Corretude e Complexidade do Algoritmo de Element k-

3.3 Algumas Conjecturas

4.2.1 Corretude e Complexidade do Algoritmo de Element k-

Vamos mostrar que nosso algoritmo é equivalente ao algoritmo de Ambainis através das proposi¸cões a seguir. Com isso, mostraremos a corretude e a complexidade do Algoritmo 4.

Proposi¸c˜ao 4.12 O estado inicial do algoritmo de Ambainis (Algoritmo 1) e o estado inicial do Algoritmo 4 apresentado s˜ao equivalentes.

Demonstra¸cão. As duas primeiras etapas de ambos os algoritmos são exatamente as mesmas, com isso para uma mesma entrada, ambos os algoritmos terão uma

Proposi¸cão 4.13 A aplica¸cão das etapas de passeio quântico do algoritmo apresentado é equivalente a aplica¸cão das etapas de passeio quântico apresentados no Algoritmo 2.

Demonstra¸cão. Como descrito anteriormente, as três primeiras etapas do Al- goritmo 2 fazem o caminhante se mover da parti¸cão A para a parti¸cão A0. En- quanto isso, as três últimas etapas do mesmo algoritmo movimentam o caminhante da parti¸cão A0 para a parti¸cão A. (i) Vamos mostrar que o mapeamento executado na etapa 1 do Algoritmo 2 é equivalente à aplica¸cão do operador U0, e (ii) vamos

mostrar que as 5 etapas seguintes do Algoritmo 2 são equivalentes à aplica¸cão das três últimas etapas do algoritmo proposto.

Vamos mostrar primeiro a equivalˆencia em (i) aplicando primeiro o mapeamento da etapa 1 do Algoritmo 2 sobre um estado gen´erico |Ψ0i = |Si, yi, xii e posterior-

mente comparar com a aplica¸c˜ao do operador U0 sobre o mesmo estado |Ψ0i. O

mapeamento da etapa 1 do Algoritmo 2 faz

|Si|yi → |Si − 1 + 2 N − r |yi + 2 N − r X y0_∈S_/ y0_6=y |y0i ! , (4.13)

para todo S ∈ S e y /∈ S. Dado um estado gen´erico |Ψ0i = |Si, yi, xii ∈ H, a

aplica¸c˜ao do mapeamento em |Ψ0i leva ao estado

− 1 + 2 N − r |Si, yi, xii + 2 N − r X y0 i∈S/ i y0_i6=yi |Si, y0i, xii ! . (4.14)

Aplicando o operador U0 sobre o mesmo estado gen´erico |Ψ0i temos a opera¸c˜ao

que nos leva ao estado − 1 + 2 N − r |Si, yi, xii + 2 N − r X y0i∈S/ i y0 i6=yi |Si, y0i, xii ! , (4.16)

que é exatamente o estado descrito pela Equa¸cão(4.14). Portanto, o mapeamento presente na etapa 1 do Algoritmo 2 possui efeito equivalente à aplica¸cão do operador U0.

Vamos agora mostrar a equivalˆencia descrita em (ii), aplicando sobre um estado |Ψ1i = |Si, yi, xii as 5 etapas restantes presentes no Algoritmo 2, e comparar com o

resultado da aplica¸cão das três últimas etapas do algoritmo proposto sobre o mesmo estado |Ψ1i.

No Algoritmo 2, a segunda etapa adiciona o valor presente no registrador |yi no registrador |Si, ou seja, o valor de yi ser´a adicionado ao conjunto representado por

Si, levando-nos ao estado

|Si∪ {yi}, yi, xii.

A terceira etapa modifica o estado |xi a partir da inser¸c˜ao do valor xy. Isto nos leva

ao estado

|Si∪ {yi}, yi, xi∪ {xyi}i.

