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Exercício5.1
Escreva a equação polar em coordenadas cartesianas:
ρ=sen(2θ). Solução5.1
Temos:
ρ=sen(2θ), Usando arco dobro ρ=2 senθ·cosθ, Usando x
ρ =cosθ,y
ρ =senθ ρ=2·x
ρ ·y ρ ρ=2·xy
ρ2, ρ3=2xy q
x2+y23
=2xy, Poisr2=x2+y2. A equação pode ser também escrito como:
(x2+y2)32 =2xy, ou (x2+y2) = (2xy)23.
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a parte vermelha e se π
2 <θ≤2πtemos a parte azul. Dois pedaços do gráfico se interceptam no ponto(1, 0)quandoθ=0=2π.
−0.5 0.5
0.5
π 3
π
4 x
y
Exercício5.3
Desenha a curva cuja equação em coordenadas polares dada pelo equação:
ρ(θ) =senθ, 0≤θ≤π.
Solução5.3
Proseguindo como no Exemplo5.2temos:
ρ2=ρsenθ,
=⇒x2+y2=y,
=⇒x2+y2−y+1 4 = 1
4,
=⇒x2+ (y−1
2)2= (1 2)2. equação da circunferência com raio 1
2 e centro no ponto(0,1 2). Exemplo5.3
Vamos desenhas as curvasρ=7,ρ=4 cosθ, eρ=−7 senθna mesma sistema de eixos.
Primeiramente, observamos que a equaçãoρ =7, é equivalente aox2+y2 = 72, assim defina a cir-cunferência de raio 7 com o centro na origem (circulo amarelo na figura de baixo).
Proseguindo como no Exercício5.3temos que a curvaρ = −7 senθé circunferência de raio 7 2 com o centro no ponto
0,−7 2
(circulo violeta na figura de baixo).
Analogamente a curvaρ = 4 cosθé uma circunferência de raio 2 com centro em(2, 0)(circulo azul na figura de baixo).
Assim vamos receber a figura de baixo.
−7 2 4 7
−7
−72 7
x y
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Exercício5.4: (Trabalho p/ casa)
(a) Determine as coordenadas polares dos seguintes pontos:
(−1,−2), (−3, 3), (2,−6).
(b) Determine as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos:
(−1,π
4), (2,2π
3 ), (3,π 6).
Exercício5.5: (Trabalho p/ casa)
Converter em coordenadas cartesianas as seguintes equações:
6r3senθ=4−cosθ, 2
r =senθ−secθ.
−2
−1 1
2π 3 -2π 3
x y
Exercício5.6: (Trabalho p/ casa)
Desenha a curva cuja equação em coordenadas polares dada pelo equação:
ρ(θ) =1−cosθ, 0≤θ≤2π,
calculando os valores daρ(θ)para os ângulos simples comoθ= 0, π
6, π 4, π
3 etc. recebendo a cardioide do lado.
2 3
−1 1
x
Exercício5.7: (Trabalho p/ casa) y
Desenha no mesmo plano as seguintes curvas:
ρ(θ) =1+cosθ, ρ(θ) =3 cosθ,
ρ(θ) =2 cosθ+2 senθ.
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Nesta Aula, veremos as áreas delimitadas por curvas polares. Ob-serve também que dissemos “limitadas por” em vez de “abaixo”, como costumamos fazer nesses problemas (como na Aula1). Esses problemas funcionam de maneira um pouco diferente nas coor-denadas polares. Aqui está um esboço de quis são os regiões para encontrar a área.
θ=β
θ=α r= f(θ)
x y
Estaremos procurando a área amarela no esboço acima do con-junto A, dado por
A=n(ρ,θ) 0≤ρ≤ f(θ), α≤θ≤β
o . A fórmula para encontrar esta área é,
Área A= 1 2
β Z
α
f2(θ)dθ.
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Exemplo6.1
Calcule area da região limitada pelo
ρ(θ) =senθ, 0≤θ≤π.
Como vimos na Aula5, a região correspondente é uma circunferência com centro no ponto(0, 0.5) com raio 1
2. Assim a área deve serπ·1 2·1
2 = π 4.
