Crescimento Logarítmico e Espaços de Sobolev

Nesta seção fazemos um paralelo entre os resultados do Teorema 2.3 e àqueles obtidos por Hounie, em[15]. Primeiramente introduzimos algumas notações e definições presentes em[15].

SejaAum operador linear auto-adjunto, densamente definido num espaço de Hilbert complexo H, não limitado, positivo e com inversa contínuaA⁻¹.

SejaH_A^s a escala de espaços de Sobolev definida porAe ponha H_A^∞=\

s∈R

H_A^s e H_A^−∞=[

s∈R

H_A^s. (2.14)

Fixada uma funçãoc(t) =a(t) +i b(t)∈C^∞(T)considere o operador L=D_t+c(t)A, t ∈T,

e sejama₀eb₀as médias dea(t)eb(t)emT, respectivamente.

Definição 2.3 O operadorLé dito globalmente hipoelítico emT, e denota-se porH_A^∞−(GH), se vale

¨ u∈C^∞(T;H_A^−∞)

Lu∈C^∞(T;H_A^∞) =⇒u∈C^∞(T;H_A^∞).

Sejaspec(A)o espectro deAeτ >0 satisfazendospec(A)⊂[τ,∞). Considere ainda as funções r(z) =z(b₀−i a₀), e d(ξ) =inf

z∈Γ|ξ−z|, ξ∈R, sendoΓ ={z∈C; |z|¾τ e r(z)∈Z}.

Nestas condições, tem-se:

Teorema 2.4 O operadorL éH_A^∞−(GH) se, e somente se, valem as seguintes condições:

(a) b não muda de sinal;

(b) se b ≡0, existem c>0eδ∈N, tais que d(ξ)¾cξ^−δ,para todoξ∈spec(A)suficientemente grande.

Demonstração:Ver teorema 2.1, em[15].

Em particular, considerandoT² =Tt ×Tx eA como a extensão deD_x emH =L²(Tx), então o operador(I +A²)^1/2define a escala usual de Sobolev emTx.

Assim obtemosH^∞(T) =C^∞(T)eH^−∞=D⁰(T), portanto

C^∞(Tt;H_A^−∞) =D⁰(T²) e C^∞(Tt;H_A^∞) =C^∞(T²). Nestas condições a definição 2.3 equivale a:

Definição 2.4 O operadorLé dito C^∞−globalmente hipoelítico, ou apenas C^∞−(G H), se vale

¨ u∈ D⁰(T²)

Lu∈C^∞(T²) =⇒u∈C^∞(T²). Assim, segue do Teorema 2.4, o seguinte resultado:

Teorema 2.5 Seja o operador diferencial

LD=D_t+c(t)D_x, (t,x)∈T². Então:

i. Se b6≡0,LD é C^∞−(G H)se, e somente se, b não muda de sinal;

ii. Se b≡0,LD é C^∞−(G H)se, e somente se, a₀é um irracional não-Liouville;

Demonstração:Ver teorema 2.2, em[15].

Para comparar os resultados obtidos por Hounie com o nosso teorema principal considere o se-guinte operador

L_ρ=D_t+a(t)D_x+i b(t)log^ρ(2+|D_x|), (t,x)∈Tt×Tx, (2.15) sendoρ >0 fixado. Observe que no casob6≡0 o teorema 2.3 afirma o seguinte:

i. seρ >1, o operadorL_ρéC^∞−(GH) se, e somente se,b(t)não muda de sinal;

i i. seρ¶1, o operadorL_ρéC^∞−(GH) se, e somente se,b₀6=0, oub₀=0 ea₀é um número irracional não-Liouville;

Note que seρ > 1, então a sequência{νj =log^ρ(2+j)}é super-logarítmica e nossos resultados coincidem com os obtidos no teorema 2.5. O mesmo ocorre seb≡0.

Entretanto, se fora≡0,b6≡0 e 0< ρ¶1, tem-se o operador

Le_ρ=D_t+i b(t)log^ρ(2+|D_x|), (t,x)∈T×T, (2.16) e o resultado abstrato de Hounie em[15]não é aplicável para o estudo daC^∞−(GH).

De fato, sejaH^ε(T)o espaço de Sobolev usual, de ordemε∈R, isto é, H^ε(T) =

u∈ D⁰(T);ξ^εub(ξ)∈`²(Z) e seja o operador

Q(x,D_x) =log^ρ(2+|D_x|), x∈Tx.

