CoSaMP

Esta se¸c˜ao apresenta o algoritmo de busca guloso desenvolvido e nomeado por [40] como Compressive Sampling Matching Pursuit (CoSaMP). Como o nome sugere, o algoritmo ´e baseado em Busca por Correspondˆencia Ortogonal (OMP), mas incorpora diversas outras id´eias da literatura para acelerar e fornecer garantia de desempenho.

O teorema 12 estabelece que a cada itera¸c˜ao realizada pelo algoritmo reduz-se o erro de aproxima¸c˜ao por um fator constante, enquanto adiciona um pequeno m´ultiplo de ru´ıdo. Desse modo, quando o erro de aproxima¸c˜ao ´e grande em compara¸c˜ao com o ru´ıdo, o algoritmo faz progresso consider´avel. Teorema 12 (CoSaMP, [40])

Suponha que Φ ´e uma matriz de amostragem M × N com constante de iso- metria restrita δ2S ≤ c. Seja y = Φx + n um vetor amostra de um sinal

arbitr´ario, contaminado com ru´ıdo arbitr´ario. Para um dado parˆametro de precis˜ao η, o algoritmo CoSaMP produz uma aproxima¸c˜ao S–esparsa ˆx que

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M´etodo utilizado para resolver problemas de programa¸c˜ao linear que explora a estru- tura esparsa do sinal, [40].

3.7 Algoritmos de Reconstru¸c˜ao 47 satisfaz kx − ˆxkl2 ≤ C max  η,_√1 s x − xs 2 l1 + knkl2  (3.28) onde xS

2 ´e uma melhor aproxima¸c˜ao S

2-esparsa para x. O tempo de execu¸c˜ao

total ´e Oζlogkxkl2 η



, onde ζ limita o custo da multiplica¸c˜ao da matriz–vetor com Φ e Φ∗_{. O armazenamento total ´e O(N ).}

Os teoremas7,8,9e 10apresentados na se¸c˜ao3.6 deste cap´ıtulo exibem que a RIP vale para um n´_{umero de medidas M = O(s log}αN ). Portanto, o teorema 12 garante a reconstru¸c˜ao para uma ampla classe de esquemas de amostragens quando o n´umero de amostras ´e proporcional `a esparsidade S do sinal e ´e logar´ıtmica em rela¸c˜ao `a dimens˜ao N .

Como pode ser observado em [40], o algoritmo 1 utiliza como entradas a matriz de medidas Φ, o vetor y com as amostras ruidosas do sinal desconhe- cido, o n´ıvel de esparsidade S da aproxima¸c˜ao a ser produzida e o crit´erio de parada. Conforme foi constru´ıdo o algoritmo, pode-se observar que o opera- dor de amostragem, tamb´em denominado de matriz de medida Φ, ´e definida pela teoria de CS. J´a em rela¸c˜ao ao n´ıvel de esparsidade S, existem duas abordagens para sua escolha: ele pode ser estimado de S ≈ 2 log NM ou pode

ser escolhido ap´os executar o CoSaMP usando uma s´erie de n´ıveis de espar- sidade seguindo uma progress˜ao geom´etrica. O algoritmo ´e inicializado com uma aproxima¸c˜ao do sinal trivial. Durante cada itera¸c˜ao, o CoSaMP realiza os seguintes passos principais:

• identifica¸c˜ao – o algoritmo forma um proxy5_{dos res´ıduos das amostras}

atuais e localiza os maiores coeficientes desse proxy;

• fus˜ao de suporte – o conjunto de componentes rec´em identificados ´e

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Definido, sem muito rigor, como um sinal intermedi´ario `a pr´oxima itera¸c˜ao, [40].

3.7 Algoritmos de Reconstru¸c˜ao 48 Algoritmo 1 Algoritmo de Reconstru¸c˜ao CoSaMP

Require: Matriz Φ, vetor de amostra y e n´ıvel de esparsidade S Ensure: Uma aproxima¸c˜ao mais esparsa ˆx do sinal verdadeiro x

ˆ

x0 ← 0{Aproxima¸c˜ao trivial inicial}

r ← y{Amostras atuais iguais a amostra de entrada} i ← 0{Aproxima¸c˜ao trivial inicial}

repeat i ← i + 1 e ← ΦT

r{Forma o proxy – estimativa do sinal residual} Ω ← supp(e2S){Identifica os maiores coeficientes}

T ← Ω ∪ supp(ˆxi−1){Fus˜ao dos suportes}

b|T ← Φ†Ty{Estima¸c˜ao do sinal por m´ınimos quadrados}

b|Tc ← 0

ˆ

xi ← bS{Poda da estimativa do sinal para obter pr´oxima aproxima¸c˜ao}

r ← y − Φˆxi{Atualiza medidas residuais}

until crit´erio de parada

unido com o conjunto de componentes que aparecem na aproxima¸c˜ao atuais;

• estima¸c˜ao – o algoritmo resolve um problema de m´ınimos quadrados para aproximar o sinal alvo sobre o conjunto fundido de componentes; • poda – o algoritmo produz uma nova aproxima¸c˜ao, retendo somente as maiores entradas nessa aproxima¸c˜ao do sinal por m´ınimos quadrados; e

• atualiza¸c˜ao da amostra – finalmente, as amostras s˜ao atualizadas, tal que elas reflitam o res´ıduo – a parte do sinal que n˜ao foi aproximada. Esses passos s˜ao repetidos at´e que um n´umero fixo de itera¸c˜oes ou um crit´erio de parada pr´e-definido seja alcan¸cado. Al´em dos parˆametros observa- dos, existem alguns ajustes que podem melhorar o desempenho do algoritmo,

3.7 Algoritmos de Reconstru¸c˜ao 49 tais como o n´umero de componentes selecionados na etapa de identifica¸c˜ao e o n´umero de componentes retidos na etapa da poda.

O desempenho do CoSaMP ´e garantido por v´arios teoremas, dos quais ´e apresentado apenas o teorema mais geral 12. Em rela¸c˜ao a algoritmos lineares e superlineares, tais como os da categoria de relaxamento convexo, CoSaMP alcan¸ca melhor desempenho. Embora CoSaMP seja mais lento que os algoritmos sublineares, combinatoriais por natureza, ele compensa essa ineficiˆencia por permitir matrizes de amostragens mais gerais e exigir poucas medidas. Em [32] pode-se obter maiores detalhes de compara¸c˜ao.

Finalmente, ´e observado em [40] que o CoSaMP apresenta as seguintes caracter´ısticas em rela¸c˜ao a seu funcionamento:

• funciona para uma variedade de esquemas de amostragem para as quais existe um limite definido pela constante de isometria restrita, ou seja, vale a RIP;

• reconstr´oi sinais S–esparso de O(S log N) medidas, n˜ao sendo necess´a- rio amostras maiores;

• reconstr´oi todos os sinais dada uma matriz de amostragem fixa, ou seja, seus resultados n˜ao exigem somente matrizes de amostragem coletadas ao acaso para cada sinal;

• o algoritmo de reconstru¸c˜ao obt´em sucesso tanto para sinais compres- s´ıveis e n˜ao esparsos, quanto para sinais corrompidos por ru´ıdo; e • o pior custo para a reconstru¸c˜ao de sinal S–esparso com valores reais

para uma precis˜ao relativa fixa, dada uma matriz de amostragem com nenhuma estrutura especial ´e O(M N ).