controlado
Outra classe de variedades que satisfazem a condi¸c˜ao de convexidade estrita ´
Teorema 5.2.1 Seja M uma variedade Hadamard com curvatura seccional KM ≤ −k2 e suponha que existam o ∈ M e R∗ > 0 tais que
KR := min{KM(Π)|Π ´e um 2-plano em p, p ∈ BR+1(o)}
satisfaz KR≥ − e2kR R2+2, ∀R ≥ R ∗ . (5.16)
Ent˜ao dados v ∈ ToM e 0 < α < π/2, existe um subconjunto convexo C ⊂ M
tal que
(i) ∂∞C ⊇ {γ(∞)|γ(0) = o, ^(v, γ0(0)) ≥ 2α}
(ii) M \ C cont´em o cone truncado To(v, α, r0) para algum r0 > 0.
Em particular, M satisfaz a condi¸c˜ao de convexidade estrita.
Para a prova deste resultado, adaptamos os passos feitos por M. Ander- son em [And] e A. Borb´ely em [B1]. Nestes dois trabalhos ´e demonstrado que a condi¸c˜ao de vizinhan¸cas cˆonicas convexas de [C] ´e satisfeita por va- riedades com curvatura seccional limitada entre duas constantes negativas e satisfazendo −eλ(r−1) ≤ K
r, KM ≤ −1, λ < 1/3, respectivamente. Como
nosso interesse ´e parecido, por´em distinto, reescrevemos a demonstra¸c˜ao com algumas adapta¸c˜oes.
Observamos tamb´em neste momento que I. Holopainen e A. V¨ah¨akangas provaram em [HV] que o p-laplaciano ´e regular no infinito com as mesmas hip´oteses do Teorema 5.2.1 (veja Corol´ario 3.23 de [HV]). A t´ecnica no entanto ´e bastante diferente da nossa, o que ´e um fato bastante curioso.
J´a para o caso de Q = M, o resultado ´e novidade.
A id´eia central da constru¸c˜ao ´e baseada no fato de que as bolas geod´esicas s˜ao uniformemente estritamente convexas, ent˜ao n˜ao importa qual seu raio, sempre ´e poss´ıvel tirar um pedacinho delas contendo uma por¸c˜ao da fronteira de modo que o conjunto que sobra continua convexo. Isso depende apenas do fato de KM ≤ −k2. J´a o tamanho da fronteira que ´e retirado sem compro-
meter a convexidade do restante, quando o raio tende a infinito, ´e controlado pela limita¸c˜ao inferior da curvatura seccional.
Come¸camos fixando uma fun¸c˜ao suave n˜ao decrescente φ : [0, +∞) → R tal que 0 ≤ φ ≤ 1, φ([0, 1/2]) = 0, φ ≡ 1 em [1, +∞). Seja L > 0 tal que φ0, φ00 ≤ L. Para p ∈ SR(o), definimos fp : M → R por
fp(x) = φ(ρp(x)),
onde ρq denota a fun¸c˜ao distˆancia a q ∈ M .
Daqui para frente, usamos a nota¸c˜ao aR:=
√ −KR.
Lema 5.2.2 Existe β > 0 que depende apenas de k e L tal que, se pomos
εR:= βR1+e−kR, (5.17)
ent˜ao o subconjunto de n´ıvel
{x ∈ M ; (ρo− εRfp)(x) ≤ R}
´
e um conjunto estritamente convexo para R ≥ max{1, r∗, R∗}, onde r∗ ´e tal
que e−kr∗(r∗)1+ = 1.
Dem. ´E suficiente provar que o hessiano of ρo − εRfp ´e positivo-definido
no subespa¸co {X ∈ TxM |X ⊥ ∇(ρo− εRfp)(x)}, para cada x tal que (ρo−
εRfp)(x) = R. Seja R ≥ R∗, onde a estimativa (5.16) vale, e R > 1, para que
o conjunto de n´ıvel represente BR(o) menos um pedacinho. Fixamos um tal
x. Seja X ⊥ ∇(ρo− εRfp)(x). Ent˜ao
D2(ρo− εRfp)(X, X) = h∇X(∇ρo− εRφ0∇ρp) , Xi
= D2ρo(X, X) − εRφ0D2ρp(X, X) − εRφ00h∇ρp, Xi2.
Como ρo ´e uma fun¸c˜ao distˆancia tem-se que D2ρo(X, X) = D2ρo(X⊥, X⊥),
onde X⊥ = X − hX, ∇ρoi∇ρo; al´em disso, hX, ∇ρoi = εφ0hX, ∇ρpi.
