Série geométrica
Problema 13. Dízima periódica
Converta em fração as dízimas periódicas abaixo.
a) 0,777777 . . . b) 0,0454545 . . . c) 1,5181818 . . .
Solução.
a) Notamos que 0,777777 . . .= 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + . . . = 107 +1007 +10007 +100007 +1000007 + . . . = 107 +107 (101 )1+107 (101 )2+107 (101 )3+107 (101 )4+ . . . = ∑∞ n=1 7 10(101 )n−1.Temos, portanto, uma série com termo inicial e razão dados por
a1=107 e r= 101 .
Como∣r∣ < 1, a série é convergente e vale
S= 1− 1/107/10 = 97/10/10 = 107 ⋅109 =79.
Logo, 0,777777 . . .=79. b) Nesse caso, temos
0,0454545 . . .= 0,045 + 0,00045 + 0,0000045 + . . . = 100045 +10000045 +1000000045 + . . . = 100045 +100045 (1001 )1+100045 (1001 )2+ . . . = ∑∞ n=1 45 1000(1001 )n−1.
Essa série tem a1 = 45/1000 e r = 1/100, sendo também convergente. Assim, a forma fracionária da dízima é
Seção 6.4. Progressões geométricas 575
c) Nesse exemplo, é preciso separar a parte do número que é periódica daquela que não se repete. Assim, escrevemos
1,5181818 . . .= 1,5 + 0,0181818 . . . .
Deixando de lado temporariamente a parte que não se repete, convertemos a parte periódica na notação de somatório aplicando a mesma estratégia apresentada no item anterior: 0,0181818 . . .= 0,018 + 0,00018 + 0,0000018 + . . . = 100018 +10000018 +1000000018 + . . . = 100018 +100018 (1001 )1+100018 (1001 )2+ . . . = ∑∞ n=1 18 1000(1001 )n−1.
Observando que essa série tem a1= 18/1000 e r = 1/100, obtemos
S=118/1000− 1/100= 18/100099/100 = 100018 ⋅10099 = 99018 = 551 .
Finalmente, somando essa fração à parte não periódica do número, concluímos que 0,0181818 . . .= 1,5 +551 = 1510+551 =165110+ 2 =167110.
Agora, tente o Exercício 34.
Exercícios 6.4
1. Para cada item abaixo, escreva os quatro primeiros ter-mos e o termo geral da progressão geométrica cujo pri-meiro termo e cuja razão são dados.
a) a1= 3, r = 4 b) a1= 2, r = −3
c) a1= −1, r = 1/2 d) a1= 3, r =√2
2. Indique quais sequências abaixo são progressões geo-métricas. Para as que forem progressões geométricas, encontre a razão. a) 3, 9, 27, 81, . . . b) 3, 6, 12, 24, 48, . . . c) a, a2, a3, a4, . . . d) a2, a4, a8, a16, . . . e) −2a, 2a3, − 2a5,2a7, . . . f) 1 3, 16, 19, 121, . . .
3. Em cada item abaixo, são dados os primeiros termos de uma progressão geométrica. Escreva o termo geral e determine o termo indicado.
a) 3 2, 152, . . . a7? b) −4, −12, . . . a5? c) 2, − 2, . . . a100? d) 10, 5, . . . a10? e) 3 2, − 1, . . . a8? f) √ 6, 3√ 2, . . . a6?
4. Em cada item abaixo são dados dois termos de uma pro-gressão geométrica. Escreva o termo geral e determine o termo indicado. a) a2= 12, a3= 36, . . . a10? b) a2= 1, a4= 25, . . . a7? c) a1= 2, a4= −1 4, . . . a10? d) a3=5 9, a5= 5 81, . . . a8?
5. Insira 5 termos reais entre 5 e 625 de modo a obter uma progressão geométrica crescente.
6. Insira 4 termos reais entre 6 e 1458 de modo a obter uma progressão geométrica.
7. Sabendo que
x, x+ 4, x + 12, . . .
