Nesta se¸c˜ao usamos os resultados obtidos at´e o momento para analisar o decaimento dos autovalores do operadorK. As conclus˜oes estendem aqueles resultados de [8, 24] e
est˜ao registradas nos artigos [25, 26]. Um contexto tratado em [8] ´e aquele em que X ´e um intervalo ilimitado e lim|x|→∞|x|βk(x) = 0, para algum β > 1.
Um dos resultados principais do cap´ıtulo pode agora ser enunciado.
Teorema 4.4.1. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico (q, t)-compacto e K um elemento de A2(X, ν). Suponha que X = ∪mj=1Xj e que Re K perten¸ca a classe Lipα,s(Xj, ν) ou
possui a propriedade da m´edia-Lipα,s(X
j, ν), para cada Xj e para algum α > 0 e s ≥ 0.
Ainda, suponha a existˆencia de constantes β > 0 e C > 0 tais que lim sup r→∞ rβ Z X\B[y,r] K(x, x) dν(x) < C, y∈ X. Defina γ := βtα(β + s + tα)−1. Neste caso,
λn(K) = O(n−1−γ/q), n→ ∞,
e K ∈ Sp quando p > (1 + γ/q)−1.
Demonstra¸c˜ao: A primeira afirma¸c˜ao segue dos teoremas 4.3.3 e 1.1.9. Para finalizar, note que, se C > 0 e λn(K) ≤ Cn−1−γ/q ent˜ao
∞ X n=1 (λn(K))p ≤ Cp ∞ X n=1 n−(1+γ/q)p<∞, contanto que p > (1 + γ/q)−1. Este resultado pode ser refinado atrav´es do seguinte corol´ario.
Corol´ario 4.4.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico (q, t)-compacto e K um elemento de A2(X, ν). Suponha que X = ∪mj=1Xj e que Re K pertence a Lipα,s(Xj, ν) ou possui a
propriedade da m´edia-Lipα,s(X
j, ν), para cada Xj e para algum α > 0 e s≥ 0. Se, para
cada β > 0, existe C = C(β) > 0 tal que lim sup r→∞ rβ Z X\B[y,r] K(x, x) dν(x) < C, y∈ X, ent˜ao λn(K) = o(n−1−θ/q), n → ∞,
para todo θ∈ [0, tα). Ainda, K ∈ Sp quando p > (1 + tα/q)−1.
Demonstra¸c˜ao: A fun¸c˜ao
γ(β) := tα β
´e cont´ınua e sua imagem ´e [0, tα). Sendo assim, o teorema anterior garante que λn(K) = O(n−1−θ/q), n→ ∞,
sempre que θ ∈ [0, tα). Supondo por absurdo que
λn(K) 6= o(n−1−γ0/q), n → ∞,
para algum γ0 ∈ [0, tα), deve existir C > 0 para o qual
lim sup
n→∞ {n
1+γ0/qλ
n(K)} ≥ C.
Mas isto implicaria que a sequˆencia {n1+θ/qλ
n(K)} ´e ilimitada, para θ ∈ (γ0, tα), o que
´e uma contradi¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 4.4.3. Note que o fato de n1/qα
n → 0, isto ´e, αn = o(n−1/q) quando
n → ∞, n˜ao implica que
∞
X
n=1
|αn|q <∞.
Sendo assim, esta convergˆencia pode ocorrer para q > p, e ser falsa para q = p. Como exemplo, considere X = [−1, 1] munido da medida de Lebesgue usual e λn(K) =
((n + 1) log(n + 1))−5/2. Ent˜ao o n´ucleo
K(x, y) =
∞
X
n=1
λn(K) cos(nπx) cos(nπy), x, y ∈ X,
gera um operador integral K pertencente a classe Sp, p > 2/5, mas n˜ao pertencente
a S2/5. Isto ratifica que a condi¸c˜ao λn(K) = o(n−1/q) ou λn(K) = O(n−1/q), quando
n → ∞, ´e mais fraca que a condi¸c˜ao K ∈ Sq. Em particular, isto sugere que o estudo
do decaimento de autovalores pode n˜ao ser uma forma ´otima de se determinar qual classe Sp inclui o operador integral em an´alise.
O Corol´ario 4.3.4 e o Teorema 1.1.9 produzem o seguinte resultado, que ´e ainda um refinamento do corol´ario anterior.
Teorema 4.4.4. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico (q, t)-compacto e K um elemento de A2(X, ν). Suponha que X = ∪mj=1Xj e que Re K pertence a Lipα,s(Xj, ν) ou possui a
propriedade da m´edia-Lipα,s(X
j, ν), para cada Xj e para algum α > 0 e s ≥ 0. Se X
ou o suporte de K ´e limitado ent˜ao
λn(K) = O(n−1−tα/q), n → ∞,
Lembrando da Proposi¸c˜ao 4.2.13, notamos que os resultados j´a obtidos apresentam uma estimativa para o decaimento dos autovalores para operadores integrais gerados por n´ucleos emA2(X, ν) e possuindo a propriedade da m´edia-α. Os resultados seguintes
produzem estimativas mais finas, no mesmo contexto. Estes resultados serviram de motiva¸c˜ao para a introdu¸c˜ao do conceito da propriedade da m´edia-α e tamb´em da inclus˜ao da condi¸c˜ao (iii) na Defini¸c˜ao de (q, t)-compacidade.
