6. Caso de estudo
6.2. Dados admitidos no software
Dans ce modèle, les ondes de la coda d’un tremblement de terre local sont représentées comme une succession d’ondes provenant de la diffraction des ondes primaires par de nombreuses hétérogénéités réparties de façon aléatoire uniforme dans la lithosphère.
Chaque onde est due à un seul difTracteur en l’absence de tous les autres et l’effet de chaque hétérogénéité est faible. La diffraction unique est donc un processus pour lequel un seul diffracteur est nécessaire. Les lois de propagation en milieu homogène restent donc valables, mais on suppose l’existence d’anomalies discrètes de densité, de vitesse, ou bien des fissures ou des failles, qui génèrent la diffraction.
Contrairement au modèle diffusif où le processus de diffraction est intense (paragraphe 2.4.5), le modèle de diffraction unique considère le champs d’onde diffracté comme étant faible car on néglige la perte d’énergie des ondes primaires durant le processus de diffraction ainsi que les diffractions multiples (double, triple, etc..) en appliquant l’approximation de Born (1965) [21]. La loi de conservation d’énergie n’est donc pas vérifiée.
Le milieu est considéré comme isotrope homogène (homogène globalement, au sens où il est constitué d’hétérogénéités réparties de façon uniforme dans le milieu) et infini. La radiation est sphérique. La diffraction est isotrope
La diffraction unique au sens large du terme regroupe le modèle de rétrodiffraction unique d’Aki et Chouet (1975) [8], le modèle de diffraction unique de Sato (1977) [120] dans le domaine temporel et le modèle de diffraction unique dans le domaine fréquentiel (Phillips et Aki, 1986 [106]).
2.4.3.1 Formulation détaillée du modèle de rétrodiffraction unique d’Aki et Chouet (1975) [8]
Ce modèle est une évolution du modèle théorique simplifié, proposé par Aki (1969) [2] qui s’inspire directement des propriétés remarquables des ondes de la coda.
Suivant Aki et Chouet (1975) [8], la station et la source sismique peuvent être confondues lorsque les distances source-diffracteur et diffracteur-station sont nettement supérieures à la distance hypocentrale, ce qui est le cas pour les ondes de la coda suffisamment tardives (enregistrées longtemps après l’arrivée des ondes S). L’analyse doit donc se faire pour le signal arrivant après le double du temps de parcours de l’onde S directe, appelé coda tardive.
Soit (t>{uj, r) la transformée de Fourier du déplacement dû à l’arrivée d’une onde qui se diffracté sur une seule hétérogénéité localisée à une distance r. (j){w,r) dépend de la source du tremblement de terre et du diffracteur. Si on suppose une répartition aléatoire uniforme des hétérogénéités dans l’espace et si N(r) est le nombre de diffracteurs compris dans la zone de rayon r de la station, ce nombre devient {dN/dr)Ar dans la zone comprise entre r et r+Ar. Les ondes diffractées dans cette zone sont enregistrées en une station donnée pendant l’intervalle de temps (t, t+At) où t = ^ et At = r représente à la fois la distance source-diffracteur et diffracteur-station. La figure 2.5 nous donne une
'‘L’hypothèse de l’isotropie de la diffraction est une approximation qui est faite pour éviter un excès de compléxité du calcul. La diffraction isotropique signifie que la diffraction de l’énergie par une hétérogénéité donnée est égale dans toutes les directions, indépendamment de la direction de propa gation de l’onde primaire (la diffraction possède la symétrie sphérique ).
illustration de cette configuration.
Figure 2.5. Configuration source-station-difFracteur dans le cas où la source et la station sont confondues.
L’énergie totale de toutes les ondes difFractées qui arrivent pendant un temps {t, t -f At)
à partir de la distance (f, r + Ar), est égale à At fois le spectre de puissance P{ui, t) des ondes de diffraction. Elle représente en fait la puissance du signal filtré à une fréquence
^ au temps t. Nous avons ainsi :
P{u, t)At = I r) I <^(^> P (2-2)
r<rn<r+Ar
OÙ r„ représente la distance du diffracteur à la station.