é uma progressão geométrica, determine x e o termo geral da sequência.
8. Seja dada a progressão geométrica
x, 3x, 2x− 14, . . . Determine x e o termo geral da sequência.
9. Sabendo que
x+ 5, x + 1, x − 2, . . .
é uma progressão geométrica, determine x e o termo geral da sequência.
10. Determine o termo geral de uma progressão geométrica decrescente sabendo que a soma de seus dois primeiros termos é 24 e o produto desses dois termos é 128.
11. Na figura abaixo, o maior quadrado tem lado a, o se-gundo tem lado b = a√
2
2 e o terceiro tem lado c = a 2. Determine a medida do lado do décimo quadrado.
12. Encontre os seis primeiros termos e esboce o gráfico das progressões geométricas cujos termos gerais são dados abaixo. a) an= 3 ⋅ 2n−1 b) an= −3 ⋅ 2n−1 c) an= 3 ⋅ (−2)n−1 d) an= 3 ⋅ (1 2)n−1
13. Calcule a soma dos 10 primeiros termos das progressões do Exercício 1
14. Calcule a soma dos primeiros 6 termos das progressões geométricas do Exercício 3.
15. Calcule a soma dos primeiros 10 e dos primeiros 20 ter-mos da sequência 1, 1
2, 14, 18, . . . O que você acha que acontecerá se somarmos um número cada vez maior de termos dessa progressão?
16. Determine o valor de n tal que a soma dos termos da progressão geométrica
5, 15, 45, . . . seja igual a 16400.
17. Sabendo que a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão 2 é igual a 7161, deter-mine o termo inicial.
18. Neste ano, uma empresa espera registrar um lucro de R$ 1,6 milhões. A empresa também espera que, a cada ano, o lucro aumente 10% com relação ao ano anterior.
a) Encontre o termo geral da progressão que repre-senta o lucro a cada ano, começando pelo ano atual. b) Sem contar o número de casos ano a ano, determine o lucro acumulado em 10 anos, começando pelo ano atual.
c) Sem contar o número de casos ano a ano, determine em que ano o lucro anual superará R$ 6 milhões.
19. Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210 mm × 297 mm. Considere que uma folha A4 com 0,1 mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre perpendicular à sua maior dimen-são.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a espessura do papel do-brado em função do número, k, de dobras feitas. b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensões do paralelepípedo?
20. Um capital de R$ 5.000,00 é investido em uma aplica-ção financeira que rende 8,1% ao ano. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, de-termine o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital aplicado seja maior que o dobro do capital inicial.
21. Peri pegou um empréstimo de R$ 1.200,00 há um ano, e ainda não teve condições de saldá-lo sequer parcial-mente. Responda às questões abaixo, sabendo que o banco de Peri cobra 3,9% de juros mensais.
a) Escreva o termo geral da progressão que fornece a dívida de Peri desde o momento do empréstimo. b) Sem calcular os valores mês a mês, determine a
dí-vida atual de Peri.
c) Sem enumerar os valores mês a mês, determine em que mês (contado desde o início do empréstimo) a dívida superará R$ 4.000,00, caso Peri continue sem condições de saldá-la.
22. Uma indústria usa uma máquina nova por 1024 dias. Após esse período, a máquina é reformada e reutili-zada. Entretanto, após cada reforma, a máquina só é usada por metade do tempo de uso anterior. Ou seja, antes da primeira reforma, ele é usada por 1024 dias. Antes da segunda reforma, ela é usada por 512 dias. Antes da terceira reforma seu tempo de uso cai para 256 dias, e assim por diante.
a) Escreva o termo geral, an, da progressão que for-nece o tempo de uso da máquina antes de cada reforma.
b) A máquina é descartada sempre que o tempo de uso após uma reforma é menor ou igual a 32 dias. Usando a resposta do item (a), determine quantas reformas ela sofrerá até deixar de ser usada.