Seguindo as ideias de[15], definimos a escala de SobolevH_Q^s associada aQpor H_Q^s={u∈ D⁰(T);ub(ξ)log^ρs(2+|ξ|)∈`²(Z)}, s∈R, e de (2.14), temos que

H_Q^∞=\

s∈R

H_Q^s e H_Q^−∞=[

s∈R

H_Q^s.

O próximo resultado fornece a ferramenta principal para as comparações propostas nesta seção.

Proposição 2.6 H_Q^∞(T)6=C^∞(T).

Demonstração:Mostraremos que para" >0,H_Q^∞(T)6⊂ H^"(T). Para tanto, sejaθ >1/2 e defina ψ(ξ) =|ξ|^−1/2log^−θ(|ξ|), ξ∈Z,|ξ| 1.

Note que Z

|ξ|¾R

1

|ξ|log^2θ(|ξ|)dξ∼ Z _+∞

R

1

ρlog^2θρdρ= 1

(2θ−1)ln^2θ−1(R)<+∞, portanto{ψ(ξ)}_ξ∈Z∈`²(Z).

Agora, fixadoδ∈(0, 1), defina

u(ξ) =b

¨ ψ(ξ)e^{−logδ(|ξ|)log(log(|ξ|))} seξ∈Z\ {0}, 0, seξ=0.

Dados>0 obtemos

log^sρ(|ξ|)ub(ξ) =ψ(ξ)e^{ρslog(log|ξ|)−logδ}(|ξ|)log(log|ξ|))

=ψ(ξ)e^{−(logδ(|ξ|)−ρs)log(log|ξ|)}, |ξ| 1. (2.17)

Para cadaN >0 podemos obterR=R(N,ρs)>0 tais que N<log^δ(|ξ|)−ρs,|ξ|¾R, logo,∀|ξ|¾R tem-se

e^{−(logδ(|ξ|)−ρs)}log(log|ξ|)

¶e^{−Nlog(log|ξ|)}= (log|ξ|)^−N. Assim, segue de (2.17) que

log^sρ(|ξ|)bu(ξ)¶ψ(ξ)(log|ξ|)^−N≤ψ(ξ), |ξ| ≥R, e portanto{ub(ξ)}_ξ∈Zdefine uma distribuiçãou∈ H_Q^∞(T).

Uma vez queδ <1, obtém-se

|ξ|→∞lim

log^δ(|ξ|)log(log|ξ|) log(|ξ|) =0, então para cada" >0, existeR⁰>0 tal que

log^δ(|ξ|)log(log|ξ|)¶"/2 log(|ξ|),∀|ξ|¾R⁰. Logo, para|ξ|¾R⁰, obtemos

|ξ|^"ub(ξ) =ψ(ξ)|ξ|^"e^{−logδ(|ξ|)log(log(|ξ|)))}

=ψ(ξ)e"log(|ξ|)−log^δ(|ξ|)log(log(|ξ|))

¾ψ(ξ)e^{"log(|ξ|)−"/2 log(|ξ|)}

=ψ(ξ)e^{"/2 log|ξ|}

=|ξ|^−n/2+"/2log^−θ(|ξ|). Como{|ξ|^−1/2+"/2log^−θ(|ξ|)}_ξ∈Z∈/`²(Z), segue que

{|ξ|^"ub(ξ)}_ξ∈Z6∈`²(Z), e assimH_Q^∞(T)6⊂ H^"(T).

Segue então da proposição 2.6 que os espaçosC^∞(Tt;H_Q^∞(T))eC^∞(T²)não coincidem, logo atra-vés dos resultados obtidos por Hounie não é possível estudar aC^∞−hipoeliticidade do operadorLe_ρ, quando tem-seρ¶1.

Redução à Forma Normal

Neste capítulo mostramos que se a sequência{νj}tem crescimento no máximo logarítmico então a hipoeliticidade global do operador

L=D_t+a(t)p(x,D_x) +i b(t)q(x,D_x) equivale a hipoeliticidade de um operador com coeficientes constantes.

De modo preciso, provamos o seguinte teorema:

Teorema 3.1 Suponha que{νj}satisfaça a condição lim sup

j→∞

|νj|

log(j)=κ <+∞. (3.1)

Então L é (GH) se, e somente se, é (GH) o operador

L_a0,b0=D_t+a₀p(x,D) +i b₀q(x,D).

