A escrita dos números
679 2001 DCLXXIX MMI
500 + 1 0 0 + 50 + 1 0 + 1 0 + 1 0 - 1 1000 + 1000 + 1 Atividades
~Crie símbolos para representar os números. Trabalhe com agrupamentos de 2, 5, 6, 10 ou 20, como quiser. Veja até que número você consegue chegar. ~ Escreva o ano em que você nasceu em algarismos romanos.
as Escreva a sua idade em algarismos romanos.
~ Escreva em algarismos romanos os seguintes números: 545 670 1857 2000 31000 ~ Escreva em algarismos indo-arábicos os seguintes números:
IIIV XLI LVII LX XC
CX CCC DC DCL
O sistema de numeração decimal e os algarismos indo-arábícos.
Dos diferentes sistemas de numeração criados ao longo dos séculos -egípcio, romano, maia, etc. - aquele que ganhou mais força foi o sistema decimal, representado pelos algarismos indo-arábicos. Ele é hoje utilizado praticamente em todo o mundo, nos mais diferentes contextos. Isto não quer dizer que outros
sistemas de numeração, que trabalham com agrupamentos de 2, 5, 6 ou 20 sejam inferiores. Significa apenas que o sistema decimal e os algarismos indo-arábicos formam, hoje, uma linguagem matemática universal, que permite a comunicação dos diferentes povos. Por esta razão é importante estudar o sistema numérico decimal.
Este sistema, como o termo indica (em latim, dez é "decem"), agrupa números de 10 em 10. Cada um destes agrupamentos tem nome: unidade, dezena, centena, milhar, milhão, bilhão, trilhão e assim por diante.
O zero é um elemento importante deste sistema. O símbolo 0, que significa uma posição vazia, apareceu pela primeira vez no século IX , inscrito num objeto achado na índia. Era semelhante a um ovo de pato:
Outra idéia matemática que contribuiu para o desenvolvimento do sistema de numeração decimal foi a noção de valor posicionai dos símbolos. Mesmo antes dos hindus inventarem os algarismos
indo-arábicos, um desconhecido escritor egípcio já havia afirmado que "De lugar em lugar, cada um vale 10 vezes o precedente".9 Em outras palavras, isto é o mesmo que dizer que a dezena vale 10 vezes a unidade, a centena 10 vezes a dezena, o milhar 10 vezes a centena e assim por diante.
9 O precedente é aquele que vem antes: a unidade vem antes da dezena; portanto, a dezena vale dez vezes a unidade. E assim por diante.
Reparem, nos números abaixo, como o valor do 5 depende da posição ocupada:
5 555 5 555 5 555 5 555
5 50 500 5 000
unidades unidades unidades unidades
A invenção do sistema de numeração decimal baseou-se, portanto, na ligação destas 3 idéias:
~ invenção do 0;
~ agrupamentos de 10 (a base decimal);
~ valor posicionai do símbolo.
O ábaco
O ábaco é como uma máquina de fazer contas, ou seja, uma máquina de calcular. Mas esta máquina não está programada para fazer cálculos como as calculadoras que encontramos por aí. Nós é que o programamos, mudando as miçangas ou pedrinhas de lugar, de acordo com os agrupamentos desejados. Por esta razão, o ábaco permite trabalhar com diferentes bases, isto é, com sistemas numéricos que operam com agrupamentos de 2, 5, 10 ou 20 (os mais conhecidos).
Ao longo da história, muitos tipos de ábacos foram inventados. Alguns povos da antigüidade faziam a contagem colocando pedrinhas em
buracos cavados no chão. Aqueles que agrupavam de 10 em 10
substituíam grupos de 10 pedrinhas por uma única pedra, depositada em um buraco ao lado. As 10 pedras no buraco ao lado eram substituídas, por sua vez, por outra pedra, colocada num terceiro buraco, dando origem ao número 100. E assim por diante.
Os ábacos utilizados em escolas, bem como em lojas comerciais orientais (japonesas, chinesas e coreanas, entre outras) geralmente são caixas de madeira com miçangas enfiadas em hastes, fixas na moldura. No sistema decimal, cada haste corresponde a agrupamentos de 10: unidade, dezena, centena, milhar, etc.