Na etapa 4 aplicamos o mapeamento

|Si|yi → |Si − 1 + 2 r + 1 |yi + 2 r + 1 X y0∈S y06=y |y0i ! , (4.17)

que sobre o estado descrito anteriormente, nos leva ao estado

− 1 + 2 r + 1 ! |Si∪ {yi}, yi, xi∪ {xyi}i + 2 r + 1 X y0_i∈Si y0i6=yi |S ∪ {yi}, y0i, xi∪ {xyi}i. (4.18)

A quinta etapa ir´a apagar do registrador |xi o valor de xy, sendo y o valor no

registrador |yi. Isto leva-nos ao estado

− 1 + 2 r + 1 ! |Si∪ {yi}, yi, xii + 2 r + 1 X y_i0∈Si y_i06=yi |S ∪ {yi}, y0i, xi∪ {xyi}\{xyi0}i. (4.19)

A sexta etapa ir´a remover os respectivos valores de y que foram inseridos nos respectivos registradores |Si, presente em cada uma das componentes que comp˜oem o estado corrente. Com isso obtemos o estado

−1+ 2 r + 1 ! |Si∪{yi}\{yi}, yi, xii+ 2 r + 1 X y0 i∈Si y0 i6=yi |Si∪{yi}\{y0i}, y 0 i, xi∪{xyi}\{xy0i}i, (4.20) que resulta em − 1 + 2 r + 1 ! |Si, yi, xii + 2 r + 1 X y0 i∈Si y0_i6=yi |S_i0, y_i0, x0_ii, (4.21)

onde S_i0 = Si∪ {yi}\{yi0} e x0i = xi∪ {xyi}\{xyi0}.

Enquanto isso, sobre um mesmo estado gen´erico |Ψ1i, ao aplicarmos a etapa 2

do algoritmo proposto temos o estado

|Si, yi, xi∪ {xyi}i. (4.22)

Ap´os isso, a aplica¸c˜ao do operador U1 sobre o estado descrito anteriormente faz

com que tenhamos a opera¸c˜ao 2 r + 1 " X S∈S X y /∈S |S, yihS, y| +X y0∈S y06=y |S0, y0ihS, y| !# − I ! |Si, yi, xi∪ {xyi}i, (4.23)

onde S0 = S ∪ {y}\{y0}, que faz com que tenhamos o estado

− 1 + 2 r + 1 ! |Si, yi, xii + 2 r + 1 X y0_i∈Si y0 i6=yi |S0 i, y 0 i, xi∪ {xyi}i, (4.24)

onde S_i0 = Si ∪ {yi}\{yi0}. Finalmente, a aplica¸c˜ao da etapa 4 do passeio quˆantico

do algoritmo proposto faz com que tenhamos o estado

− 1 + 2 r + 1 ! |Si, yi, xii + 2 r + 1 X y0_i∈Si y0 i6=yi |S_i0, y_i0, x0_ii, (4.25)

onde x0_i = xi∪ {xyi}\{xyi0}, que ´e exatamente o estado descrito pela Equa¸c˜ao(4.21).

Logo a aplica¸cão do operador U1 e a aplica¸cão das 5 últimas etapas do Algoritmo 2

s˜ao tamb´em equivalentes.

Com isso, mostramos que aplicar as etapas de passeio quântico do algoritmo proposto é equivalente à aplicar as etapas descritas pelo Algoritmo 2.

Proposi¸cão 4.14 [37] Toda instância de caminhada quântica no modelo Escalo- nado com duas tessela¸cões que possua apenas um único vértice em comum em cada interse¸cão de pol´ıgonos de tessela¸cões distintas pode ser convertida em uma caminhada quântica no modelo de Szegedy.

Proposi¸cão 4.15 Um grafo G constru´ıdo pela Defini¸cão 4.1 e tesselado segundo a Defini¸cão 4.8 sempre tem no máximo um único vértice na interse¸cão de dois pol´ıgonos de tessela¸cões distintas.

Demonstra¸cão. Suponha por contradi¸cão que G tenha pelo menos dois vértices v e v0, em uma interse¸cão de dois pol´ıgonos, chamados de αi na tessela¸cão α e βj na

tessela¸c˜ao β.

