̅. Observa-se um avanço considerável em relação à correlação da Equação 5.11. Vale dizer que dos resultados da segunda correlação tiveram erros relativos menores de .
Os erros relativos máximos da correlação das Equações 5.15 e 5.16 foram de para , para , para e para . Os excessivos valores obtidos nos casos de interferência de camada limite indicam que as correlações propostas não asseguram valores razoáveis nesta situação especial. Nos casos onde tal fenômeno não ocorre, os quais podem ser previstos pelas Equações 5.2 e 5.3, os erros relativos máximos foram significativamente diminuídos, como pode-se notar pelos valores de nas Tabelas 5.7 e 5.8.
Figura 5.31. Gráfico de erro para as correlações numéricas de ̅̅̅̅̅.
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 -15% Equações 5.15 e 5.16 +15% Equação 5.11
6 CONCLUSÕES
Neste trabalho apresentou-se uma solução numérica para a transferência de calor conjugada entre convecção natural e radiação em uma cavidade aberta contendo um ou quatro blocos sólidos em seu interior. As principais hipóteses simplificadoras da convecção natural foram o uso de propriedades constantes para o ar e a modelagem do termo de empuxo pela aproximação de Boussinesq-Oberbeck. O ar foi considerado radiativamente não participante e a abordagem S2S foi usada para o tratamento da radiação superficial, considerando todas as superfícies difusas, cinzas e opacas. Uma investigação paramétrica foi realizada para as variáveis , , e .
Além de Loyola et al. (2013), não encontrou-se nenhum registro na literatura de solução da convecção natural em uma cavidade aberta contendo um meio heterogêneo. Como se viu no Capítulo 1, este é um caso importante para a caracterização de meio porosos. Investigações semelhantes são bem difundidas na literatura no caso da cavidade fechada. Adicionalmente, notou-se que ainda são raros os estudos de meios porosos que consideram os efeitos da radiação. Em todos os trabalhos encontrados sobre convecção natural e radiação em cavidades limpas concluiu-se que a radiação altera significativamente os resultados, e é no mínimo da mesma ordem de grandeza da convecção natural.
Os resultados obtidos neste trabalho confirmam as expectativas geradas pelas pesquisas existentes. Observou-se que na convecção natural pura há um determinado comprimento de bloco que otimiza a taxa de transferência de calor na parede aquecida, superando o que se obtém na cavidade limpa. Entretanto, quando a radiação é considerada, tal valor ótimo simplesmente não existe, ou seja, não há como superar ̅̅̅̅̅ da cavidade com . Este é um resultado importante visto que existem vários trabalhos teorizando reforço na taxa de transferência de calor em cavidades contendo um bloco sólido. O fenômeno da queda convectiva, i.e., a diminuição de ̅̅̅̅̅ com a radiação, foi confirmada. Os dados obtidos mostraram que a queda em ̅̅̅̅̅ é diretamente proporcional à emissividade. O comportamento das curvas de ̅̅̅̅̅ obedece à duas fases de queda: linear e exponencial. No tocante à queda exponencial, ficou evidente que esta é devida à diminuição dos gradientes horizontais de temperatura decorrentes da atração de isotermas pelo bloco. O
fenômeno da interferência de camada limite, previsto com ótima precisão por análise de escala nas Equações 5.2 e 5.3, ocasiona valores baixíssimos em ̅̅̅̅̅, fazendo com que convecção e radiação somadas sejam da mesma ordem de grandeza da condução térmica.
O decaimento linear das curvas de ̅̅̅̅̅ é decorrente do fenômeno chamado de queda radiativa, que consiste na diminuição de ̅̅̅̅̅ com o comprimento do(s) bloco(s). Apesar de inédito na literatura, este não é um fenômeno difícil de prever quando se compreende os mecanismos da radiação superficial, pois a presença de uma superfície sólida entre a parede aquecida da cavidade e o meio externo ocasiona um efeito de sombreamento que impede aquela região da parede de contabilizar a irradiação do meio externo, o qual possui a menor temperatura possível no domínio ( ).
A queda radiativa apresenta-se como um desafio para os modelos homogêneos de tratamento de meios porosos, onde o meio não possui interfaces sólido/fluido. A ausência das superfícies sólidas do meio poroso não ocasionaria nenhum efeito de sombreamento e a queda radiativa não seria caracterizada. A diminuição da porosidade em um meio macroscópico aumenta a área superficial do meio e esta variação pode impactar ̅̅̅̅̅ de maneira semelhante à descrita neste estudo. Portanto, a caracterização da radiação em modelos homogêneos surge como um interessante tema de pesquisa em potencial.
