Então, componente a componente, para obter o co-variante Aa vem Ar =
grrAr = (1)(1) = 1, Aθ = gθθAθ = (r2(r) = r3, Aφ= gφφAφ = (r2sin2θ(0) = 0, pelo
que:
Aa = (1, r3, 0)
Para obter o contra-variante Ba o processo é exatamente o mesmo e vem,
no final:
Ba= 0, −1,cot
2θ
r2
!
3.6
Curvatura e Tensor da Curvatura de Riemann
Finalmente, após introduzida a análise tensorial e as capacidades matemá- ticas que os tensores fornecem, chega o conceito e definição propriamente dita de curvatura, assim como os instrumentos que dão a garantia de que se está perante uma situação de espaço curvo ou não. De facto, a métrica permite definir a curva- tura do espaço, caraterizar deslocamentos infinitesimais no espaço, mas antes disso é preciso assegurar que o espaço é realmente curvo. É aqui que entra o tensor da curvatura de Riemann, como se vai ver.
Para isso, é fundamental que tenha ficado bem assente o que é um espaço de Riemann e que os conceitos aprendidos ao longo do capítulo tenham ficado de tal forma consolidados, que sejam possíveis de imaginar. Um espaço de Riemann, como o espaço-tempo (na verdade é pseudo-Riemanniano porque admite ds2 < 0, o
que não acontece num espaço de Riemann rigoroso), não é de todo fácil de imaginar, talvez seja até impossível para o ser humano tal imaginação, pelo que existem sim- plesmente ideias resultantes da conceptualização e da tentativa de criar algo próximo à realidade. Contudo, podem inventar-se formas mais simples de descrever um es- paço de Riemann. Pensando numa superfície suave, capaz de ser diferenciável, mas que seja mais ou menos curva, para que seja possível "sentir"a curvatura e envolvendo essa superfície com duas linhas de coordenadas de cores diferentes é tudo o que se precisa para imaginar um espaço de Riemann. Se uma dessas linhas representar um sistema de coordenadas, a outra representa um sistema de coordenadas diferente. Por ser um espaço de Riemann, associa-se um tensor métrico a qualquer ponto na superfície do espaço, isto é, cria-se um campo tensorial que gera um tensor para cada ponto do espaço, sendo que a métrica define a separação infinitesimal entre pontos vizinhos. É fundamental perceber que pelo espaço não ser plano, os coeficientes do tensor métrico e a representação das suas componentes vão variar de ponto para ponto, ou seja, não são constantes. Contudo, o interessante é que em cada ponto
deste espaço vai ser possível ter um vetor contra-variante e outro co-variante numa das linhas de coordenadas, com determinadas coordenadas, e através das transfor- mações vistas passar para as coordenadas da outra linha de coordenadas. Esta á a vantagem principal de definir a geometria de um espaço em coordenadas gerais, nas quais se podem definir equações tensoriais verdadeiras em qualquer sistema de coordenadas (princípio da co-variância geral), embora as componentes dos tenso- res variem, e que podem primeiro garantir que o espaço é curvo, como se vai ver com o tensor de Riemann, e posteriormente medir quantidades físicas com o tensor métrico, por exemplo.
O tensor métrico já foi estudado, resta agora nesta secção explorar o tensor da curvatura de Riemann, outro tensor importantíssimo em diversos campos da física e que abriu caminho para várias ferramentas como as Equações de Campo de Einstein, ou o Tensor de Ricci que resulta do de Riemann, por contração. Na relatividade geral, por exemplo, onde já se analisa o espaço-tempo curvo devido à influência de matéria e energia, é fundamental ter um tensor que seja capaz de dizer se o espaço é efetivamente curvo ou não.
3.6.1
Curvatura
A fim de perceber os espaços curvos que têm vindo a ser introduzidos e saber definir qualquer curvatura, é fulcral assentar dois conceitos:
• Geodésica: Utilizada para calcular o movimento de partículas num espaço de Riemann, corresponde nesse espaço ao caminho mais curto entre dois pontos;
• Tensor da Curvatura de Riemann: Mede rigorosamente a curvatura de um dado espaço;
Regressando à métrica, a métrica é também importante para adquirir outro instrumento decisivo no estudo de curvatura, os coeficientes de conexão Γ entre pontos no espaço, que permitem comparar vetores nesses dois pontos. Em suma, com a métrica chega-se aos coeficientes de conexão e com estes em posse, torna-se possível relacionar tudo no espaço.