Por fim, como KM ≤ −k2, o Teorema de Compara¸c˜ao do Hessiano implica
a estimativa D2ρ
o(X⊥, X⊥) ≥ kkX⊥k2, e desta forma
D2ρo(X, X) ≥ k kXk2− hX, ∇ρoi2
= k kXk2− εRφ0hX, ∇ρpihX, ∇ρoi ≥ k(1 − εRL)kXk(5.18)2
Por outro lado, como φ0 ≡ 0 em [1, +∞) e KM ≥ −a2Rem BR+1(o), aplicamos
novamente o Teorema de Compara¸c˜ao do Hessiano, na outra dire¸c˜ao, para obter φ0D2ρp(X, X) ≤ φ0aRcoth(aRρp)kX − hX, ∇ρpi∇ρpk2 = φ0aRcoth(aRρp) kXk2− hX, ∇pi2 ≤ φ0a Rcoth(aRρp)kXk2.
Como temos que φ0 ≡ 0 em [0, 1/2], com aR≥ k, temos
φ0D2ρp(X, X) ≤ φ0aRcoth(aR/2)kXk2 ≤ LaRcoth(k/2)kXk2. (5.19)
Assim, se kXk = 1 e R ≥ r∗ (o que implica que εR ≤ β), usando tamb´em
que εRaR≤ β, temos que
D2(ρo− εRfp)(X, X) ≥ k(1 − εRL) − εRLaRcoth(k/2) − εRL
e desta forma, escolhendo β := k 2L(k + 1 + coth(k/2)), (5.20) obtemos a estimativa D2(ρ o − εRfp)(X, X) ≥ k/2, concluindo a demons- tra¸c˜ao.
Precisamos de mais um resultado geom´etrico, que diz que se estamos em M olhando a partir de o para uma bola de raio 1 que se afasta, ent˜ao o ˆangulo que ela ocupa de nossa vis˜ao decresce exponencialmente com a distˆancia a o. Mais precisamente:
Lema 5.2.3 Sejam M uma variedade riemanniana com KM ≤ −k2, o ∈ M
e p ∈ M com ρo(p) = R, Ent˜ao θR := max{^(γop0 (0) , γ 0 oq(0)); q ∈ S1(p)} ≤ arcsin sinh k sinh kR . (5.21) Como consequˆencia, se tamb´em vale que R ≥ ˜r, onde ˜r ≥ (ln 2)/2k e sinh2k˜r ≥ 4 sinh2(k)/3, ent˜ao existe A > 0 constante universal tal que θR≤ Ae−kR.
Dem. Notamos inicialmente que ´e suficiente provar que vale igualdade em (5.21) para o caso particular em que M = H2(−k2), o plano hiperb´olico de
curvatura seccional constante −k2. De fato, sejam p1 = p como no enunciado
e p2 que realiza o m´aximo na express˜ao de θR. Denotamos por ed a distˆancia
no hiperb´olico.
Sejam eo,pe1 e pe2 pontos no plano hiperb´olico tais e
d(eo,pei) = d(o, pi), i = 1, 2,
e
d(pe1,pe2) = d(p1, p2).
Queremos mostrar que α ≤ α, onde α ´e e o ˆangulo em o e α eme o.e
Suponhamos por absurdo queα < α. Ent˜e ao existe η > 0 tal que α =α+η.e Seja p o ponto de γp1p2 tal que ^ γ
0
op1(0), γ
0
op(0) =α. Como as geod´e esicas em M se afastam mais rapidamente que em H2 (pelo Teorema da Compara¸c˜ao
de Rauch), temos que distM(p1, p) ≥ distH(pe1,pe2), visto que os ˆangulos coincidem. Assim, distM(p1, p2) = distM(p1, p) + dist(p, p2) > dist(pe1,pe2), pois p 6= p2, j´a que η > 0. Isso ´e absurdo.
Podemos prosseguir, assim, mostrando igualdade em (5.21) em H2(−k2).
Para isso, utilizaremos o modelo do disco de Poincar´e, ou seja, consideramos D2 = {(x, y) ∈ R2; x2+ y2 < 1} munido da m´etrica
hu, vi(x,y) =
4hu, vie
onde h·, ·ie denota a m´etrica euclidiana.
Como o espa¸co hiperb´olico ´e homogˆeneo, podemos supor sem perda de generalidade que o = (0, 0) e que p = (a, 0), a > 0. Como uma consequˆencia imediata da express˜ao da m´etrica, temos que se a distˆancia hiperb´olica de p a o ´e R, ent˜ao a = tanh(kR/2).
