Curvas e Ajustes das Superfícies

O componente chave no software das MMC é o ajuste da superfície e curvas. Tal ajuste dos dados pontos da MMC é necessário, a fim de determinar o tamanho, localização ou desvio, ou estabelecer um sistema de coordenadas locais a partir dos recursos de referência [12].

Considerar o problema de ser dado um conjunto de pontos e ajustados de forma correta, digamos, um plano para eles. O ajuste ótimo será determinado pelo tamanho dos resíduos. Os resíduos são as distâncias (ortogonais) desde o ponto até ao plano que foi ajustado. Embora as distâncias não possam ser negativas, os resíduos podem ser considerados como positivos (acima do plano) ou negativos (abaixo do plano) [12].

Considere três maneiras para definir uma montagem ótima, que é, três objetivos de ajustamento. O plano montado de forma correta pode ser definido como o plano que:

1- Minimiza a soma dos quadrados dos resíduos;

2- Minimiza o tamanho do pior caso do valor residual absoluto; 3- Minimiza a soma do valor absoluto dos resíduos.

O objetivo do ajustamento (1) é chamado um ajustamento dos mínimos quadrados e conhecido como ajustamento Gaussiano ou um ajustamento L2 (ou l

2). O objetivo do ajustamento (2) é chamado um

ajustamento de zona-mínima e conhecido como ajustamento Chebyshev, um ajustamento minimax, min-max ou um ajustamento L l

confusões, o termo “melhor ajustamento” deve ser evitado ou somente utilizado quando o objetivo do ajuste é esclarecido de forma clara, porque “melhor ajuste” não é usado exclusivamente para um objetivo de ajustamento particular em toda a literatura matemática [12].

Um rápido exemplo simplificado, ajudará na compreensão destes objetivos do ajustamento e algumas das suas características. Em vez de ajustar um plano, imagine uma linha horizontal para os pontos de dados que aparecem no plano XY. Por causa da linha ser restringida para ser horizontal, a única coisa que pode ser modificada é a sua altura. Então o objetivo é encontrar a altura correta da linha que melhor se ajusta os dados [12].

Imagine que os dados consistem em dois pontos, um à altura 0 e um à altura 1 (Figura 2.28).A linha de mínimos quadrados e linha de zona mínima dão a mesma resposta. Isto é, a linha de ajustamento ótimo é a linha horizontal à altura ½. Para o caso de mínimos quadrados, os resíduos são +½ e -½ e a soma dos quadrados dos resíduos é ¼ + ¼, que iguala ½. Nenhuma outra localização da linha horizontal resultará num somatório dos resíduos dos quadrados sendo tão pequenos. Para este caso de zona mínima, os resíduos são também +½ e -½, que fazem de ½ o maior valor residual absoluto. Nenhuma outra localização da linha horizontal resultará num pequeno valor para o maior valor residual absoluto. Mais incomum é o ajustamento da distância total mínima, que pode ter qualquer altura entre 0 e 1, porque qualquer altura produz o mesmo somatório de distância, ou seja, 1.

Isto torna-se mais interessante quando um terceiro ponto é adicionado, este ponto tendo também uma altura de zero (Figura 2.29). Neste caso, a linha de ajustamento dos mínimos quadrados tem altura de 1/3. É interessante notar que este é o mesmo que o valor médio das alturas dos pontos. A linha de zona mínima não teve alteração. A introdução de outro ponto a zero não mudou os valores extremos, por isso não houve modificação no ajuste. No caso da linha de distância total mínima (o objetivo do

Figura 2.28 – Ajuste de Linha Horizontal Para Dois Pontos, Esquerda: Ajuste dos Mínimos Quadrados, Centro: Ajuste da Zona Mínima, Direita: Ajuste da Distância Total Mínima [12]

desde zero é contada duas vezes (refletindo 2 pontos) ainda que qualquer distância de 1 é contada uma só vez. O ajustamento L1 assumiu o valor mediano da altura dos pontos. O ajustamento de

mínimos quadrados sente os novos pontos e ajusta-se de acordo com estes. De fato, a linha de mínimos quadrados terá sempre a altura igual à altura geral dos dados dos pontos. Em contraste, a linha de zona mínima não tem alteração. Não importa onde o terceiro ponto aparece (entre 0 e 1), o ajustamento de zona mínima não terá alteração [12].

A linha de zona mínima é somente afetada com o que acontece nos pontos extremos e não pelo número de pontos lá ou pontos no meio. O ajustamento de mínimos quadrados “sente” o efeito de todos os pontos, enquanto o ajustamento de zona mínima é somente afetada por alguns pontos extremos.

A maioria dos pacotes do software de MMC, usam os ajustamento de mínimos quadrados e zona mínima para formas padrão como linhas, planos, círculos, esferas, cilindros e cones. Para o caso de linhas e círculos, os problemas do ajustamento podem ser de duas ou três dimensões. Para um ajustamento em duas dimensões (2D), todos os dados de pontos encontram-se num plano (plano XY) e o ajustamento de linhas e círculos tem lugar só dentro do plano. Um ajustamento 3D permite aos dados estar fora de qualquer plano e permite ao círculo e linha estar em qualquer ângulo no espaço 3D [12].

No caso de círculos, cilindros e esferas, torna-se justificável falar sobre outros dois objetivos do ajustamento: mínimo-circunscrito e máximo-inscrito. Eles são quase auto definidos. O círculo mínimo- circunscrito para um conjunto de pontos num plano é o círculo de menor diâmetro que tem pontos que não se encontram no seu exterior. Um círculo máximo-inscrito é um círculo de maior diâmetro rodeado

Figura 2.29 – Ajuste de Linha Horizontal Para Três Pontos, Esquerda: Ajuste dos Mínimos Quadrados, Centro: Ajuste da Zona Mínima, Direita: Ajuste da Distância Total Mínima [12]

de pontos que não contem pontos dentro dele. A definição de máximo-inscrito apenas faz sentido quando a frase, “rodeado por pontos”, estiver bem clara.

Dada uma forma geométrica de base e um conjunto de pontos, o cálculo dos resíduos pode não ser o mais óbvio.