Vejam, na foto abaixo, 3 tipos de ábaco. O primeiro, dourado e mais à frente, é um ábaco chinês. O segundo, de madeira escura, é japonês. O terceiro, de armação branca de plástico, é um ábaco romano.
Na matemática Guarani-Kaiová, por exemplo, os agrupamentos são de 6 em 6. A regra para o uso do ábaco seria, portanto, "nunca 6", ou seja, cada agrupamento de 6 teria de ser trocado por uma miçanga (ou pedra) da haste seguinte.
Já as calculadoras estão programadas para operar com o próprio sistema decimal. Isto significa que toda a linguagem matemática usada pela calculadora e os cálculos que ela faz quando acionamos as teclas são elaborados a partir de agrupamentos de unidades, dezenas, centenas, milhares e assim por diante.
Quando fazemos a conta 15 + 38, a calculadora, automaticamente, não permite que a "casa" ou lugar das unidades tenha mais que 9
unidades. Quando chega ao número 10, estas 10 unidades são trocadas por uma só, que passa a ocupar o primeiro lugar à sua esquerda, ou seja, a casa das dezenas. No caso da operação 15 + 38, a adição das unidades 5 e 8 dá 13. A calculadora automaticamente transforma 10 unidades em uma dezena e "manda" esta dezena para a casa da esquerda (a gente diz, neste caso, "vai 1"). As 3 unidades restantes ficam no seu lugar:
O mesmo acontece com a casa das dezenas: quando ultrapassa 9 dezenas, ou seja, quando atinge 10 dezenas, a calculadora manda uma dezena para a casa vizinha, a das centenas. São sempre agrupamentos de 10: 10 unidades correspondem a uma dezena, 10
dezenas a uma centena, 10 centenas a uma unidade de milhar, e assim por diante.
O mesmo acontece com as operações de subtração, multiplicação e divisão. Na subtração, acontece a operação inversa: quando não se pode subtrair uma unidade de outra, porque a primeira é menor do que a
segunda, empresta-se uma dezena da casa seguinte:
Com o empréstimo da dezena já é possível fazer a subtração,
porque 14 é maior do que 5. Por sua vez, o 8 que emprestou 1 dezena para o quatro vira 7.
A calculadora está programada para fazer estas operações decimais, em agrupamentos de 10. O ábaco não está. Nós o programamos.
Existem muitas maneiras de construir um ábaco, fazendo uso de materiais os mais variados. Pode-se usar pedras ou sementes de diversos tamanhos e cores, representando os agrupamentos trabalhados. Palitos de sorvete e outros objetos podem ser pintados de azul, verde, vermelho, amarelo, roxo, preto, onde cada cor representa, no sistema decimal, unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, e assim por diante.
Atividades
~ Construa um ábaco. Use a imaginação e utilize os materiais disponíveis na região.
~ Usando a regra do sistema decimal, represente no ábaco que você criou diferentes números: o ano atual, o número de alunos da escola, a população da casa, aldeia, área e/ou cidade onde mora, etc.
~ Pratique o jogo do professor Naru Canoé. Você mesmo pode construir dados de papel ou de madeira, com número de lados variados (o mais comum tem 6 lados, numerados de 1 a 6).
~Trabalhe com outros agrupamentos no ábaco, usando as regras de "nunca 5" (para agrupamentos de 5) ou "nunca 20" (para agrupamentos de 20).
JOGO
O professor Naru Canoé, em Rondônia, inventou um jogo de dados para ajudar a compreender o sistema decimal. Cada jogador desenha numa folha de papel uma fileira de 3 ou 4 círculos. Cada círculo representa o lugar das unidades, dezenas, centenas, etc. O jogador lança o dado uma vez (ou mais vezes, a combinar) e começa colocando a quantidade correspondente de miçangas, sementes ou pedrinhas no lugar das unidades. Quando a quantidade ultrapassa nove, ele substitui por uma pedrinha no segundo círculo, das dezenas. Depois de várias rodadas, ganha o jogador que tiver o maior número registrado no ábaco. Ou, então, ganha aquele que chegar primeiro ao número 100. É possível, ainda, usar um mesmo ábaco, onde todos os jogadores depositam, cada um na sua vez, as miçangas correspondentes ao lançamento do dado.