23. A progressista cidade de Chopotó da Serra conta hoje com 15000 habitantes. Previsões estatísticas indicam
Seção 6.4. Progressões geométricas 577
que a população da cidade crescerá a uma taxa de 3% ao ano nos próximos anos.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão que fornece o número de habitantes da cidade em relação a n, o número de anos decorridos a partir de hoje.
b) Sem calcular a população ano a ano, determine a população daqui a 10 anos.
c) Sem calcular a população ano a ano, determine em quantos anos a população da cidade será 50% maior que a atual.
24. Uma empresa pretende contratar técnicos, pagando um salário inicial de R$ 5.000,00 por mês. Dentre os be-nefícios oferecidos pela empresa, há uma promessa de aumento real de 2% ao ano. Com base nesses dados, e descontando a inflação,
a) Escreva a fórmula de an, o termo geral da progres-são que fornece o salário mensal do técnico após n anos.
b) Determine com quantos anos de serviço o técnico passará a receber cerca de o dobro de seu salário inicial.
25. Recém contratado, João recebe um salário mensal de R$ 3000,00. Na empresa de João, todo empregado ga-nha um aumento de 5% a cada 5 anos de trabalho. Se João permanecer no mesmo posto nessa empresa, qual deverá ser seu salário daqui a 30 anos, desprezando a inflação?
26. Uma bola pula-pula foi largada de uma altura de 1,75 m. Depois de bater no chão, a bola voltou a subir, atingindo 1,4 m. Esse processo se repetiu várias vezes e, em todas elas, a bola subiu apenas 80% da altura alcançada após a “quicada” anterior.
a) Escreva a fórmula de ak, o termo geral da progres-são que representa a altura alcançada pela bola de-pois de bater k vezes no chão.
b) Determine a altura alcançada pela bola após 20 batidas no chão, sem calcular a altura após cada “quicada”.
27. A cidade de Quiproquó vive uma epidemia de dengue, tendo sido registrados 1.000 casos da doença na pre-sente semana. Em decorrência das medidas de com-bate à doença, o prefeito da cidade espera que, a cada semana, o número de novos infectados seja reduzido a 2/3 do número de casos novos registrados na semana anterior.
a) Escreva o termo geral da progressão que fornece o número aproximado de novas infecções por semana, a partir da semana atual.
b) Determine em que semana, contada a partir da atual, o número de casos novos da doença será re-duzido a menos de 10.
c) Determine o número total (aproximado) de infec-tados entre a semana atual e a primeira na qual
teremos menos de 10 casos novos da doença, deter-minada no item (b).
28. Uma reserva florestal possui 100 micos. Em virtude das políticas de conservação do local, estima-se que, a cada ano, essa população irá crescer 5%.
a) Escreva o termo geral da progressão que fornece o tamanho da população de micos no ano i, supondo que, no ano corrente, tenhamos i=1.
b) Determine a população de micos daqui a 10 anos. c) Determine em que ano a população de micos
atin-girá 1000 animais.
29. Em seu primeiro ano de funcionamento, uma empresa aérea transportou 200 mil passageiros. Desde então, a cada ano, o número de passageiros transportados tem sido 12% maior que a quantidade do ano anterior.
a) Escreva o termo geral da progressão que fornece o número de passageiros transportados pela empresa no ano i, supondo que i= 1 no primeiro ano. b) Sem calcular o número de passageiros
transporta-dos ano a ano, determine quantos passageiros via-jarão pela empresa em seu vigésimo ano de funcio-namento.
c) Determine quantos passageiros a empresa transpor-tará nos seus primeiros 20 anos de funcionamento.
30. A prefeitura de uma cidade quer reduzir, a cada ano, 8% das mortes violentas no município, em relação ao número observado no ano anterior.
a) Sabendo que o município registrou 1200 mortes vio-lentas nesse ano, calcule o número previsto de mor-tes violentas nos próximos 2 anos.
b) Escreva o termo geral da progressão que fornece o número de mortes violentas no ano n, começando pelo ano corrente.
c) Sem calcular os valores ano a ano, determine a par-tir de que ano a prefeitura espera que haja menos de 400 mortes violentas no município.