A redução à forma normal da parte reala(t)do operadorLé sempre possível e bastante difundida na literatura de equações diferenciais e de sistemas dinâmicos, através da conjugação por um “fator integrante periódico”.

A novidade que temos nesse trabalho é a possibilidade de se obter o mesmo tipo de redução para a parte imagináriab(t)deL, mediante a a condição (3.1). (Obviamente tal hipótese não é satisfeita por operadores diferenciais.)

Note que combinando o teorema 3.1 com os itensieiido teorema principal obtemos o itemiv, assim através da redução à forma normal podemos garantir a existência de operadores globalmente hipoelíticos, da formaL, cuja parte imagináriab muda de sinal.

A ideia para se obter a equivalência da hipoeliticidade global entreLeL_a0,b0, proposta pelo teorema

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3.1, é construir um automorfismoΨno espaçoC^∞(T×M)que conjugue tais operadores, ou seja, Assim, o teorema 3.1 segue da seguinte proposição:

Proposição 3.2 Se{νj}satisfaz a condição(3.1), entãoΨa,b é um automorfismo dos espaçosD⁰(T×M) e C^∞(T×M). Além disso,Ψa,b satisfaz(3.2).

A demonstração da proposição 3.2 é dividida em duas etapas. Primeiramente, fazemos a redução na parte imaginária do operador. Em seguida faz-se a parte real, mais simples e que segue as mes-mas ideias do primeiro caso. Por fim, mostramos essas reduções no caso em que os auto-espaços do operador elípticoE são multidimensionais, supondo válida a comutatividade[p(x,D),q(x,D)] =0.

Para obter tais resultados utilizamos a seguinte proposição.

Proposição 3.3 |µj|=O(j^1/n)e|νj|=O(j^1/n), quando j→ ∞.

Demonstração:Primeiramente, note que se uma sequência de números complexosω={ωj}j∈N satis-faz a seguinte propriedade: para toda sequência{u_j}j∈N⊂C,

Retornando para a demonstração da proposição 3.3, observe que do teorema 1.12 tém-se u∈H¹(M)⇐⇒X

j∈N

|u_j|²j^2/n<+∞.

Por outro lado,p(x,D)é uma aplicação linear e contínua deH¹(M)paraH⁰(M), logo X

j∈N

|u_j|²j^2/n<+∞=⇒p(x,D)u∈ H⁰(M) =L²(M)

=⇒ ||p(x,D)u||²_L2(M)=X

j∈N

‚ µ²_j

j^2/n ·(|u_j|²·j^2/n)

Œ

Portanto,|µj|j^−1/né limitada, assim|µj|=O(j^1/n)para j→ ∞.

3.1 Redução da Parte Imaginária

Para cadau∈ D⁰(T×M)defina a aplicação u7−→Ψb·u .

=X

j∈N

e^{(B(t)−b0t)νj}u_j(t)ϕj(x).

Note que seΨb·u∈ D⁰(T×M), para cadau, entãoΨb é evidentemente linear com inversa u7−→Ψ_b⁻¹·u .

=X

j∈N

e^{−(B(t)−b0t)νj}u_j(t)ϕj(x).

Proposição 3.4 Se{νj}satisfaz(2.13), entãoΨb é um automorfismo deD⁰(T×M).

Demonstração:Provar queΨb·u∈ D⁰(T×M), para cadau∈ D⁰(T×M), é equivalente a mostrar que a sequência de funções

ψj(t) =e^{(B(t)−b0t)νj}u_j(t)

satisfaz a condição (1.9) do teorema 1.10, para alguma constanteN, isto é,

|∂_t^kψj(t)|¶C j^N, j→ ∞. (3.3)

No que segue vamos considerar a seguinte função auxiliar B(t) =B(t)−b₀t+τ, em queτ∈Rserá escolhido adiante.

Segue agora da proposição 3.3 e por indução emk que existem constantesC⁰>0 ej₀∈N, tais que

|∂_t^ke^B(t)νj|¶C⁰ j^k/ne^B(t)νj, ∀j¾j₀.

para cadak∈N0. Fixadau∈ D⁰(T×M), segue do teorema 1.10 e da fórmula de Leibnitz a existência de constantesN₀,C⁰⁰>0 ej₁∈Ntais que

|∂_t^kψj(t)|¶

k

X

`=0

k

`

|∂_t^{`</sup>e<sup>B(t)νj</sup> ∂<sub>t</sub><sup>k−`}u_j(t)|

¶ Xk

`=0

k

`

C⁰ j^`/ne^B(t)νj C⁰⁰ j^N0

¶C j^N1e^B(t)νj, j¾j₁, (3.4)

sendoN₁=N₀+k/n.