2.4.3.1.1 Cas des ondes de volumes
Si Uy est la densité volumique d’hétérogénéités (nombre de diffracteur par unité de volume), le nombre de diffracteurs compris dans la coque sphérique (r, r + Ar) est (^)Ar = 4n„7rr^Ar.
A partir de l’équation (2.2), on peut écrire :
P{uJ, t)At =1 4>{u, r) P 4n„7rr^Ar
Il faut également tenir compte de la divergence géométrique :
(2.4) I 1=1 I (—f
r
où Vo est une distance de référence.
De plus, l’anélasticité du milieu terrestre transforme une partie de l’énergie sismique en chaleur, conformément aux formules (1.7) et (1.11) du chapitre précédent. Si Q représente le facteur de qualité, la perte fractionnée de l’énergie par un cycle est de ^ et l’atténuation en puissance pendant l’intervalle de temps t est exp{=^), d’où :
I (j){uj,r) 1=1 (l){uj,ro) I (2.5) r 2Qc
En combinant (2.5) et (2.3) et si r = y, où v est la vitesse de l’onde sismique et Ar = l’expression pour le spectre de puissance des ondes de la coda considérées en tant qu’ondes de volume diffractées sera :
P{cü,t) =1 (f){ui,ro) P SrlTTUyV 4 ^exp{-^) (2.6)
Vc
Qc est le facteur de qualité des ondes de la coda.
2.4.3.1.2 Cas des ondes de surface
Si Hs est la densité “surfacique” d’hétérogénéité (ou nombre de diffracteur par unité de surface), le nombre de diffracteur compris dans l’anneau {r,r + Ar) est 27msrAr.
L’expression pour le spectre de puissance des ondes de la coda considérées en tant qu’ondes de surface diffractées sera ;
P{üJ,t) =1 0(w,ro) P 2rlTmst ^exp{^^)
Vc (2.7)
2.4.3.1.3 Cas général
Les formules (2.7) et (2.6) peuvent s’écrire sous la forme générale suivante :
P{uj, t) = S{u)r^exp{—^) (2.8)
OÙ l’indice m dépend du mode d’expansion géométrique et où S{(jü) est le facteur relatif aux sources, car il contient à la fois les effets de la source sismique et ceux des sources de diffraction.
Pour exprimer le lien qui existe entre l’amplitude de l’enveloppe des ondes de la coda ^(a;, t) et P{u>, t), on utilise la propriété suivante : la transformée de Fourier d’un spectre de puissance est la fonction d’autocorrélation. On peut donc écrire :
1 r+°°
I l=< G{t)G{t + t) >= — / P{u),t)exp{iur) du)
27T J — oo (2.9) Pour un retard r nul, si nous calculons la moyenne quadratique sur un petit échantillon de temps centré sur t :
1 /-+00
<G^{t)>=— P{u,t)düj (2.10)
ZTT J—oo
Dans le cas d’un signal filtré par bande passante :
P{u,t) = P = constante pour : Uo <\u) \< u)\
et P{u},t) = 0 pour toutes les autres fréquences, nous avons :
< G'^{t) >= 2PAf (2.11) où A/ = : largeur de la bande du filtre centrée sur u).
L’expression de la décroissance temporelle de l’enveloppe des ondes de la coda A{u), t)
représente la racine carré de la moyenne quadratique du signal G{t) (désigné par l’amplitude RMS) filtré avec une bande passante ayant une largeur égale à A/. On aura :
A{u,t) = {2P{u),t)Af)^ (2.12)
En combinant les équations (2.8) et (2.12), nous obtenons :
A{u, t) = C{u)r^exp{^^) (2.13)
qui est fonction du temps mesuré à partir de l’heure origine du tremblement de terre, avec : C{uj) = {2S{cj)Af)2 et a = y, il prend la valeur de | dans le cas de la diffraction des ondes de surfaces et la valeur 1 dans le cas de la diffraction des ondes de volume.
C{iü) représente le facteur relatif à la source sismique et aux sources de diffraction. Il
dépend seulement de la fréquence et tient compte du site de la station.
En réarrangeant les termes de la forme logarithmique de l’équation (2.13), on obtient :
logio[A{u), t)P] = G — bt (2-14)
avec G = logio[C{uj)] et b est relié au facteur de qualité par la relation : b — {logioe)^^^
Puisque le terme G{u>) dépend seulement de la fréquence et comme nous avons utilisé des sismogrammes filtrés en bandes passantes étroites, C{uj) est remplacé par C.