31. O valor presente, Vp, de uma parcela de um financi-amento, a ser paga daqui a n meses é dado pela fór-mula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.
Vp= p
[1 + r 100]n
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Su-pondo, novamente, que a taxa mensal de juros seja
igual a 1%, determine o valor presente da merca-doria, Vp, e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cli-ente, comprar à vista.
32. Calcule as séries geométricas abaixo, caso sejam con-vergentes. a) ∑∞n=132(1 4)n−1 b) ∑∞n=19(−1 2)n−1 c) ∑∞n=13(−6 5)n−1 d) ∑∞n=17(−3 4)n−1 e) ∑∞n=1−2 (7 10)n−1 f) ∑∞n=15(√2 2)n−1
33. Calcule as séries geométricas abaixo. a) 1+8 9+64 81+512 729+ . . . b) 3+ 2 +4 3+8 9+ . . . c) 2+√2+ 1 +√1 2+ . . .
34. Converta em fração as dízimas periódicas abaixo.
a) 0,022222222222 . . . b) 0,351351351351 . . .
c) 0,022727272727 . . . d) 2,166666666666 . . .
Respostas dos Exercícios 6.4
1. a) 3, 12, 48, 192 b) 2, ?6, 18, ?54 c) −1, −1/2, −1/4, −1/8 d) 3, 3√ 2, 6, 6√ 2 2. a) É uma p.g. de razão 3 b) É uma p.g. de razão 2 c) É uma p.g. de razão a d) Não é uma p.g
e) É uma p.g. de razão−a2
f) Não é uma p.g 3. a) an=3 2⋅ 5n−1, a7=46875 2 b) an= −4 ⋅ 3n−1, a5= −324 c) an= 2 ⋅ (−1)n−1, a100= −2 d) an= 10 ⋅ (1 2)n−1, a10= 10 1024= 5 512 e) an=3 2(−2 3)n−1, a8= −64 729 f) an=√6(√3)n−1 , a6= 27√2 4. a) an= 4 ⋅ 3n−1, a10= 78732 b) an= (1 5) 5n−1, a7= 3125 c) an= 2 (−1 2)n−1 , a10= − 1 256 d) an= 5 (1 3)n−1 , a8= 5 2187 5. 5,5√ 5,25,25√ 5,125,125√ 5,625 6. 6, 18, 54, 162, 486, 1458 7. x= 4, an= 4 ⋅ 2n−1 8. x= −2, an= −2 ⋅ 3n−1 9. x= 11, an= 16 (3 4)n−1 10. an= 16 (1 2)n−1 11. √ 2/16 12. a) b) c) d) 13. a) S10= 1048575 b) S10= −29524 c) S10=1023 512 d) S10= 93 + 93√2 14. a) S6= 5859 b) S6= −1456 c) S6= 0 d) S6=315 16 = 19,6875 e) S6=133 162= 0,820988 f) S6≈ 86,9977 15. S10= 1,9980469, S10 = 1,9999981. Se so-marmos mais termos, obteremos um valor cada vez mais próximo de 2.