Outras sugestões para futuros trabalhos incluem uma investigação mais aprofundada da influência do número de blocos, variação de temperatura e consideração da radiação volumétrica na convecção natural e radiação na mesma geometria apresentada. Além disso, aconselha-se um estudo sobre o efeito da variação da razão de condutividade térmica sólido-fluido.
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APÊNDICE A – RESULTADOS TABELADOS
Tabela A.1. Resultados numéricos do Número de Nusselt convectivo médio ( ̅̅̅̅̅).
7,666 7,716 7,744 7,719 7,542 6,975 5,481 2,649 0,973 7,593 7,540 7,390 7,029 6,246 4,769 2,750 1,273 0,898 7,184 7,238 7,271 7,245 7,051 6,435 4,865 2,259 0,973 7,076 6,970 6,761 6,337 5,490 4,059 2,323 1,221 0,983 6,761 6,805 6,836 6,821 6,632 5,989 4,320 1,788 0,748 6,616 6,481 6,257 5,808 4,909 3,453 1,820 0,908 0,767 14,825 14,884 14,949 15,036 15,175 15,272 14,882 12,416 3,632 14,803 14,835 14,866 14,873 14,774 14,284 12,518 7,213 1,501 13,789 13,828 13,883 13,983 14,161 14,321 13,957 11,276 2,993 13,845 13,861 13,874 13,862 13,693 13,075 11,066 5,977 1,423 13,041 13,081 13,135 13,237 13,426 13,634 13,307 10,389 2,266 13,069 13,075 13,106 13,125 12,969 12,311 10,075 4,901 0,949 27,458 27,518 27,581 27,683 27,878 28,258 28,846 28,728 20,570 27,481 27,516 27,566 27,638 27,751 27,879 27,745 25,499 10,143 25,706 25,691 25,702 25,762 25,906 26,337 27,092 27,207 18,284 25,741 25,688 25,750 26,014 26,249 26,424 26,150 23,324 8,433 24,363 24,388 24,430 24,523 24,737 25,204 26,009 26,231 16,433 24,417 24,381 24,449 24,670 25,108 25,374 25,182 21,930 6,672 50,071 50,095 50,153 50,211 50,318 50,662 51,534 53,410 52,004 50,073 50,109 50,136 50,211 50,341 50,575 51,039 51,385 43,822 48,198 ±1,162 48,159 ±1,168 47,936 ±1,481 47,081 47,106 47,373 48,246 50,451 49,477 47,212 ±0,999 47,129 ±0,089 47,085 47,148 47,404 48,143 49,175 49,535 39,839 46,266 ±1,940 44,802 44,868 44,938 ±0,616 45,036 45,538 46,545 ±0,990 48,866 47,945 44,958 ±0,207 44,993 ±0,029 45,060 ±0,316 45,267 ±0,054 45,535 46,261 ±0,593 47,772 48,197 36,882 Cavidade Limpa ( ) 7,568 14,725 27,351 49,945 7,097 13,765 25,744 48,347 ±1,369 6,710 13,020 24,320 46,432 ±2,054
Tabela A.2. Resultados numéricos do Número de Nusselt radiativo médio ( ̅̅̅̅̅). - - - - - - - - 3,123 3,019 2,874 2,691 2,440 2,060 1,474 0,747 0,237 3,095 2,943 2,736 2,450 2,034 1,484 0,906 0,432 0,173 6,289 6,012 5,695 5,315 4,827 4,063 2,861 1,383 0,432 6,288 5,918 5,418 4,766 3,879 2,758 1,623 0,757 0,306 - - - - - - - - 6,853 6,650 6,368 6,049 5,683 5,258 4,658 3,347 0,947 6,867 6,633 6,366 6,072 5,674 5,040 3,863 1,907 0,485 13,617 12,978 12,265 11,519 10,792 10,030 9,008 6,441 1,672 13,745 13,059 12,347 11,676 10,885 9,638 7,241 3,412 0,764 - - - - - - - - 14,807 14,340 13,733 13,055 12,192 11,369 10,544 9,550 5,438 14,839 14,272 13,665 13,086 12,490 11,795 10,897 8,732 2,549 29,070 27,539 25,934 24,313 22,504 20,673 19,148 17,551 9,862 29,206 27,488 25,836 24,207 22,680 21,802 20,192 16,085 4,305 - - - - - - - - 32,377 ±0,124 31,190 ±0,118 29,555 ±0,132 27,713 26,034 24,311 22,072 20,226 17,842 31,836 ±0,007 30,556 ±0,010 29,228 27,903 26,370 24,524 23,270 21,562 15,193 62,720 ±0,436 57,996 54,063 50,327 ±0,047 46,391 42,951 39,269 ±0,067 34,979 31,103 61,685 ±0,029 57,522 ±0,058 53,833 ±0,038 50,547 ±0,035 47,200 43,842 ±0,044 41,200 38,210 26,357 Cavidade Limpa ( ) - - - - 3,197 7,004 15,190 33,212 ±0,230 6,455 14,037 30,209 65,820 ±0,434