Ent˜ao, v e v0 possuem a mesma vizinhan¸ca dentro do pol´ıgono αi e do pol´ıgono

βj. Seja v = (S, y) e v0 = (S0, y0). Pela Defini¸cão 4.1 e Defini¸cão 4.8, se v e v0 estão

no mesmo pol´ıgono αi, então temos que (i)S = S0. Pela Defini¸cão 4.8 temos também

que se v e v0 est˜ao no mesmo pol´ıgono βi, ent˜ao temos que (ii)S0 = S ∪ {y}\{y0} ou

S = S0∪ {y0_{}\{y}, levando-nos a uma contradi¸c˜}_{ao com (i).}

Corolário 4.16 O passeio quântico executado sobre o grafo G constru´ıdo pela De- fini¸cão 4.1 e tesselado segundo a Defini¸cão 4.8 pode ser convertido em um passeio quântico no modelo de Szegedy.

Demonstra¸cão. Pelo Corolário 4.7 e pela Proposi¸cão 4.6 temos que o grafo G constru´ıdo pela Defini¸cão 4.1 e tesselado segundo a Defini¸cão 4.8 pode ser convertido em um grafo bipartido. Pela Proposi¸cão 4.15 temos que o grafo G possui apenas um ´

unico vértice na interse¸cão de dois pol´ıgonos de tessela¸cões distintas. Logo pela Proposi¸cão 4.14 temos que o passeio quântico executado sobre o grafo G pode ser convertido em um passeio quântico no modelo de Szegedy. Teorema 4.17 Algoritmo 4 precisa de O(Nk/(k+1)_{) passos de passeio quˆ}_{antico para}

encontrar uma k-colis˜ao, caso exista.

Demonstra¸cão. Pelo Corolário 4.16 podemos converter o passeio quântico no modelo Escalonado sobre o grafo G em um passeio quântico no modelo de Szegedy sobre um grafo bipartido. Pela Proposi¸cão 4.12 temos que o algoritmo de Ambainis e o Algoritmo 4 possuem estados iniciais equivalentes, e pela Proposi¸cão 4.13 temos que as opera¸cões unitárias de evolu¸cão de ambos os algoritmos são equivalentes. Com isso, os estados finais de ambos os algoritmos serão também equivalentes.

Logo, se o algoritmo de Ambainis necessita de O(Nk/(k+1)_{) passos, o Algoritmo 4}

tamb´em necessita de O(Nk/(k+1)_{) passos.}

Pelas proposi¸cões acima, vemos que o algoritmo apresentado neste trabalho possui a mesma complexidade assintótica da abordagem de Ambainis, no entanto a proposta trás um resultado teórico importante para a computa¸cão quântica visto que utilizamos um modelo de passeio quântico mais geral.

Cap´ıtulo 5

Conclus˜ao

Neste trabalho abordamos assuntos em dois paradigmas distintos: clássico e quântico. No paradigma clássico, abordamos o problema de cobertura por tessela¸cões em grafos, enquanto no paradigma quântico propomos uma reformula¸cão do algoritmo quântico para o problema de Element k-Distinctness, utilizando um novo modelo de passeios quânticos, conhecido como modelo escalonado [35, 37, 38]. O problema de cobertura por tessela¸cões em grafos consiste em cobrir todas as arestas de um grafo utilizando tessela¸cões, em que cada tessela¸cão é um conjunto de cliques disjuntas cuja união cobre todos os vértices do grafo. Portugal [38] mos- trou que os grafos 2-tesseláveis são aqueles cujo grafo clique é bipartido, isto é, 2-color´ıvel. No entanto, não podemos afirmar que se um grafo possuir um número de tesssela¸cão T (G) > 2, o número cromático de seu grafo clique será igual a T (G). Neste contexto propusemos um limite superior justo para o problema, sendo assim temos que o número de tessela¸cão de qualquer grafo é tal que T (G) ≤ χ(K(G)). Além disso apresentamos duas fam´ılias de grafos que possuem o número de tessela¸cão bem definido em rela¸cão ao número cromático de seus respectivos grafos clique. A primeira fam´ılia é a dos grafos Moinho-de-vento, que possui um número de tessela¸cão T (G) = χ(K(G)). A segunda fam´ılia de grafos apresentada foi a dos grafos roda w-wheel, para w ≥ 5, cujo número de tessela¸cão é T (G) = dχ(K(G))₂ e. Também foi mostrado que se o número cromático do grafo clique for exatamente 3 então o grafo original é 3-tesselável.