16. n= 8 17. a1= 7 18. a) an= 1,6 ⋅ 1,1n−1 b) Cerca de R$ 25,5 milhões c) Daqui a 15 anos 19. a) an= 0,1 ⋅ 2n b) 37,125 mm, 26,25 mm e 6,4 mm 20. 9 anos 21. a) an= 1200 ⋅ 1,039n−1 b) R$ 1.889,19 c) No 32omês 22. a) an= 1024 (1 2)n b) 5 reformas 23. a) an= 15000 ⋅ 1,03n b) a10= 20159 habitantes c) Em pouco mais de 13 anos
24. a) an= 5000 ⋅ 1,02n−1 b) Em 36 anos 25. R$ 4020,29 26. a) ak= 1,4 ⋅ 0,8k−1 b) 2 cm 27. a) ai= 1000 (2 3)i−1 b) 13asemana c) 2988 pessoas 28. a) ai= 100 ⋅ 1,05i−1 b) 155 micos c) Em 48 anos 29. a) 200000⋅ 1,12i−1 b) 1.722.500 passageiros c) 14.410.488 passageiros 30. a) a2= 1104 mortes, a3= 1016 mortes b) an= 1200 ⋅ 0,92n−1 c) No 14oano 31. a) R$ 398,02
b) O desconto não deve ser inferior a 1,5% 32. a) 2 b) 6 c) Diverge d) 4 e) −20 3 f) Diverge 33. a) 9 b) 9 c) 4+2√2 34. a) 1 45 b) 13 37 c) 1 44 d) 13 6
Seção 6.5. Aplicações financeiras 579
6.5 Aplicações financeiras
Quando investimos em uma aplicação financeira ou deixamos de pagar em dia uma conta, por exemplo, estamos sujeitos a uma taxa de juros. O que difere as aplicações
Há que se mencionar, também, que as taxas de juros que pagamos por nossas dívidas são muito maiores que as taxas de retorno que recebemos quando aplicamos dinheiro.
das dívidas é o fato de o nosso patrimônio aumentar no primeiro caso e diminuir no segundo. O cálculo de dívidas e rendimentos financeiros sujeitos a juros é uma das aplicações mais interessantes das progressões geométricas.
Para introduzir o assunto, vamos supor que tenhamos esquecido de pagar uma conta de R$ 200,00, e que a taxa de juros mensal seja de 4%. Nesse caso, após um mês, nossa dívida aumenta em 0,04⋅ 200 = 8 reais, de modo que passamos a dever R$ 208,00.
E o que acontece se deixamos de pagar a conta por mais um mês, será que ela sobe os mesmos R$ 8,00? Definitivamente, não. Nesse caso, os juros não incidem apenas sobre o valor original da dívida (R$ 200,00), e sim sobre o valor corrigido, ou seja, sobre R$ 208,00.
Essa incidência de juros sobre juros dá origem ao que chamamos de juros
compos-tos, que é a forma predominante de aplicação de juros no Brasil. Nessa seção, veremos várias situações práticas em que estamos sujeitos a juros compostos. Nosso objetivo será aplicar os conhecimentos sobre progressões geométricas adquiridos na Seção 6.4 à resolução de problemas financeiros, adaptando as fórmulas já vistas quando neces-sário.
Nos exemplos apresentados abaixo, vamos considerar que as dívidas e o rendimento das aplicações financeiras são atualizados mensalmente. Isso não quer dizer que os mesmos conceitos não possam ser aplicados a situações práticas nas quais a variação do crédito ou débito ocorra diariamente, por exemplo. Optamos pela correção mensal apenas porque ela é comumente encontrada nas propagandas e nas notícias de jornais e revistas.
Apesar de a taxa de juros ser geralmente fornecida em porcentagem, é mais fácil trabalhar com seu valor na forma decimal. Sendo assim, é bom lembrar que uma taxa de p porcento pode ser representada por
p% ou p
100 ou 0,01 p.
Se quisermos, por exemplo, representar uma taxa de 6% na forma decimal, escre-vemos
6
100= 0,01 ⋅ 6 = 0,06.
∎ Valor futuro
Quando depositamos dinheiro em um aplicação financeira – uma caderneta de pou-pança, por exemplo – e mantemos o dinheiro aplicado por vários meses, sem resgates ou novas aplicações, o valor total disponível ao final do período pode ser calculado usando juros compostos. O mesmo acontece quando deixamos de pagar uma conta dentro do prazo de vencimento, ou quando tomamos um empréstimo bancário (mesmo que seja através do sistema de cheque especial). Usemos, então, um pequeno exemplo para destacar a ideia por trás dos juros compostos.