Tabela A.3. Resultados numéricos da vazão volumétrica adimensional de entrada na abertura ( ̇). 19,672 19,730 19,434 18,610 17,010 14,399 10,645 5,689 1,480 18,715 17,879 16,596 14,757 12,309 9,398 5,975 2,764 0,709 21,754 22,130 21,925 20,886 18,758 15,507 11,050 5,474 1,269 20,809 20,156 18,653 16,398 13,451 9,936 5,938 2,520 0,573 23,232 23,931 23,707 22,399 19,779 15,957 10,972 5,158 1,108 22,449 21,912 20,141 17,443 13,993 9,974 5,734 2,337 0,504 41,400 41,820 41,737 41,351 40,313 37,672 32,705 23,109 7,792 41,194 40,840 39,897 38,131 35,159 30,387 23,042 13,358 3,507 50,472 52,172 52,582 52,247 50,137 45,355 37,243 24,684 7,193 50,800 52,483 51,350 47,998 42,597 35,038 25,427 13,671 2,945 54,164 56,191 56,796 56,630 54,457 48,831 38,975 24,662 6,641 57,647 59,812 57,898 53,536 46,770 37,590 26,339 13,375 2,762 80,300 80,633 81,026 81,388 80,783 79,664 77,182 65,961 35,026 81,150 81,179 81,031 80,305 78,755 74,503 65,572 48,196 18,263 108,584 113,133 114,677 115,463 115,379 112,151 102,077 79,591 36,933 126,680 126,843 127,205 123,032 116,494 102,053 81,917 54,702 17,936 114,732 119,950 121,802 121,889 120,009 118,349 108,323 82,616 35,767 134,894 145,238 144,023 136,727 126,194 113,102 89,191 57,214 17,302 152,570 152,262 151,771 151,404 151,835 152,634 150,421 150,618 109,661 152,662 152,697 77,630 152,597 151,662 150,430 148,089 129,638 74,208 267,861 ±23,976 261,184 ±20,385 245,662 ±13,332 235,318 233,136 227,061 227,488 211,778 131,591 278,576 ±9,147 290,579 ±2,629 290,581 284,390 274,496 255,453 228,504 171,510 83,192 256,654 ±21,586 242,156 245,997 251,754 ±4,550 247,520 240,785 230,121 ±11,331 218,909 132,160 305,200 ±5,409 321,862 ±2,239 326,783 ±4,016 309,730 ±1,497 296,965 277,507 ±0,064 248,900 185,534 84,721 Cavidade Limpa ( ) 19,399 41,110 79,815 162,673 20,812 45,329 89,364 338,319 ±160,360 21,286 45,261 87,542 194,566 ±22,257
Tabela A.4. Resultados numéricos da vazão volumétrica adimensional de entrada no canal ( ̇). 14,866 15,193 14,873 13,989 12,368 9,826 6,439 2,708 0,387 8,421 8,782 8,872 8,462 7,198 5,096 2,711 0,861 0,103 17,181 17,615 17,318 16,163 13,983 10,828 6,891 2,786 0,389 10,645 11,038 10,680 9,647 7,816 5,345 2,760 0,865 0,106 19,140 19,616 19,232 17,831 15,254 11,678 7,328 2,878 0,393 12,564 12,890 12,177 10,698 8,453 5,667 2,857 0,874 0,106 26,356 30,270 32,144 32,571 31,780 29,451 24,627 15,462 3,639 14,289 15,107 15,877 16,738 17,383 17,008 13,952 7,270 1,130 41,835 43,073 43,466 43,384 41,622 37,045 28,954 17,040 3,715 29,319 31,272 30,397 28,054 25,051 21,240 15,606 7,598 1,149 43,993 45,836 47,048 47,633 46,228 41,216 31,819 18,366 3,797 35,367 38,002 36,761 33,751 29,689 24,320 17,137 7,982 1,142 40,322 44,472 52,048 59,162 63,804 65,933 63,381 52,031 23,300 26,837 28,422 29,571 30,301 31,270 32,354 33,452 29,501 10,099 86,689 89,092 91,436 95,197 98,430 96,692 87,420 64,708 25,466 83,210 82,527 81,899 81,390 74,128 63,170 51,156 35,251 10,508 87,547 90,395 93,273 96,676 102,170 104,343 96,253 71,459 27,263 84,811 89,875 89,212 86,957 87,020 75,789 