−1 2
1 2 0.5
x y
Agora vamos ver como receber a mesma resposta usando a a formula acima. Temos
Área A= 1 2
β Z
α
f2(θ)dθ= 1 2
Zπ
0
sec2θdθ
= 1 2
Zπ
0
(1−cos 2θ)dθ
= 1 4 h
θ−sen 2θ 2
i
π 0 = π
4. Exercício6.1
Calcule área da região limitada pelo
ρ(θ) =1−cosθ, 0≤θ≤π.
−2
−1 1
x y
Solução6.1
Como vimos na aula5, a curva devida uma cardioide do lado.
Usando a formula para calcular a área temos:
Área A= 1 2
β Z
α
f2(θ)dθ= 1 2
Zπ
0
[1−cosθ]2dθ
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Temos, Zπ
0
[1−cosθ]2dθ= Zπ
0
[1−2 cosθ+cos2θ]dθ
=2π+ Zπ
0
cos2θdθ
=2π+ Zπ
0
1+cos(2θ)
2 dθ
=2π+π =3π.
Assim a área da cardioide igual a 3π 2 .
Le m b r e t e:
2πR
0
cosxdx=0
Como vamos ver no vários exemplos a seguir, está bem útil, calcular as áreas da regiões quando o raio varia entre duas curvas
f(θ)eg(θ)como no esboço de baixo.
Estaremos procurando a área no esboço acima do conjunto A, dado por
A=n(ρ,θ) g(θ)≤ρ≤ f(θ), α≤θ≤β
o . A fórmula para encontrar esta área é,
Área A= 1 2
β Z
α
[f2(θ)−g2(θ)]dθ. (6.1)
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Exercício6.2
Encontre a área da região entre os círculos ρ=1, ρ=2 senθ, tal que
1≤ρ≤2 senθ,
isto é a região interior da circunferênciaρ=2 senθe exterior da circunferênciaρ=1.
−1 1
−1 2
π 6 -2π
3
x y
Solução6.2
Os círculos interceptam onde 1=2 senθ, ou seja senθ= 1 2, as-simθ= π
6 ouθ= 5π
6 . Assim, aplicando a formula (6.1), temos
Area é= 1 2
5π6
Z
π6
[4 sen2θ−1]dθ
= 1 2
5π
Z6
π 6
[2(1−cos 2θ)−1]dθ
=
5π
Z6
π 6
1
2−cos 2θ dθ
=hθ
2 −sen 2θ 2
i
5π 6 π6
= 5π 12 − π
12−1 2
hsen5π
3 −senπ 3 i
= π 4 −1
2 h−
√3 2 −
√3 2
i= π 4 +
√3 2 .
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Exercício6.3
Determine a área que está dentro doρ = 3+2 senθe fora do ρ=2.
Solução6.3
Do lado está um esboço da região que buscamos.
Este é o gráfico deρ=3+2 senθ. O círculo e a cardioide se cruzam nos3º e4º quadrantes. A área do coração até o círculo que está no primeiro e segundo quadrantes está sombreada. Para de-terminar esta área, precisamos conhecer os valores deθpara
o qual as duas curvas se cruzam. Podemos determinar esses pontos definindo as duas equações e resolvendo.
3+2 sinθ=2 sinθ=−1
2 ⇒ θ= 7π
6 ,11π 6
Observe também aqui que também reconhecemos que outra rep-resentação para o ângulo 11π6 é−π6. Isso é importante para este problema. Para usar a fórmula acima, a área deve ser delimitada conforme aumentamos do ângulo menor para o maior. Portanto, se usarmos 7π6 para 11π6 não incluiremos a área sombreada, em vez disso, incluiremos a parte inferior das três regiões. No entanto, se usarmos os ângulos−π6 para 7π6, incluiremos a área que bus-camos.
Assim aplicando a formula (6.1).
A= Z 7π
6
−π6
1 2
(3+2 sinθ)2−(2)2dθ
= Z 7π
6
−π6
1 2
5+12 sinθ+4sin2θ
dθ
= Z 7π6
−π6
1
2(7+12 sinθ−2 cos(2θ))dθ
= 1
2(7θ−12 cosθ−sin(2θ))
7π6
−π6
= 11
√3 2 +14π
3
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Exercício6.4
Calcule a areá interior das ambas as curvas:
ρ=senθ, ρ=cosθ.