Observamos ainda que os ˆangulos hiperb´olico e euclidiano em o = (0, 0) coincidem, pois a m´etrica de Poincar´e ´e conforme `a euclidiana. Desta forma, para calcular θR ´e suficiente calcular o ˆangulo euclidiano m´aximo do c´ırculo
B de centro hiperb´olico (a, 0) e raio hiperb´olico 1. Neste caso, ´e f´acil ver que θR´e dado por
sen θR= Raio euclidiano de B
Norma euclidiana do centro euclidiano de B. (5.22)
´
E suficiente, ent˜ao, calcular o centro e o raio euclidianos de B. Para isso, utilizaremos isometrias de D2, que s˜ao as transforma¸c˜oes de M¨obius que
preservam o disco unit´ario. Escrevmos z = x + iy, e ent˜ao g(z) := z + a
az + 1 ´
e um isometria que leva o eixo horizontal {y = 0} em si pr´oprio e leva o c´ırculo hiperb´olico de raio 1 centrado em o, eB (que ´e o c´ırculo euclidiano centrado em (0, 0) de raio b := tanh(k/2)), no circulo hiperb´olico B de centro hiperb´olico p e raio hiperb´olico 1. Observe que os centros e raios hiperb´olico e euclidiano n˜ao coincidem, no entanto, atrav´es da express˜ao da g ´e f´acil ver que g(−b) e g(b) formam um diˆametro de B, de onde obtemos que o centro euclidiano ´e
dado por (g(b) + g(−b)) /2 e o raio euclidiano por (g(b) − g(−b)) /2. Assim, sin θR = g(b) − g(−b) g(b) + g(−b) = b(1 − a2) a(1 − b2) = tanh(k/2)(1 − tanh 2(kR/2)) tanh(kR/2)(1 − tanh2(k/2)) = tanh(k/2) cosh2(k/2) tanh(kR/2) cosh2(kR/2) = sinh(k/2) cosh(k/2) sinh(kR/2) cosh(kR/2) = sinh k sinh kR e portanto θR = arcsin sinh k sinh kR , o que conclui a primeira afirma¸c˜ao.
Agora, se sinh2k/ sinh2kR ≤ 3/4, temos q 1 − sinh2k/ sinh2kR ≥ 1/2, o que nos d´a arcsin sinh k sinh kR = Z sinh kRsinh k 0 dt √ 1 − t2 ≤ Z sinh kRsinh k 0 2dt.
Se al´em disso tamb´em valer que R ≥ (ln 2)/2k, obtemos sinh kR ≥ ekR/4,
e portanto escrevendo A := 8 sinh(k), obtemos a segunda afirma¸c˜ao, con- cluindo a demonstra¸c˜ao.
Com estes dois lemas em m˜aos, podemos partir para a demonstra¸c˜ao do Teorema 5.2.1.
Prova do Teorema 5.2.1. Come¸camos com r0 ≥ R∗que ser´a determinado
no fim da demonstra¸c˜ao. Definimos os seguintes conjuntos: C0 := Br0, T0 := {p ∈ Sr; ^(γop, v) < α}, D0 = ∅
Gra¸cas ao Lema 5.2.2, existe ε0 := εr0 uniforme tal que para cada p ∈ Sr0(o),
o subconjunto de n´ıvel
C1,p := {x ∈ M ; (ρo− ε0fp)(x) ≤ r0}
´
e convexo. Definimos ent˜ao a segunda cole¸c˜ao de conjuntos como segue: f C1 := \ p∈T0 C1,p, C1 := fC1\ D0, r1 := r0+ ε0 D1 := Br1(o) \ C1, T1 := Sr1(o) \ ∂C1.
Definmos tamb´em
θ0 := sup{^(γop0 (0), γ 0
oq(0)); p ∈ T0, q ∈ S1(p)}.
Portanto, ^(v, γox0 (0)) ≤ α + θ0, para todo x ∈ D1. De fato, se x ∈ D1,
existe p ∈ T0 tal que x ∈ Br1(o) \ C1,p, o que implica que r0+ εφ(ρp(x)) <
ρ(x) < r1, e logo x ∈ B1(p), caso contr´ario ter´ıamos o absurdo r1 < r1. Desta
forma ^(v, γox0 (0)) ≤ ^(v, γ 0 op(0)) + ^(γ 0 op(0), γ 0 ox(0)) ≤ α + θ0.
Agora procedemos indutivamente da seguinte forma: Suponha que Ck,
rk, Dk e Tk est˜ao definidos para todo k ≤ n − 1, n ≥ 1, e que todos os Cks
s˜ao convexos. Pelo Lema 5.2.2, existe εn uniforme tal que se p ∈ Srn−1(o), o
conjunto Cn,p:= {ρo− εn−1fp ≤ rn−1} ´e convexo. Defina
f Cn := \ p∈Tn−1 Cn,p, Cn:= fCn\ Dn−1, rn:= rn−1+ εn−1 Dn := Brn(0) \ Cn, Tn := Srn(o) \ ∂Cn, θn:= sup{^(γop0 (0), γ 0 oq(0)); p ∈ Tn, q ∈ S1(p)}. Afirma¸c˜a 1. Cn´e convexo.