A partir de la pente b de la relation linéaire précédente entre logio[A{u), et du temps
Qc(^)-Comme mentionné plus haut, la théorie des ondes de la coda d’Aki et Chouet (1975) [8] suppose que la source et la station sont confondues. C’est une approximation fiable pour les ondes de la coda qui arrivent longtemps (tardivement) après les ondes primaires P et S. De ce fait, Rautian et Khalturin (1978) [111] énoncent que l’equation (2.13) d’Aki et Chouet (1975) [8] est valable seulement pour les temps écoulés qui sont supérieurs au double du temps du parcours de l’onde S directe. Cependant, l’analyse au niveau de cette portion des ondes de la coda est souvent difficile à cause de deux facteurs :
1. Rapport signal/bruit trop faible : par exemple, dans les environnements de bruit sismique, les amplitudes des ondes de la coda des petits événements, situés après le double du temps du parcours de l’onde S directe sont souvent en-dessous du niveau du bruit de fond;
2. Courte durée de l’enregistrement : dans d’autres circonstances, les enreg istrements digitaux des tremblements de terre locaux peuvent être tronqués suite à des restrictions d’emmagasinage de données.
Dans les deux cas, on est limité à mesurer les ondes de la coda au voisinage de l’arrivée de l’onde S directe. Or, dans l’analyse des ondes de la coda pour des temps écoulés de courte durée, nous devons considérer la séparation de la source et la station. Une telle séparation est incluse dans le modèle de diffraction unique développé par Sato (1977)
|120],
2.4.3.2 Modèle de diffraction unique de Sato (1977) [120]
Ce modèle est une évolution du modèle de rétrodiffraction unique d’Aki et Chouet (1975) [8] évoqué précédemment et tient compte de la distance source-station. Il nous permet donc d’étudier le début des ondes de la coda (analyse des ondes de la coda immédiatement après l’arrivée de l’onde S directe) lorsque l’on est limité à la mesure de ces ondes au voisinage de l’arrivée de l’onde S directe.
De plus, les résultats en termes de facteur de qualité Qc différent généralement très peu de ceux du modèle de rétrodiffraction unique (Martin, 1988 [87]; Ibânez, 1990 [66]). Ce modèle explique plusieurs caractéristiques des ondes de la coda citées dans la liste du paragraphe 2.3.1.
Dans cette étude, on s’est servi du modèle de Sato (1977a) [120] comme cadre théorique. Ce modèle est présenté comme suit :
Suivant Sato (1977) [120], la densité d’énergie moyenne des ondes diffractées par les hétérogénéités, pour un sismogramme filtré en bande passante centrée sur une fréquence angulaire uj, est donnée par :
-^sc(^) ^) nyaQ{uj)47rr2 K{ip)exp{ ut
où Tiy est le nombre de diffracteur par unité de volume, a est la section efficace (ou section de choc totale), r est la distance source-station, (p = (^), tg est le temps de parcours de l’onde S directe et t est le temps écoulé à partir de l’heure origine du tremblement de terre. f2(o;) est l’énergie totale rayonnée par la source à l’intérieur d’une bande de fréquence angulaire unitaire. Le facteur K{p>) est donné par ;
Ce modèle de diffraction simple est approprié pour notre étude à cause de la courte durée des temps écoulés de nos données. Il permet de calculer le paramètre Qc par deux techniques différentes :
2.4.3.2.1 La première technique
Afin d’établir un lien entre l’énergie des ondes diffractées (équation 2.15) et les amplitudes observées des ondes de la coda (équation 2.12), nous utilisons la relation suivante d’Aki et Chouet (1975) [8] pour des sismogrammes filtrés en bande passante :
Esc{u},t) = pu'^P{u \ t) (2.16)
où P est la densité du milieu.