1 π
4 x
y
1.5 1.5
ρ=senθ
A
1x y
1.5 1.5
ρ=cosθ
A
2x y
Solução6.4
A curvaρ = senθé circunferência azul eρ = cosθ circunfer-ência vermelha na figura do lado. As circunfercircunfer-ências se encontram quando
senθ=cosθ, ou sejaθ= π
4. Observe que para calcular a área interior das am-bas as circunferências, podemos dividir a região para duas: quando o angulo varia entre0eπ/4 e quando o angulo varia entreπ/4 eπ/2 (como na figura do lado. Assim temos:
A1=
(θ,ρ) 0≤θ≤ π 4, 0≤ρ≤senθ
e
A2=
(θ,ρ) π
4 ≤θ≤ π 2, 0≤ρ≤cosθ
, com
Área total=áreaA1+ áreaA2. Assim
Área total= 1 2
π4
Z
0
sen2θdθ+1 2
π2
Z
π4
cos2θdθ
= 1 4
π4
Z
0
(1−cos 2θ)dθ+1 4
π2
Z
π4
(1+cos 2θ)dθ
= 1 4
θ−sen 2θ 2
π 4
0
+θ+sen 2θ 2
π 2 π4
= 1 4
π 4 −1
2) +π 2 −π
4 −1 2
= π 8 −1
4.
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Exercício6.5
Calcule a área da região interior de ambas as curvas:
ρ=3·cosθ, ρ=1+cosθ.
2 3
−1 1
π
3 x
y
Solução6.5
A curvaρ =3 cosθé circunferência vermelha eρ =1+cosθé a cardioide azul na figura do lado. Observe que para calcular a área interior das ambas as curvas podemos calcular a área com anguloθvariando entre 0 eπ
2 multiplicando por2no final. Alem disso a região laranja interior de duas podemos dividir a região para duas: quando o angulo varia entre0eπ/3 e quando o an-gulo varia entreπ/3 eπ/2 (como na figura do lado. Assim temos:
A1=
(θ,ρ) 0≤θ≤ π 3, 0≤ρ≤1+cosθ
e
A2=
(θ,ρ) π
3 ≤θ≤ π 2, 0≤ρ≤3·cosθ
, com
Área total=2[área A1+ áreaA2]. Assim
ÁreaA1= 1 2
π
Z3
0
(1+cosθ)2dθ
= 1 2
π
Z3
0
(1+2 cosθ+cos2θ)dθ
= 1 2
3θ
2 +2 senθ+sen 2θ 4
π3
0
= 1 2
3π
6 +2 senπ 3 +sen
2π 3
4
= π 4 +9
√3 16 . Semelhante,
Área A2= 1 2
π2
Z
π3
(3 cosθ)2dθ= 3π 8 −9
√3 16 . Assim,
Área total=2[áreaA1+ área A2]
=2hπ 4 +3π
8 i
= 5π 4 .
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Exercício6.6: (Trabalho p/ casa)
• Determine a área que está fora doρ=3+2 cosθe dentro do ρ=2. Resposta: 11
√ 3 2 −7π3 .
• Determine a área que dentro das ambasρ=3+2 cosθeρ= 2. Resposta: −11
√3 2 +19π3 .
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Nesta aula, usamos integrais definidas para encontrar o compri-mento do arco de uma curva. Podemos pensar no compricompri-mento do arco como a distância que você viajaria se estivesse caminhando ao longo do caminho da curva. Muitas aplicações do mundo real envolvem comprimento de arco. Se um foguete é lançado ao longo de um caminho parabólico, podemos querer saber a que distância o foguete viaja. Ou, se uma curva em um mapa representa uma estrada, podemos querer saber a distância que temos que dirigir para chegar ao nosso destino.
Começamos calculando o comprimento do arco de curvas definidas como funções dex, depois examinamos o mesmo pro-cesso para curvas definidas como funções dey. (O processo é idên-tico, com os papéis dex eyinvertidos.)