Teorema 4.4.5. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico (q, t)-compacto e K um elemento de A2(X, ν). Suponha que X =∪mj=1Xj e que Re K possui a propriedade da m´edia-α, para
cada Xj e para algum α > 0. Se
lim r→∞r β Z X\B[y,r] K(x, x) dν(x) = 0, β > 0, y∈ X, ent˜ao λn(K) = o(n−1−γ/q), n→ ∞, onde γ := βtα(β + q + tα)−1.
Demonstra¸c˜ao: O resultado segue do Teorema 4.3.1 e do Corol´ario 1.1.12. Uma aplica¸c˜ao dos corol´arios 1.1.12 e 4.3.2 produz o resultado final do cap´ıtulo. Teorema 4.4.6. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico (q, t)-compacto e K um elemento de A2(X, ν). Suponha que X =∪mj=1Xj e que Re K possui a propriedade da m´edia-α, para
cada Xj e para algum α > 0. Se X ou o suporte de K ´e limitado ent˜ao
λn(K) = o(n−1−tα/q), n→ ∞.
Finalizamos o cap´ıtulo com alguns coment´arios pertinentes. Se X ´e um subconjunto de Rm, a condi¸c˜ao lim sup r→∞ rβ Z X\B[y,r] K(x, x) dν(x) < C, y∈ X, fica automaticamente satisfeita quando existe β > 0 tal que
lim sup |x|→∞
x∈X
|x|β+mK(x, x) < ∞.
Similarmente, se o limite superior acima ´e finito para todo β > 0 ent˜ao a constante C acima depende de β. Ainda, quando este limite superior anula-se, a constante C ´e 0.
Outro fato a ser registrado neste momento ´e que os exemplos 4.2.11 e 4.2.14 e a Observa¸c˜ao 4.2.15 mostram que a constante α que aparece nos resultados desta se¸c˜ao
pode assumir os valores 1 ou 2, quando t = 1. Finalmente, uma compara¸c˜ao com outros resultados na literatura, em especial aqueles encontrados em [38, 39], sugerem que alguns dos resultados encontrados neste cap´ıtulo s˜ao ´otimos. Ainda, acreditamos que os resultados apresentados aqui possam ser usados em futuras aplica¸c˜oes, como por exemplo em assuntos relacionados a Proposi¸c˜ao 9 em [19, p.43] que trata de estimativas de n´umeros de entropia (entropy numbers) de operadores compactos ([19, p.16]).
5
Deriva¸c˜ao termo a termo
Finalizamos o trabalho dedicando este cap´ıtulo `a extra¸c˜ao de propriedades de suavi- dade das fun¸c˜oes deHK e da imagem de K, quando o n´ucleo K ´e suave em um sentido
a ser especificado. A an´alise ser´a feita no caso em que X ´e um aberto de Rm munido da
medida de Lebesgue usual ν. Observamos que a justificativa de algumas propriedades mais elementares, por exemplo aquelas relacionadas com suavidade do tipo Lipschitz, n˜ao exigem de fato o contexto aqui tratado. O leitor pode conferir isto analisando com cuidado as justificativas apresentadas.
Resultados sobre suavidade para fun¸c˜oes de HK no formato aqui apresentados s˜ao
utilizados na Teoria do Aprendizado (Learning Theory), mais especificamente em al- goritmos de reconhecimento de fun¸c˜oes (learning algorithms). Um exemplo disso ´e o recente trabalho de Zhou [64] que trata da suavidade das fun¸c˜oes deHK no caso em que
X ´e limitado e a fun¸c˜ao K tem uma extens˜ao diferenci´avel ao bordo de X e aplica es- tas propriedades em algoritmos que envolvem derivadas parciais de fun¸c˜oes deHK. Os
resultados do Cap´ıtulo 3 mostram que a suavidade das fun¸c˜oes da imagem deK ´e ´util no estudo de propriedades de suavidade das fun¸c˜oes de HK. Os artigos [10, 11, 12, 37]
analisam propriedades de suavidade das fun¸c˜oes da imagem de K para o caso em que X ´e um intervalo da reta, enquanto que os artigos [14, 42] apresentam resultados no contexto esf´erico.
Lembramos que se X ´e como descrito acima e K ´e um n´ucleo positivo definido, o Teorema 3.2.1 garante que o espa¸co HK ´e um subconjunto de C(X), contanto que a
fun¸c˜ao κ seja cont´ınua e que, para cada x ∈ X, Re K(x, y) seja cont´ınua em y = x. Como os teoremas 3.4.6 e 3.4.8 apresentam algumas rela¸c˜oes entreHK e a imagem de
K, em um primeiro momento do cap´ıtulo analisamos algumas condi¸c˜oes de suavidade das fun¸c˜oes da imagem de K.
Na segunda metade do cap´ıtulo, estudamos a deriva¸c˜ao termo a termo da s´erie de Mercer de certos n´ucleos suaves, em uma tentativa de estender resultados j´a obtidos na literatura. A motiva¸c˜ao para tal estudo reside nos trabalhos citados anteriormente e referˆencias l´a contidas. Como aplica¸c˜ao, consideramos uma extens˜ao do Teorema 1 em [64] sobre a diferenciabilidade e propriedades de reprodu¸c˜ao das fun¸c˜oes de HK.