Combinant les équations (2.12) et (2.16) dans l’équation 2.15 on aura :
A{üj, t)
uj 2tt pl r
ut
2Q,{u) (2.17)
où l représente le libre parcours moyen qui caractérise la distribution des diffracteurs. Il est exprimé par :
n„cr
Une forme simplifiée de l’équation (2.17) qui sépare les termes de la source de ceux du parcours est ;
A{u, t) = C{u)^!^exp{--^) (2.18)
On réarrangeant les termes de la forme logarithmique de l’équation (2.18), on obtient :
logio[A{u, t)rK{p)-^ = logio{C{u)) - {logioe)[^]t (2.19)
A partir de l’équation (2.19), la pente {logioe){^) peut être obtenue par un ajustement des moindres carrés entre logio[A{u, t)rK{g:>)~^ et t. De cette manière, cette formulation
nous permet de déduire le paramètre Qc- L’expression (2.19) a été entre autres utilisée par Roecker et al. (1982) [117] et Pulli, 1984 [109].
2.4.3.2.2 La deuxième technique
Supposons que l’énergie Eg de l’onde primaire S est rayonnée sphériquement à partir d’un point source pour une durée courte u, la densité d’énergie moyenne des ondes S à la distance r est :
„ , , Q(u) , utg.
où V est la vitesse de l’onde S directe. Pour un sismogramme filtré en bande passante
centrée sur une fréquence angulaire u, le rapport d’énergie ^ peut être approché par le carré du rapport d’amplitude (^)^. Esc est donné par l’équation 2.15. Ag est l’amplitude maximale de l’onde S et Ac est l’amplitude moyenne des ondes de la coda sur une fenêtre temporelle centrée sur le temps écoulé t mesuré à partir de l’heure origine. Par l’équation (2.20) et (2.15), nous avons :
1
navu[K(^)\ ')exp{^{t - t,)) (2.21)
En réarrangeant les termes de la forme logarithmique de l’équation (2.21), nous obtenons :
avec : ^ogio[{^ŸK{(p)] = b{t -tg)-C (2.22) b = {logioe) 27T/ Qc{u) et C = constante = logio{navu)
Le terme gauche de l’équation (2.22) est obtenu à partir des mesures des amplitudes Ag
et Ac sur le sismogramme et la valeur de K{(p) est obtenue à partir de t et tg. L’équation (2.22) montre que la quantité logioK^)"^K{(p)] 6st proportionnelle à (t — tg) et Qc peut être obtenu à partir de la pente b (équation (2.22)).
2.4.3.3 Le modèle de diffraction unique dans le domaine fréquentiel
Le spectre de puissance P{u,t) de l’amplitude de l’onde de la coda est exprimé comme suit (Aki et Chouet, 1975 [8]) :
(2.23)
Le facteur est l’équivalent de l’expansion géométrique K{ip) de Sato (1977) [120] décrit dans les équations précédentes. Ainsi cette équation peut s’écrire :
P(u>, t) = C{üi)K(,p)exp(-^) (2.24)
Sa forme logarithmique donne :
= C -bt (2.25)
avec :
b = (/o^ioe)^
Suivant Phillips et Aki (1986) [106], le spectre de puissance P{uj,t) dans l’équation (2.25) est évalué par transformée de Fourrier rapide à l’aide de fenêtres glissantes qui se chavauchent. Le paramètre Qc est obtenu à partir de la pente b de l’équation (2.25).
En général, le calcul du facteur de qualité par la méthode de la diffraction unique
passe par la détermination de la pente de la fonction qui est représentée par la forme la plus générale F{t,uj) = C — bt. Cette pente est déterminée au moyen de l’ajustement linéaire au sens du moindre carré, où les données sont représentées par le terme F{t, u)
et la loi théorique par le terme de droite {C — bt).
Pour que l’on puisse estimer le facteur de qualité à partir des ondes de la coda, il faut donc choisir :
1. Une façon de calculer le terme du spectre de puissance du signal sismique (équation
2.1);
2. Un modèle théorique pour le terme de droite de l’équation (2.1); 3. Une technique de calcul de Qc,
4. Une fenêtre temporelle pour analyser les ondes de la coda qui doit se situer nécessai rement entre la phase S et la fin de l’enregistrement.
Ces quatre points constituent l’élaboration de la méthode d’estimation de Qc- Les possi bilités sont diverses pour chacun de ces points et les choix doivent être faits dans un but d’exactitude des résultats, de rapidité et de simplicité d’exécution afin de pouvoir traiter un nombre assez important de sismogrammes.