3.6.2
Coeficientes de Conexão
Nesta fase, a diferenciação é, do mesmo modo, importantíssima. Este pro- cesso não parece complicado à partida, no entanto, é preciso ter em conta que os versores no espaço curvo não são constantes, logo, diferenciar um vetor ou tensor no espaço curvo deixa de ser trivial.
3.6. Curvatura e Tensor da Curvatura de Riemann
No espaço plano, em coordenadas cartesianas, sofrem diferenciação apenas as componentes do tensor (incluindo vetores). Já no espaço curvo geral, os versores contra-variantes e co-variantes variam no espaço, como se sabe, são versores coorde- nados, isto é, definem-se em termos das derivadas das coordenadas. Por conseguinte, diferenciar um tensor implica diferenciar não só as componentes, mas também os versores. De facto, diferenciar versores é uma novidade e só é possível através dos coeficientes de conexão.
Imagine-se o vetor contra-variante ~V = Vαe
α, de coordenadas xβ, A regra
da derivada do produto diz que:
∂ ~V ∂xβ = Vα ∂xβeα+ V α∂eα ∂xβ (3.37)
Uma vez que os vetores de base também variarão e portanto, é de notar que, realmente, todos os termos sofrem diferenciação na Equação (3.37), tanto as componentes como os versores do ~V . O que se tem em cima são derivadas parciais
que representam a taxa de variação dessa componente e desse versor em função das coordenadas xβ. No caso particular dos versores passa-se a representar da seguinte
forma (por exemplo, para um espaço 4D):
∂eα
∂xβ = Γ γ
αβeγ = Γ0αβe0+ Γ1αβe1+ Γ2αβe2+ Γ3αβe3 (3.38)
O que é que diz então cada coeficiente de conexão? É uma notação nova e muito útil. Em cada termo Γγαβ subentende-se a taxa de variação das componentes de eα em função das coordenadas xβ, na direção do versor eγ. Obviamente estes
índices para cada caso vão tomar os valores das coordenadas respetivas ao sistema em que se estiver a trabalhar. A essência é perceber como funciona o mecanismo do coeficiente, que é identificar a variação de uma dada componente, em função de uma dada coordenada, na direção de um dado versor. Veja-se um exemplo prático a seguir para consolidar melhor este novo conceito.
O objetivo deste exemplo é calcular os coeficientes de conexão, Γi
jk no modo
geral, para um espaço euclidiano 2D, em coordenadas polares. Ora, pelo enunciado do problema, sabe-se desde logo que as coordenadas que vão ocupar o lugar dos índices serão r e θ, por se estar a trabalhar em coordenadas polares. Então, em primeiro lugar, expressa-se as coordenadas cartesianas em função das polares:
Neste caso considera-se o versor co-variante, logo a transformação dos ver- sores será dada pela Equação (3.20), sendo que a transformação de um versor virá:
eα
0
= ∂x
β
∂x0αeβ
Já se sabe que índices repetidos em cima e em baixo somam-se, logo:
er = ∂x∂rex+∂y∂rey = cosθex+ sinθey eθ = ∂x∂θex+ ∂y∂θey = −rsinθex+ rcosθey
Estão definidos os versores nas coordenadas polares em função da base car- tesiana. Importa agora aplicar o conceito que se aprendeu nesta secção, a derivação dos próprios tensores em função das duas coordenadas do sistema, obtendo-se o seguinte: ∂er ∂r = 0 ∂er ∂θ = −sinθex+ cosθey = 1 reθ ∂eθ
∂r = −sinθex− r sin θey =
1
reθ ∂eθ
∂θ = −r cos θex− r sin θey = −rer
Agora estão explícitas todas as derivadas parciais necessárias e com um formato simples de perceber. Basta agora passar esse formato para o formato dos coeficientes de conexão intuitivamente, ficando:
Γθ rθ = Γθθr = 1r Γr θθ = −r Γr rθ = Γrθr = 0 Γθrr = Γrθr = 0 Γθ θθ = 0
No exemplo acima o raciocínio foi baseado no conhecimento a priori da relação entre as coordenadas cartesianas e polares. Há, contudo, um método mais expedito para o cálculo dos coeficientes de conexão, que parte da métrica de um certo espaço. Sendo assim, tendo a métrica disponível, os coeficientes de conexão