De fato, sejam x, y ∈ Cn e suponha por absurdo, que γxy * Cn. Como
Cn ⊂ fCn, que ´e convexo, deve ocorrer γxy ∩ Dn−1 6= ∅. Em particular,
γxy deve interseccionar ∂Dn−1 pelo menos duas vezes. Por outro lado, como
Cn−1´e convexo, γxy n˜ao pode cruzar ∂Cn−1 duas vezes, caso contr´ario estaria
contido em Cn−1 ⊂ Cn. Logo γxy deve cruzar ∂Dn−1\ ∂Cn−1= int Tn−1. Mas
neste caso, γxy conteria pontos de Brn(o) \ fCn, o que contradiz a convexidade
de fCn.
Afirma¸c˜ao 2. Se x ∈ Dn, ent˜ao ^(v, γox0 (0)) ≤ α +
Pn−1
i=0 θi.
De fato, a defini¸c˜ao de Dn implica que Dn = Dn−1∪
Brn(o) \ fCn
. Se x ∈ Dn−1, termina, j´a que por indu¸c˜ao ´e poss´ıvel concluir que ^(v, γoy0 (0)) ≤
α +Pn−2
i=0 θi para todo y ∈ Dn−1. Caso contr´ario, existe p ∈ Tn−1 tal que
x ∈ Brn(o) \ Cn,p, o que implica que x ∈ Brn(o) ∩ B1(p) para algum p ∈ Tn−1.
Assim ^(v, γox0 (0)) ≤ ^(v, γ 0 op(0)) + ^(γ 0 op(0), γ 0 ox(0)) ≤ ^(v, γop0 (0)) + θn−1.
Por outro lado, ´e f´acil ver que Tn−1⊂ Dn−1, logo ^(v, γop0 (0)) ≤ α +
Pn−2
i=0 θi,
Afirma¸c˜ao 3. Sejam C := [ n≥0 Cn, D := [ n≥0 Dn. Ent˜ao C ´e convexo e M = C ∪ D.
Como por constru¸c˜ao temos C0 ⊆ C1 ⊆ C2 ⊆ · · · e todos os Cns s˜ao
convexos, segue imediatamente que C ´e convexo. Para provar que M = C∪D, ´
e suficiente mostrar que rn → +∞ quando n → +∞ pois Brn(o) = Cn∪ Dn.
Se supomos, por absurdo, que existe A > 0 tal que rn ≤ A para todo n ≥ 0,
conclu´ımos que εn = βrn1+e −krn ≥ βr1+ 0 e −kA , ∀n ≥ 0, e usando que rn+1 = rn+ εn = r0+ n X i=0 εn,
conclu´ımos que rn → +∞, o que ´e absurdo. Devido `a afirma¸c˜ao 3, ´e suficiente
mostrar que ∂∞D ⊂ {γv(+∞) ; ^(v, γ0(0)) ≤ 2α} para obter (i). Para tal,
note que, ao menos formalmente, se x ∈ D,
^(v, γox0 (0)) ≤ α + +∞
X
n=0
θn.
Assim, a ´unica coisa que resta provar ´e que a s´erie converge a uma constante ≤ α, desde que r0 seja escolhido corretamente. A id´eia central ´e estimar
quantos ri est˜ao em cada intervalo para assim controlar, de certa forma, o
n´umero de termos da s´erie. Definimos para isso tn como o n´umero de ris no
intervalo In:= [r0+ n, r0+ n + 1], n ≥ 0. Seja jn o sub´ındice do maior ri em
In. Como εi decresce com i, temos:
tnεjn ≤ εjn−1+ εjn−2+ · · · + εjn−tn
= (rjn− rjn−1) + (rjn−1− rjn−2) + · · · + (rjn+1−tn − rjn−tn)
= rjn− rjn−tn ≤ (r0+ n + 1) − (r0+ n) = 1.
A estimativa acima nos d´a
tn≤ ε−1jn ≤
ek(r0+n+1)
β(r0+ n)1+
,
Al´em disso, pelo Lema 5.2.3 temos que θi ≤ Ae−kri. Esses dois fatos nos d˜ao ∞ X i=0 θi = ∞ X n=0 X ri∈In θi ≤ ∞ X n=0 tnAe−k(r0+n) ≤ Aek β ∞ X n=0 1 (r0+ n)1+
Fica ent˜ao claro que escolhendo adequadamente o valor de r0, ´e poss´ıvel obter
θ < 2α.
Para provar (ii), seja γ um raio geod´esico a partir de o satisfazendo ^(γ0(0), v) < α. Ent˜ao γ intersecciona T0 `a distˆancia r0, saindo de C. Como
por constru¸c˜ao ∂C ⊇ T0 e C ´e convexo, γ n˜ao pode interseccionar C ap´os
distˆancia r0.