Observe que a hipótese (3.1) é equivale a seguinte afirmação: para todo" >0, existe j₂∈Ntais que

|νj|¶log(j^κ+"),∀j¾j₂. (3.5)

Sejamδ=max{B(t);t ∈[0, 2π]},ρ=min{B(t);t ∈[0, 2π]}e escolhaτ∈Rde modo que 0< ρ¶δ.

Como|νj| → ∞, podemos supor que existe j₃∈Ntal queνj >0, ou queνj <0 (a menos da exis-tência de subsequências). Assim, obtemos

ρνj¶B(t)νj ¶δνj, j¾j₃, ∀t ∈[0, 2π], seνj >0, ou (3.6) δνj¶B(t)νj ¶ρνj, j¾j₃,∀t ∈[0, 2π], seνj <0. (3.7) Escolhendoj₀o maior dentre j₁,j₂ej₃obtemos de (3.6) e (3.7) que

|∂_t^kψj(t)|¶C j^N1B(t)¶

¨ C j^N1e^δνj, seνj>0

C j^N1e^ρνj, seνj<0 , ∀j¾j₀. (3.8) Observe que no casoνj <0 temose^ρνj ¶1, quando j → ∞e portantoΨb está bem definida. Por outro lado, quandoνj >0, segue de (3.5) e (3.8) que

|∂_t^kψj(t)|¶C j^N1e^δνj

¶C j^N1e^δlog(jκ+")

¶C j^N1+δ(κ+"), j¾j₀.

Então, fixado" >0 e definindo

N=N₁+δ(κ+") segue que

|∂_t^kψj(t)|¶C j^N, quando j→ ∞, e entãoΨb·u∈ D⁰(T×M).

Corolário 3.5 Se vale 3.1, entãoΨb é um automorfismo de C^∞(T×M). Demonstração:Seu∈C^∞(T×M), então a expressão (3.4) torna-se

|∂_t^kψj(t)|¶C j^−η+k/n e^B(t)νj, quando j→ ∞,

para todoη >0. Então obtemos|∂_t^kψj(t)|¶C j^−η+N, j→ ∞, implicandoΨb·u∈C^∞(T×M).

Proposição 3.6 Considere o operador

L_b0=D_t+a(t)p(x,D) +i b₀q(x,D). Se vale a condição(3.1), então:

i. L u=f se, e somente se, L_b0v=g , sendo v=Ψ_b⁻¹·u e g=Ψ_b⁻¹·f ; ii. Ψ_b⁻¹◦L◦Ψb =L_b0;

iii. L é (GH) se, e somente se, L_b0é (GH);

Demonstração:Sejamu∈ D⁰(T×M)ef .

=L u. Definindov=Ψ_b⁻¹·ueg=Ψ_b⁻¹·f, segue que L_b0v=X

j∈N

¦D_t(e^{−(B(t)−b0t)νj}u_j(t))

+a(t)µje^{−(B(t)−b0t)νj}u_j(t) +i b₀νje^{−(B(t)−b0t)νj}u_j(t) ϕj(x)©

=X

j∈N

[Dtu_j(t) +a(t)µju_j(t) +i b(t)νju_j(t)]e^{−(B(t)−b0t)νj}ϕj(x)

=X

j∈N

f_j(t)e^{−(B(t)−b0t)νj}ϕj(x) = Ψ_b⁻¹·f = g.

A recíproca é similar, logo o itemi.está provado. Usando a mesmo notação acima tém-se Ψ_b⁻¹◦L◦Ψb(v) =Ψ_b⁻¹◦L(u) =Ψ_b⁻¹(L(u)) =Ψ⁻¹_b ·f =g=L_b0v,

portantoii.também está provado.

Por fim, dadov ∈ D⁰(T×M)tal queg =L_b0v ∈C^∞(T×M)obtemos que f =Ψb·g é uma função suave sobreT×M, poisΨb é um automorfismo deC^∞(T×M). Porii.temosL u=f, sendov=Ψ_b⁻¹·u.

Assim, seLfor (GH) devemos terusuave uma vez quevé suave eL_b0é (GH). A recíproca é demonstrada da mesma forma.

No documento Hipoeliticidade Global para uma Classe de Operadores Pseudodiferenciais sobre Variedades Compactas (páginas 36-45)