60,069 39,547 10,849 70,852 73,392 77,054 82,756 94,483 110,691 124,045 126,829 86,765 45,978 49,880 52,587 55,151 57,044 82,242 60,713 62,216 48,184 215,225 ±12,795 201,199 ±10,850 183,586 ±8,344 178,875 181,307 185,561 198,383 183,349 105,441 169,958 ±6,140 170,011 ±1,939 165,911 166,317 168,304 167,230 150,399 110,858 56,086 189,376 ±10,128 170,321 174,682 184,964 ±0,428 190,093 191,446 204,47 3±0,810 198,691 115,598 168,166 ±2,152 169,477 ±3,182 169,881 ±2,936 172,456 ±0,527 174,597 175,403 ±0,266 173,780 128,893 62,026
APÊNDICE B – RELATÓRIO DESENVOLVIDO NO LACIT
O seguinte relatório foi o trabalho final de Iniciação Científica realizado pelo autor deste Trabalho de Conclusão de Curso, no laboratório de ciências térmicas (LACIT) da UTFPR, concluído em Dezembro de 2011. Neste relatório, que foi precursor do estudo feito neste Trabalho de Conclusão de Curso, a convecção natural é resolvida numericamente em uma cavidade aberta contendo um bloco sólido quadrado e condutivo. O número de Rayleigh, a razão de condutividade sólido/fluido e a altura do bloco são os parâmetros investigados. Uma revisão da literatura na época concluiu que não havia nenhum estudo sobre convecção natural em cavidade aberta com algum obstáculo sólido no interior. Os resultados obtidos mostraram a existência de uma altura ótima do bloco, que maximiza a taxa de transferência de calor na parede aquecida da cavidade. Após a conclusão deste relatório, o autor optou por investigar o mesmo caso com mais profundidade em seu Trabalho de Conclusão de Curso.
INTRODUÇÃO
Devido as suas inúmeras aplicações em engenharia, ciência e meio ambiente, a convecção natural tem chamado a atenção dos pesquisadores. Seu mecanismo complexo ajudou a impulsionar o desenvolvimento de métodos numéricos, graças à dificuldade no tratamento dos termos convectivos das equações de conservação que regem o problema. As soluções numéricas desse fenômeno em cavidades são casos de teste benchmark, o que também explica a grande quantidade de trabalhos no assunto.
Pelo seu importante papel em dispositivos práticos, como por exemplo sistemas de energia solar e resfriamento de componentes eletrônicos, a convecção natural em cavidades abertas é de grande interesse econômico, principalmente se lembrarmos da necessidade atual de economia de energia. Em meios porosos, podemos encontrar aplicações em armazenamento de grãos, processos de secagem e projetos de edifícios (cumeeira) para circulação do ar e sistemas anti- incêndio. Os meios porosos podem ser classificados como homogêneos e heterogêneos. O segundo caso, foco no presente estudo, diferencia as fases fluida e sólida, resolvendo as equações no nível da partícula (microscópico).
Um dos primeiros trabalhos sobre convecção natural em cavidade aberta foi feito por Chan e Tien (1985a). Eles investigaram a faixa 103 Ra109 e notaram alguns fenômenos típicos desta geometria. Em primeiro lugar, um jato de fluido na saída se intensifica com o aumento de Ra, ocupando cada vez menos área e subindo rente à parede vertical exterior. A segunda observação importante foi a característica modeladora da cavidade, cujas isotermas e linhas de corrente não sofrem grandes alterações com a mudança nas condições de contorno das