Para o paradigma quântico, propusemos uma reformula¸cão do algoritmo para o problema de Element k-Distinctness, utilizando o modelo Escalonado de passeio quântico. Este problema foi abordado por Ambainis com a proposta de executar um passeio quântico em um grafo bipartido de Johnson, reduzindo o problema de Element k-Distinctness a encontrar um vértice marcado no grafo em O(Nk/k+1) passos. Em nossa abordagem utilizamos um grafo 2-tesselável para executar a busca pelo vértice marcado. Em nossa proposta, conseguimos uma complexidade de tempo equivalente a complexidade obtida pela abordagem de Ambainis. Pelo fato de o

grafo utilizado em nosso algoritmo ser 2-tesselável, além de que o mesmo possui apenas um único vértice na interse¸cão entre pol´ıgonos de tessela¸cões distintas, faz com que seja poss´ıvel converte-lo em um grafo bipartido, que é exatamente o grafo utilizado pelo algoritmo de Ambainis. Além do mais, os estados iniciais, bem como os operadores quânticos de evolu¸cão utilizados por ambas as propostas torna poss´ıvel a equivalência entre os dois algoritmos.

Ainda existem diversas questões em aberto a serem abordadas a partir deste trabalho. Alguns problemas em que a comunidade cient´ıfica possui interesse podem, talvez, possuir alguma rela¸cão com o problema de tessela¸cões em grafos, como por exemplo, os conhecidos problemas de cobertura de conjuntos (set cover ) e o problema de cobertura por cliques (clique cover ). Devido a isso, em trabalhos futuros desejamos abordar problemas que possam ter rela¸cão com o problema de cobertura por tessela¸cões em grafos, e também buscar novos parâmetros, além do número cromático do grafo clique, que possam ter rela¸cão com o número de tessela¸cão de um grafo. Um trabalho que se encontra em andamento é demonstrar que grafos livres de triângulos possuem um número de tessela¸cão igual ao ´ındice cromático do próprio grafo, como conjecturado neste trabalho, além de mostrar que todo grafo da fam´ılia de triângulos de Sierpinski, gerado através de uma gera¸cão finita g ≥ 1, é 3-tesselável. Outra conjectura em que estamos trabalhando é que o problema de tessela¸cões em grafos é NP-completo. Sendo assim, desejamos propor um algoritmo aproximativo eficiente para o problema de tessela¸cões. Outra questão importante é responder se existe um limite inferior não trivial para o número de tessela¸cão de grafos em geral em fun¸cão de algum parâmetro conhecido de grafos. Quanto a parte deste trabalho referente ao paradigma quântico, a abordagem apresentada abre mar- gem para novas abordagens aplicando o modelo Escalonado em outros algoritmos quânticos conhecidos baseados em passeios quânticos, como por exemplo o algoritmo para encontrar triângulos em grafos.

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´_{Indice Remissivo}

2-tesselável, 6 algoritmo de Ambainis, 25 no modelo escalonado, 32 quântico, 2 cobertura, 4 m´ınima, 4 colora¸cão, 6 computa¸cão quântica, 6 Element Distinctness, 24 emaranhamento, 9 esfera de Bloch, 7 grafo clique, 5, 6 de Hajós, 6, 21 de Johnson, 24, 25 moinho-de-vento, 18 roda, 18 limites, 17 modelo com moeda, 10 de Szegedy, 9, 10 escalonado, 10, 13 NP-completude, 22

operador de reflexão, 10, 11, 30 passeio aleatório, 1, 10 quântico, 2, 10 pol´ıgono, 4, 13, 22 postulados, 7 produto de Kronecker, 8 tensorial, 8 qubit, 7 simula¸cão, 2 tessela¸cão, 4, 13

No documento Publicações do PESC Tesselações em Grafos e Suas Aplicações em Computação Quântica (páginas 47-58)